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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 돌아온 보드게임 페스타!
수학동아 2019.12.04

 

*이번 달은 국가수리과학연구소 대신 김종락 서강대학교 수학과 교수님께서 문제를 출제해주셨습니다.smiley

 

 

전 세계에는 아직 우리가 보지 못한 보드게임이 수두룩합니다. 그만큼 보드게임의 원리, 해법, 필승법 등을 수학적으로 분석한 연구도 많죠. 이번 달에는 2017~2018년 수학동아에 연재했던 '보드게임 페스타'에 소개했던 보드게임 일부와 이와 관련된 수학 문제를 소개합니다. 신기한 보드게임도 맛보고 문제도 열심히 풀어보세요!

 

 

 

 

<1> 달콤한 게임, 촘프

 

[게임 설명]

 

격자 모양 사각형 초콜릿을 준비하고 왼쪽 맨 아래 조각을 독이 든 조각으로 정한다.

(초콜릿 대신 없으면 모양이 비슷한 블록이나 바둑돌로 해도 좋다.)

 

상대와 번갈아 가며 초콜릿 조각을 선택한 뒤, 선택한 조각을 포함해 오른쪽과 위에 있는 모든 초콜릿 조각, 그리고 이 초콜릿으로 둘러싸인 영역에 있는 초콜릿을 모두 먹는다.

 

이렇게 상대와 번갈아 가며 초콜릿을 먹다가 독이 든 초콜릿 조각을 먹는 사람이 진다.

 

 

 

[게임 예시]

 

가로 4조각, 가로 5조각인 초콜릿으로 하는 촘프 게임.

 

 

[문제]

 

난이도 ★☆☆

 

 2×3, 2×4, 2×5 촘프에서 처음 선택하는 사람이 이기려면 어떤 조각을 선택해야 할까? 답을 찾았으면 2, 3, 4, 5…. 등 가로의 길이에 상관없이 이길 수 있는 방법을 찾아보자.

 

 

 

 

---------------------

 

 

 

 

 

<2> 내 자리는 어디에? 15 퍼즐

 

[게임 규칙]

 

액자처럼 생긴 정사각형 틀 안에 1부터 15까지의 숫자가 적힌 사각형 타일이 나란히 놓여있다. 가로세로 4개씩 총 16개 타일이 들어갈 수 있지만, 1칸을 비워 다른 타일을 빈칸으로 움직일 수 있도록 했다.

 

무작위로 배열된 타일을 옮겨 타일에 적힌 숫자를 오름차순으로 배열하면 게임이 끝난다. 

이때 숫자가 순서대로 배열된 상태를 ‘표준 배열’이라고 한다.

 

 

 

[게임 예시]

 

아래 가운데 그림을 보면 6, 7, 10, 11, 12번 타일을 옮겨야 표준 배열을 만들 수 있다. 이 경우 10번 타일을 먼저 아래로 옮긴 뒤 6번 타일을 10번 타일이 있던 자리로 옮기고, 이어서 7번, 11번, 12번 타일을 각각 6번, 7번, 11번 자리로 옮기면 표준 배열을 만들 수 있다.

 

 

 

[문제]

 

난이도 ★★☆

 

아래 배열은 가로, 세로, 대각선에 있는 숫자의 합이 30인 마방진임을 확인하고, 표준 배열로 만들 수 있는지 확인해보자. 또, 이 배열에서 14와 15만 서로 바꾸어 새로 배열을 만들었을 경우 표준 배열로 만들 수 있는지도 확인해보자. 표준 배열로 만들 수 있다면 실제로 표준 배열을 찾아보자.

 

 

 

 

 

---------------------

 

 

 

 

 

 

<3> 1258 게임

 

[설명]

 

1, 2, 5, 8로 이뤄진 두 자리 숫자가 적힌 카드를 이용해 십의 자리와 일의 자리 모두에서 1, 2, 5, 8이 한 번씩 나오는 카드 4장을 빨리 찾는 게임.

 

1258카드는 숫자 카드 96장과 어떤 숫자도 되는 조커 2장으로 이뤄져 있다.

1, 2, 5, 8로 이뤄진 두 자리 숫자 카드 16장이 서로 다른 6색으로 칠해져 있어 총 96(=16 ×6)장이다. 또 어떤 카드를 골라도 180° 돌리거나 뒤로 뒤집어서 다른 숫자로 바꿀 수 있다. 예를 들어 15는 51, 12, 21로 변신이 가능하다. 

