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[함께 풀고 싶은 문제] 페루마의 억지 논리 12탄

아인수타인 | 2019.03.24

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

다음 페루마, 파스탈, 고우스, 오일론, 데칼, 투링, 리망, 타우, 피타스의 대화를 읽고 논리적 허점을 찾아라.

 

리망: 투링 너 이번에 수학토론대회에 뽑혔다며?

투링: 어. 이번에 **구 대표로.

파스탈: **동이 아니라 **구 대표?!

투링: 그럼 그렇게 큰 대회를 겨우 동 단위에서 한다고?

오일론: 하긴.

타우: 암튼 너 이번에 **구 대표로 잘할 수 있겠어?

투링: 뭐, 그건 두고 봐야지. 서울시 대회에서 상 타면 전국대회 출전이야.

피타스: 야, 암튼 뽑혔단 거 자체가 대단하다.

고우스: 그러게.

페루마: 암튼 **구 자존심이 걸린 거니깐, 꼭 상 타야 한다!

오일론: ...안 그래도 바로 다음 주라 바짝 긴장한 애한테 그런 얘길 하면...

투링: 아니, 괜찮아.

데칼: 암튼 좋은 결과 나오면 좋겠다. 일단 해산하고, 다음 주에 대회 열리는 종로구에서 만나!

데칼 빼고 전부 다: 응.

(일주일 후)

파스탈: 아, 저기 투링 나온다.

오일론: 야, 투링! 결과 잘 나온 거 같아?

투링: 어. 결과는 내일 나오고, 뽑힌다면 그 다음주에 전국대회 나가.

페루마: 너무 김칫국부터 마시는 거 아냐?

고우스: 야, 방금 대회 끝난 애한테...

투링: 다른 애라면 몰라도 얘는 원래 성격이 그러니깐.

리망: 뭐, 그건 그렇지.

타우: 예를 들어 무슨 주제 했는데?

투링: 음, '모든 수는 0의 약수인가?' 이거 송파구 대표가 어떤 수든 0을 곱하면 0이 되므로 옳다고 했거든. 근데 내가 바로 0 자신은 0으로 나눌 수 없으므로 이거 빼고 다 된다고 했지. (※참고: 이건 문제 아님!)

피타스: 그럼 좋은 결과 나올 거 같네. 결과 나오면 내일 문자로 알려 줘.

(다음 날)

투링: 됐어!

투링 빼고 전부 타: 그래? 잘됐네!

리망: 그럼 다음 주에 전국대회 열리는 인천에서 만나!

(다음 주)

피타스: 결과 좋게 나올 것 같아?

투링: 아마도. 근데 이번엔 사람이 워낙에 많고 좀 불안한 게 있어서.

파스탈: 예를 들어 무슨 주제 나왔는데?

투링: '1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...의 값은 무엇인가? 무한일까, 유한일까?'. 내가 '저 식은 더하는 수가 점점 줄어드므로 계속 더하면 0만을 더할 것입니다. 그러므로 어떠한 일정한 값, 그러니까 유한할 것입니다.'라고 했어. 근데, 그러고서 한 10분쯤 후에 강릉시랑 부산시 대표가 동시에 일어나서 '저 식을 괄호로 묶으면 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+...이 됩니다. 두 번째 괄호 안에 있는 값은 \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}보다 크고, 세 번째 괄호 안에 있는 값은 \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}보다 크고, 이런 식으로 저 식은 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty보다 큽니다. 무한대보다 큰 건 당연히 무한대이므로 저 식은 무한대입니다. 그러므로 서울시 대표가 말한 건 틀립니다.'라고 반박했거든.

페루마: 잠만, 강릉시랑 부산시 대표가 말한 건 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...란 논리잖아?

투링: 그렇지.

페루마: 근데 걍 각 항을 비교만 해도 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...인데? 근데 강릉시랑 부산시 대표가 말한 거에도 논리적 모순은 없는데...

파스탈: 그럼 뭐지? 그럼 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...이면서 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...란 말이잖아? 그런데 A>B이고 A<B인 두 수가 존재해?

파스탈 빼고 전부 다: 어? 진짜 뭐지?!

페루마: 아니 잠만 이건 대체...

고우스: 이거는 대체 뭐냐...

 

어디서 논리적 허점이 있었을까? (※저도 답을 모르니 공댓으로 남겨주세요.)

댓글 14

  • 디듀우 2019.03.24 10:12:18

    저도 비슷한 걸 본 적이 있는데... 어떤 수열의 극한을 계산하면서 괄호로 어떻게 묶느냐에 따라 값이 2가지인 경우가 있었습니다. 자세한 예는 생각이 나지 않지만... 옳을 수도 있을 것 같습니다.

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  • 21세기오일러 2019.03.24 10:40:54

    저도 정확히는 모르는데 1+2분의1+3분의1…과 1+2분의1+2분의1…은 무한으로 같지 않나요?

    각항이 더크다고 자주체의 합이 꼭 큰 것은 아닙니다

    자연수를 무한히 더한 것과 짝수를 무한히 더한 것과 비슷합니다. 짝수와 자연수를 비교하면

    1+2+3+4+5+…

    2+4+6+8+10+…

    각항의 크기는 짝수가 더 크지만 전체합은 같습니다

    또 (1+2)+(3+4)+…은 2+4+…보다 크므로 자연수가 짝수보다 더 크다고 말하는 것과 같습니다

     

    추가 문제: 위의 지문에서 오타를 찾아라.

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    • code 2019.03.24 21:59:21

      수렴하는지를 물어보는것같습니다.

      항의 갯수가 무한하나, 값은 무한이 아닐 수도 있습니다.

