w.t.s 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지날 때, 모든 직선이 i개 이하로 원을 지나게 할 수 없다. (단, i∈N)

⇔ 모든 직선이 i개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다. (단, i∈N)

let. n 개의 같은 원을 지나는 직선들이 차지하는 영역을 n-영역이라고 하자.

ex)

(i) [eqn: i=1]일 때,

만약 원이 2개 이상이면, 그림과 같이 원을 두 개 이상 지나는 원이 반드시 존재한다. 따라서 원은 1개 또는 0개만 가능하고, 반드시 아무 원도 지나지 않는 직선이 존재한다는 결론에 도달하게 된다. 따라서 성립한다.

(ii) [eqn: i=n-1]일 때, 성립한다고 가정하자. 즉, 모든 직선이 (n-1)개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다.

(iii) [eqn: i=n]일 때,

(a) n-영역이 없을 때, (ii)과 같은 경우가 되어서 성립한다.

(b) n-영역이 존재할 때,

n-영역에 있는 원 하나를 O라고 하자.

① 원 O만 지나는 직선이 존재하지 않는다면,

원 O는 반드시 k(≥2)-영역 안에 있다. 따라서 원 O를 없애도 ‘어떤 원도 지나지 않는 직선’의 존재성은 불변한다. → 원 O를 삭제한다.

② 원 O만 지나는 직선이 존재한다면,

원 O는 1-영역, n-영역과 만난다. 이때는 원 O를 지우면 ‘어떤 원도 지나지 않는 직선’의 존재성이 변하므로 함부로 지울 수 없다.

어떤 n-영역, (n-1)-영역에도 원 O가 포함되지 않고, 1-영역의 모든 직선을 지나게 원 O의 위치와 크기를 바꾸자.

ex)

이렇게 하면 ‘어떤 원도 지나지 않는 직선’의 존재성은 변하지 않게 되므로 논리적 오류가 생기지 않는다.

n-영역에 있는 원 O를 계속 잡아서 ①, ②를 계속 반복하면, ‘어떤 원도 지나지 않는 직선’의 존재성은 변하지 않으면서, n-영역이 완전히 사라지기 때문에 (ii)와 같은 상황이 되어 어떤 원도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다. 따라서 성립한다.