 

가진 카드가 4장 이상일 때 카드를 돌리거나 뒤집어서 십의 자리와 일의 자리에 1, 2, 5, 8이 각각 한 번씩 나오는 4장의 카드가 있으면  이 카드들을 ‘올라 카드’라고 한다.

 

 

[문제]

 

난이도 ★★★

 

96장의 1258카드 중에 12장의 1258 카드(1세트)를 무작위로 펼쳐 놓았다고 가정하자. 그러면 총 96C12개의 세트 조합이 가능하다. 갯수가 너무 많으니 숫자 1, 2, 5, 8을 치환하거나 카드의 6가지 색을 치환해서 얻어지는 새로운 12장의 1258 카드 세트를 생각하자.

이 변형된 카드 세트는 원래 카드 세트가 갖고 있는 근본적인 성질들을 그대로 갖고 있다. 예를 들어 4장의 올라 세트는 이 변환들에 의해 그대로 보존된다. 따라서 이런 카드 세트는 주어진 카드 세트와 '동등'하다고 한다.

그러면 12장의 1258 카드 세트 중 서로 동등하지 않은 것은 총 몇 가지일까?

 

 

-끝-

 

 

 

※알립니다※

 

12월 23일(월), 서강대학교에서

김종락 교수와 함께 보드게임을 즐기고 관련 문제를 풀어보는 강연을 개최합니다.

자세한 사항은 아래 링크를 참고하세요!

 

http://www.polymath.co.kr/aboutMath/4392

 

  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04 비밀댓글
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    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04 비밀댓글
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    •  
      수학동아 2020.01.13

      잘 풀었습니다. 맞는 풀이라고 합니다~!

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04 비밀댓글
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      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04 비밀댓글
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    •  
      수학동아 2020.01.13

      풀이를 자세히 적어 주셔야 확인이 가능합니다. 직접 해봤다는 것으로는 좀 부족하다고 하시네요~!

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

    1,2,5,8을 치환하거나 색을 치환해서...가 무슨 뜻인가요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.12.04

      용어 설명이 부족했네요! '치환'이란 수학 개념에 대해 아래에 설명을 달아두겠습니다~. laugh

      ('치환'에 관한 일반적인 설명이 아닌, 이 문제에만 해당하는 설명임을 명심하세요!)

       

      치환 숫자 일부의 위치를 서로 바꾸는 행위.

       예시① 1, 2, 5, 8 중 1과 2의 순서를 바꾸는 행위.

       예시② 1, 2, 5, 8 중 1과 3의 순서를 바꾸고, 2와 4의 순서를 바꾸는 행위.

       

      세 장의 카드 [12] [25] [18]에 ①을 적용하면? [21] [15] [28] 

      세 장의 카드 [12] [25] [18]에 ②를 적용하면? [34] [45] [38]

       

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      감사합니다.

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    •  
      50%문과 Lv.2 2019.12.22

      3이랑 4는 왜 등장한거죠? 1,2,5,8 이외의 다른 숫자를 써도 되는건가요?

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    •  
      새해복많이받으세요 Lv.5 2019.12.22

      3,4는 예시로 들은 것으로 문제를 풀때는 1,2,5,8만 쓰세요.

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

    그리고 그대로 올라세트이기만 하면 동등한가요?

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04 비밀댓글
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    •  
      수학동아 2020.01.13

      3번 역시 풀이를 좀 더 자세히 적어 달라고 합니다~!

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.01.13

      답은 맞나요?

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  •  
    ★휠릭시스★ Lv.10 2019.12.04
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    2열인 경우에는

    O O

    독O O

    과 같이 만들어야 합니다.

    그래서 우상단의 한개를 없애야합니다.

    그러면 상대가 윗줄을 n개 없애면 저도 아랫줄에 n개 없애면 됩니다.

    반대로 상대가 아랫줄에서 n개를 없애면 윗줄에서n개를 없애면 됩니다.

    상대가 상대가 다시 직사각형모양이 되도록 잘랐다면 나는 다시 우상단의 한개를 없애면 됩니다.

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      저와 같은 결론이네요. 비댓 해야하지 않나요? 