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    • 아인수타인 2019.03.25 14:16:56

      code님 수렴하는지가 아니라 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...이면서 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...인 결론이 나오는데 어디서 오류가 있었는지 묻는 문제입니다. (저도 아직 해결 못했습니다.)

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  • 아이코사 2019.03.24 15:24:17

    무한에는 말그대로 끝이 없기 때문에 크고 작음을 비교할 수 없는 거 아닐까요?

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  • sincostan 2019.03.24 18:52:48

    그런데 A>B이고 A<B인데 두개가 같을 수는 없지 않나요?

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  • 깜냥 2019.03.24 19:13:58

    수열의 합에서 저렇게 괄호로 숫자 몇 개를 묶어버리면 그것은 다른 수열이 됩니다.

    괄호 안에 있는 숫자들을 전부 합해서 하나의 수로 만든다고 생각하면 그렇게 되죠.

    따라서 이 수열은 원래 수열과 증가하는 속도가 다릅니다.

    무한히 더하면 결국 무한대로 가겠지만, 특정 항까지의 합은 원래의 것과 다릅니다.

    (하나의 괄호를 하나의 항으로 생각하면 말이죠.)

     

    문제에서도 '두 번째 괄호 안에 있는 값은 1/2 보다 크다'라고 했는데

    두 번째 괄호는 수열의 2개의 항을 묶은 것인데 1/2쪽은 하나의 항이므로

    이렇게 하면 제대로 크기 비교를 할 수 없습니다.

    한 가지 예를 들어보겠습니다.

    A = 1+1+1+1+...

    B = 2+2+2+2+...

    라고 해봅시다.

    이 때 A = lim (n →∞) n

    B = lim (n →∞) 2n

    로 생각할 수 있습니다. (왜 리미트 기호에 무한대가 안 넣어지지...)

    그러면 lim (n →∞) A/B 의 값은 1/2 입니다.

    그런데 A = (1+1)+(1+1)+(1+1)+... 이런 식으로 보고 (1+1) = 2 니까 A=B 이다!

    라고 하는 순간 A = lim (n →∞) 2n 이 돼버립니다.

     

    결론:괄호에 묶인 것들을 하나의 항으로 간주했기 때문에 다른 수열이 됐다.

    or 수열의 합의 크기를 비교할 때 두 수열의 더하는 항의 개수를 다르게 했다. 

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  • code 2019.03.25 22:34:12

    만약 부산시대표의 말이 맞다면, 두 식 모두 무한대입니다.

    즉, 대소를 정하는것부터가 말이안되죠.

    틀리다면,

     1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+...은 무한하지 않은 식이되어 후자보다 작습니다.

    참인지 아닌지는 깜냥님이 설명하신듯 한데요

     

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  • 아인수타인 2019.03.26 21:06:31

    근데 깜냥님 설명을 잘 이해는 못한거 같은데 일단 결론은 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...가 아니란 말이잖아요? 근데 책에서 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...=\infty를 증명하는데 저 논리를 이용했는데... 그럼 책에서 얘기한 게 틀린 건가요?

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    • 깜냥 2019.03.27 11:49:15

      A_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}   라 해봅시다.

      n→∞ 일 때 An→∞이면 A2n→∞ 이고, 그 역도 성립하는 것을 직관적으로 알 수 있습니다.

      굳이 A2n이 아니라 3n, n2 등등이어도 성립합니다.

      (물론 이 성질이 모든 수열에 대해 성립한다는 뜻은 아닙니다.)

      문제에서처럼 An에서 괄호를 묶어서 만들어진 수열을 Bn이라 하면, Bn=An(n-1)/2 + 1 입니다.

      그런데 Bn>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+... = ∞ 이니 Bn은 발산하고, 따라서 An도 발산한다는 논리로 설명한 것 같습니다.

       

       

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    • 깜냥 2019.03.27 12:01:59

      음? 지금 보니 책에서 든 예시의 수열이 1 뒤의 모든 항이 1/2이 아니라

      그보다 작은 분수들을 더해서 1/2이 된 거였군요.

      책에서의 설명이 앞에 부분은 맞습니다.

      다만 1+1/2+1/2+1/2... = 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...

      라는 부분이 문제가 되는 거죠.

      만약 위 식이 성립하려면 왼쪽과 오른쪽 수열의 더하는 항의 개수를 다르게 해야 합니다.

      이러면 당연히 두 수열의 크기가 비교가 제대로 안 되겠죠? 그래서 발생하는 문제입니다.

      결론을 말하자면, 두 수열의 크기를 제대로 비교하려면 더하는 항의 개수를 같게 해야 하므로 이를 적용하면

      1+1/2+1/2+1/2+...>1+1/2+1/3+1/4... 이지만,

      1+1/2+1/4+1/4+...<1+1/2+1/3+1/4+... 라는 겁니다.

      위에 댓글 괜히 썼네...

      뭐 하여튼 1+1/2+1/2+...과 같은 표현이 상당히 애매한데,

      하필 그 급수들이 무한대로 발산하는데 저 표현을 쓴 상태로 크기 비교를 해서 발생하는 문제인 것 같네요.

       

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    • 아인수타인 2019.03.28 01:27:58

      아, 그러니까 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...의 전체 항 개수를 서로 다르게 취급해줘서 발생한 문제라는 뜻인가요?

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    • 깜냥 2019.03.28 11:09:58

      네. 무한대로 발산하는 수열끼리 크기를 비교하는 것은

      결국 증가 속도를 비교하는 것인데

      이 때 당연히 더하는 항의 개수를 맞춰줘야 합니다.

      그런데 책에서는 여러 항을 괄호로 묶어버린 거죠.

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    • 아인수타인 2019.03.29 00:49:47

      아, 이해됐어요. 설명 감사드립니다^^ 해결 붙여주세요.

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