[eqn: S_p,q,r != EMPTYSET]이므로 어떤 쌍 [eqn: (x,y,z) in S_p,q,r]이 존재한다. 행렬 [eqn: rm {bold{s}} it = {pmatrix{x#y#z}}]라고 정의하자.

또한 [eqn: a= {pq-b^2} over 2], [eqn: c= {pq+b^2 } over 2], [eqn: {rm bold A}= pmatrix{a&bq&0#-bp&a&0 # 0& 0&c}], [eqn: {rm bold s}_b = pmatrix{x_b # y_b # z_b}={rm bold As}], [eqn: d_b = gcd(x_b , y_b , z_b )]라 하자.

마지막으로 [eqn: pq == b (mod `2)]인 [eqn: b in Z]의 집합을 [eqn: B]라 하자. [eqn: b in B ```LRARROW ``a,c in Z]이다.

lemma) [eqn: d _{b} LEQ |`pqr`|`z ^{2}]이다.

[eqn: d``|``pxx _{b} +qyy _{b} =-arz ^{2}], [eqn: d ``|``cz^2]이다. 따라서 [eqn: d `` | `` arz^2 + r(cz^2 ) =(a+c)rz^2 = pqrz^2]이다. ■

2번 풀이)

행렬 [eqn: {rm bold s}_b]의 특성 덕분에, 모든 [eqn: b inB]에 대해 다음이 성립한다. (단순 계산으로 확인 가능)

[eqn: px _{b} ^{2} +qy _{b} ^{2} +rz _{b} ^{2} =0].

따라서 [eqn: (x_b /d_b `,` y_b / d_b` ,` z_b / d_b ) in S_p,q,r]이다.

lemma와 비둘기집의 원리에 의해 [eqn: b< qy/x]인 중에서 [eqn: |pqr|z ^{2} N+1]개의 서로 다른 [eqn: b in B]를 선택하면 적어도 [eqn: N]개의 서로 다른 [eqn: b]에 대해서 그들의 [eqn: d _{b}]값은 모두 같다. 또한 [eqn: b<qy/x]라는 조건을 통해 [eqn: b_1 < b_2]이면 [eqn: x_b_1 < x_b_2]를 얻을 수 있으므로 [eqn: N]개의 [eqn: b]에 대하여 그들의 [eqn: {rm bold s}_b]는 모두 다르다. 즉, [eqn: n(S_p,q,r ) ge N]이다.

자연수 [eqn: N]은 무한히 커질 수 있으므로 [eqn: S_p,q,r]의 원소도 무한히 많아질 수 있다.

즉, [eqn: S_p,q,r]은 무한집합이다. ■