대54 풀이 – 구머

2번

귀류법으로 접근하여, [eqn: f]가 어색한 모임을 부분집합으로 가진다고 가정하고, 이때 어색한 모임을 [eqn: LEFT { S _{1}, ``S_2 ,`...`,`S_k RIGHT }]라고 하자. 또, 이때 어색한 모임에서의 집합 [eqn: Y]를 생각하자. 임의의 [eqn: 1<=i<=k]에 대해 [eqn: S_i - Y]가 공집합이 아니어야 하므로, [eqn: Y]의 원소의 개수는 [eqn: s-1]개 이하임을 알 수 있다. 이제 일반성을 잃지 않고 [eqn: V_s]가 [eqn: Y]와 공통 원소를 가지지 않는다고 하자.([eqn: Y]의 원소 개수가 [eqn: s-1]개 이하이므로 이런 [eqn: V_i]가 무조건 존재한다). 그런데 [eqn: S _{1} ,``S _{2} ,`...`,`S _{k}] 는 모두 [eqn: V_s]의 원소를 1개 포함하고 있고, [eqn: V_s]의 원소의 개수는 [eqn: k-1]이므로 어떤 [eqn: S_i], [eqn: S_j]는 공통된 [eqn: V_s]의 원소를 가지고 있다. 이는 어색한 모임에서의 [eqn: Y]의 정의에 어긋나므로 모순이다.

따라서 2번의 조건에서 [eqn: f]는 연합 숫자 [eqn: k]인 어색한 모임을 부분집합으로 가지지 않는다.