대한수학회 24: 왔다 갔다 수렴과 발산~!

문제 4. 수열 [eqn: a _{n}]이 수렴할 때, [eqn: a _{n} '= {2} over {n(n+1)} sum _{k=1} ^{n} ka _{k}]도 수렴한다.

실제 문제에서는 [eqn: {hat{a _{n}}}]라고 나와있다만, 이 풀이에서는 [eqn: a' _{n}]이라고 나타낼 것이다. 그 둘은 같은 것이다.

Solution.

다시 수렴의 정의를 상기해보자.

정의:

[eqn: a _{n}]이 [eqn: a]로 수렴할 때, 적당한 수 [eqn: N]에 대하여, [eqn: n>N]이면, [eqn: LEFT | a _{n} -a RIGHT | < epsilon]이다.

Lemma (1)) 수열 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a]로 수렴한다면, [eqn: a _{n} ']은 [eqn: a]으로 수렴한다.

pf(1)) [eqn: a _{n} ']을 식의 합으로 나타내면, 다음같은 식이 된다:

[eqn: a' _{n} = {a _{1} +2a _{2} +...+na _{n}} over {1+2+...+n}][eqn: = {a _{1}} over {1+2+...+n} + {2a _{2}} over {1+2+...+n}][eqn: ...+ {na _{n}} over {{n(n+1)} over {2}}].

적당한 수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: a _{k} `]([eqn: k<N])에 관한 식은 [eqn: n -> INF]일 때, 0으로 수렴한다.

그 이유는 임의의 상수 [eqn: c]에 대하여, [eqn: c]가 유한하면, [eqn: lim _{k -> INF } {{c} over {k}}][eqn: =0]이기 때문이다.

즉, [eqn: a _{i}]([eqn: i GEQ N])인 경우만 생각해도 된다.

정의에 의하면, [eqn: a _{i} =a± epsilon]이다. 그러므로, [eqn: a _{i}]의 항은 다음과 같다.

[eqn: {N(a+ epsilon )} over {{n(n+1)} over {2}} +...+ {n(a+ epsilon )} over {{n(n+1)} over {2}} = {( {n(n+1)} over {2} - {N(N+1)} over {2} )(a+ epsilon )} over {{n(n+1)} over {2}}]이다. 이제 극한을 계산하자.

[eqn: lim _{n-> INF } {{( {n(n+1)} over {2} - {N(N+1)} over {2} )(a+ epsilon )} over {{n(n+1)} over {2}} =}](by.로피탈의 정리)[eqn: lim _{n-> INF } {{(n+ {1} over {2} )(a+ epsilon )} over {n+ {1} over {2}}}]([eqn: {N(N+1)} over {2}]=유한)

(로피탈의 정리를 사용할 수 있는 이유는 그냥 계산하면 부정형인 [eqn: {INF } over {INF }]이 나오기 때문이다.)

=[eqn: lim _{n -> INF } {(a+ epsilon )=a}]이다.

그러므로, [eqn: a _{n} ' -> a]이다.

<본 증명> [eqn: a _{n} ' -> a]도 수렴하는 것이므로, 증명 끝.                                  [eqn: Q.E.D]