[eqn: 1 <= i <= n-1]일 때 [eqn: b_i]를 구하자.

각 각뿔의 꼭짓점을 고르는 경우는 무조선 전체가 연결된다.

그러므로 [eqn: n]각형에서만 [eqn: i]개의 꼭짓점을 고르는 경우를 살펴보자.

이때 연결성분의 개수가 [eqn: k]개인 배열의 개수를 [eqn: t_k]라고 하면

[eqn: b _{i} = sum _{k=2} ^{min(i,n-i)} (k-1)t _{k}# ~``= LEFT ( sum _{k=1} ^{min(i,n-i)} k`t _{k} RIGHT ) - {pmatrix{n#i}}]

꼭짓점 중 기준점 하나를 잡아 [eqn: (0)]라고 하자.

[eqn: i]개의 점을 골라 그들 중 [eqn: (0)]으로부터 시계방향으로 [eqn: j]번째를 [eqn: x(j)]라고 하자.

편의상 [eqn: x(i+j)=x(j)] ([eqn: j]는 양의 정수)이라고 하자.

[eqn: {matrix{LSLANT ^{(0)}&{bar{~~~}}&{}^{x1} RSLANT #|```~~~&&~``~````|#RSLANT _{x`i}&.....&{}_{x2} LSLANT }}] ◀[eqn: n]각형에서 [eqn: i]개를 고른 경우

[eqn: bar{XY}]를 [eqn: X]와 [eqn: Y]사이 시계방향 변의 수라고 하자.

[eqn: bar{x(j)x(j+1)}]를 [eqn: a_j]라고 하자.

[eqn: SUM_{j}a_j =n], [eqn: FORALL j(`a _{j} >= 1)] [eqn: (1 <= j<=i)]

[eqn: a _{j} -1=c _{j}]라고 하자.

[eqn: sum _{j} ^{} c _{j} =n-i], [eqn: FORALL j(c _{j} >= 0)]  [eqn: (1 <= j <= i)]

[eqn: x(j _{p} )]와 [eqn: x(j _{p} +1)]가 연결되지 않았을 필요충분조건은 [eqn: LEFT ( c _{j _{p}} >= 1 RIGHT ) WEDGE LEFT ( FORALL j not= j _{p} LEFT ( EXIST c _{j} >= 1 RIGHT ) RIGHT )]이다. 양 방향에서 끊어져 있기 때문이다.

[eqn: THEREFORE `k= LEFT | LEFT { j` LEFT | `c _{j} >= 1 RIGHT } RIGHT | RIGHT . +0 ^{LEFT | LEFT { j` LEFT | `c _{j} >= 1 RIGHT } RIGHT | RIGHT .}]

(단, 여기서는 편의상 [eqn: 0^0 =1]로 한다.)

그러므로 [eqn: k]개의 연결 성분을 가지는 것은 어떤 [eqn: j _{1} ,j _{2} ,...,j _{k}]에 대해 [eqn: FORALL p(c _{j _{p}} >= 1)~(1 <= p <= k)]이고 나머지 모든 [eqn: c _{j}]는 [eqn: 0]인 경우이다.

그러면 순열 [eqn: left(c_1 ,c_2 ,...,c_i right)]의 가짓수는 [eqn: pmatrix{i#k}left(pmatrix{k#n-i-k}right)=pmatrix{i#k}pmatrix{n-i-1#n-i-k}]이다.

하지만 이 순열만으로 [eqn: x(j)]를 구성 할 수 없다. 기준점에 대한 위치 정보가 필요하다.

다음과 같이 [eqn: c prime _{j}]를 정의하자.

[eqn: c prime _{j} {cases{= {bar{(0)x(1)}}&(j=0)#=c _{j}&(1 <= j<i)#= {bar{x(i)(0)}}-1&(j=i)}}]

[eqn: sum _{j} ^{} c prime _{j} =n-i], [eqn: FORALL j(c prime _{j} >= 0)]  [eqn: (0 <= j <= i)]

그러면 순열 [eqn: left(c_0 ,c_1 ,...,c_i right)]은 [eqn: x(j)]들에 관한 모든 정보를 담고 있다.

[eqn: i)~c _{0} +c _{i} =0]

가짓수는 [eqn: {pmatrix{i#k}} LEFT ( {pmatrix{k#n-i-k}} RIGHT ) = {pmatrix{i#k}} {pmatrix{n-i-1#n-i-k}}]

[eqn: ii)~c _{0} +c _{i} >= 1]

가짓수는 [eqn: {pmatrix{i-1#k-1}} LEFT ( {pmatrix{k+1#n-i-k}} RIGHT ) = {pmatrix{i-1#k-1}} {pmatrix{n-i#n-i-k}}]

[eqn: t _{k} = {pmatrix{i#k}} {pmatrix{n-i-1#n-i-k}} + {pmatrix{i-1#k-1}} {pmatrix{n-i#n-i-k}}]

[eqn: ~``= {(i-1)!(n-i-1)!(i+n-i)} over {k!(k-1)!(n-i-k)!(i-k-1)!}]

[eqn: ~``= {n(i-1)!(n-i-1)!} over {k!(k-1)!(n-i-k)!(i-k-1)!}]

[eqn: ~``= {n} over {k} {pmatrix{i-1#k-1}} {pmatrix{n-i-1#k-1}}]

[eqn: b _{i} = LEFT ( sum _{k=1} ^{min(i,n-i)} k`t _{k} RIGHT ) - {pmatrix{n#i}}]

[eqn: ~``= LEFT ( sum _{k=1} ^{min(i,n-i)} n {pmatrix{i-1#k-1}} {pmatrix{n-i-1#k-1}} RIGHT ) - {pmatrix{n#i}}]

[eqn: ~``=n LEFT ( sum _{k=1} ^{min(i,n-i)} {pmatrix{i-1#k-1}} {pmatrix{n-i-1#k-1}} RIGHT ) - {pmatrix{n#i}}]