1. 인간의 이중성님 y축 고려 수정/확장

1) 두 점이 서로 이웃한 삼각형에서 선택되었을 때

먼저 [eqn: y]축을 위에서 아래로 잡자.

그리고 두 점 중 높은 점의 [eqn: y] 좌표를 [eqn: a], 낮은 점의 [eqn: y] 좌표를 [eqn: b], 두 점의 [eqn: x] 좌표의 차이를 [eqn: 1/2+c] 라고 하자.

또, 편의상 [eqn: k= {(a+b)} over {sqrt {3}} ,~k prime =(a-b)>= 0]으로 정의하자.

그러면 두 점의 차이는 [eqn: sqrt {k prime ^{2} +(1/2+c) ^{2}}]가 된다.

그리고 그런 점의 배치가 나올 확률은 다음과 같다.

[eqn: {{2a} over {sqrt {3}} da} over {{sqrt {3}} over {16}} BULLET {{2b} over {sqrt {3}} db} over {{a^2}over{sqrt {3}}} BULLET {k-c} over {2k ^{2}} dc]

따라서 구하고자 하는 확률은 정리하면 다음 식과 같다.

[eqn: {32} over {3} int _{a=0} ^{sqrt {3} /4} { int _{b=0} ^{a} {{b} over {ak ^{2}} int _{c=-k} ^{k} {sqrt {k prime ^{2} +(1/2+c) ^{2}} (k-c)dc} `db} `ba}]

* 이 밑부터 식 계산 과정이지만 미완성...

[eqn: c=k prime sinh theta -1/2,~dc=k prime cosh theta `d theta ,~- pi /2< theta < pi /2]

[eqn: theta _{0} = rm arcsinh it LEFT ( {1/2-k} over {k prime } RIGHT ) =ln LEFT ( {1/2-k} over {k prime } + sqrt {LEFT ( {1/2-k} over {k prime } RIGHT ) ^{2} +1} RIGHT )]

[eqn: theta _{1} ={rm arcsinh}left({1/2+k}over{k prime} right)=ln LEFT ( {1/2+k} over {k prime } + sqrt {LEFT ( {1/2+k} over {k prime } RIGHT ) ^{2} +1} RIGHT )]

[eqn: int _{c=-k} ^{k} {sqrt {k prime ^{2} +(1/2+c) ^{2}} (k-c)dc}]

[eqn: = int _{theta = theta _{0}} ^{theta _{1}} {sqrt {k prime ^{2} +(k prime sinh theta ) ^{2}} (k-k prime sinh theta +1/2)k prime cosh theta d theta }]

[eqn: =k prime ^{2} int _{theta = theta _{0}} ^{theta _{1}} {(k-k prime sinh theta +1/2)cosh ^{2} theta d theta }]

[eqn: =k prime ^{2} left[(k+1/2)left( 1 over4 {rm sinh} 2theta + 1over2 theta right)-{k prime}over3 {rm cosh}^3 theta right]_{theta = theta _{0}} ^{theta _{1}}]

[eqn: =k prime ^{2} left[(k+1/2)left( 1 over8 (e^{2 theta}-e^{-2 theta}) + 1over2 theta right)-{k prime}over{24} (e^theta +e^{-theta}) right]_{theta = theta _{0}} ^{theta _{1}}]

// 이 이상은 못 풀겠음...