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    •  
      ★휠릭시스★ Lv.10 2019.12.04

      폴리매스 문제는 다 함께 토론하며 푸는 것이기때문에 불만있으시면 댓글로 반론하라고 공댓으로 합니다.(적어도 나는)

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      다른 분들이 생각을 못하잖아요.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.12.10

      저도 예전에 다른 사람들이 생각할 수 있도록 풀이를 비댓으로 올렸는데 수학동아 측에서 공댓으로 올려달라고 하더라고요

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.10

      그렇군요.

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  •  
    설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.12.04

    만약 1 x 2라면 

    초콜릿을 ㅊ이라고 하고 독을 ㄷ이라고 하면

    ㄷ 이 되는데 이러면 당연히 저 ㅊ를 먹어야 합니다.(ㅊ이 하나밖에 없으므로 자명함)

    2x2라면

    ㅊㅊ

    ㄷㅊ 인데 이러면 오른쪽 상단의 한개를 먹으면 이깁니다.(그러면 상대가 ㅊ을 한번에 다 없앨 수 없으므로 ㅊ을 하나만 없애게 되고 그러면 당연히 내가 남은 걸 없애므로 이긴다.)

    만약 3x2라면 

    ㅊㅊㅊ

    ㄷㅊㅊ인데 이러면 이것도 우측 상단을 먹어야 합니다. 이유는 휠릭시스 님이 아십니다.

    만약 4x2라면

    ㅊㅊㅊㅊ

    ㄷㅊㅊㅊ 인데 이러면 우측 상단을 없애면 휠릭시스 님께서 내린 결론과 같은 이유에서 항상 이기고

    5x2라고

    ㅊㅊㅊㅊㅊ

    ㄷㅊㅊㅊㅊ 인데 이래도 우측 상단을 먹으면 무조건 이기므로

    우측 상단걸 먹으면 이기는군요!(이제야 문제를 이해했습니다.)

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

    다들 공댓으로 쓰내요. 저도 공댓으로 쓸까요?

    (그리고 해결은 누가가져가나요?)

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.12.04

      저는 맞는지 물어보기 위해 공댓으로 썼을 뿐입니다.

      그리고 공댓으로 써주시면 좋습니다. 저는..

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      2,3번도 공댓으로 적을까요?

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    •  
      리프 Lv.6 2019.12.10

      해결은 원칙상 첫 번째로 해결한 사람이 가져가는 것으로 알고 있습니다. (즉, 만약 오일러님의 풀이가 맞다면 오일러님이 해결한 걸로 돼요)

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.10

      와! 내가 부분해결이다!

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

    다들 1번은 풀었으므로 저도 공댓을 올리겠습니다. 위에 정답확인요청을 해서 캡처해서 올립니다.

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.12.04

      그럼 지금까지 봤을 때 1번은 우측 상단 거를 먹으면 된다로 결론이 난 건가요?

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      네.

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    •  
      79brue Lv.5 2019.12.05

      1번은 2019 정보올림피아드 기출문제였습니다. 직접 AI와 게임을 해서 이겨야 했죠.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.12.06

      정확하게 맞췄습니다~! laugh

      한 문제가 더 풀리면 위 정답 요청한 댓글을 부분해결로 처리할게요!

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.06

      2,3번은 채점 안 해주나요?

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  •  
    ★휠릭시스★ Lv.10 2019.12.04

    3번은 이해가 잘 안되네요

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    •  
      ★휠릭시스★ Lv.10 2019.12.04

      근데 문맥상 경우의수 문제이니 프로그램을 돌리면 되겠네요

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.12.04

      저는 제가 직접 풀었습니다. ( 제가 이해한데 맞는지 의문스럽지만 )

      데가 이해하기로는 색깔은 거의 상관없다는 결론이 나오는데... ( 거의인 이유는 한군데에서 사용해서)

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  •  
    79brue Lv.5 2019.12.05 비밀댓글
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  •  
    code Lv.4 2019.12.06
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    2번.

    정렬이 되어있지 않은 경우는 어느 숫자 뒤에 나오는 숫자가 더 작은 경우로

    각각의 숫자 n에 뒤에 나오는 숫자가 더 작은 경우의수 f(n)을 정의한다.

    S=f(1)+f(2)........f(16) 이라 하자.

    빈칸이 좌우로 움직이는 경우)

    빈칸을 제외하게 된다면, 배열은 같다.

    따라서 영향없음.

    빈칸이 상하로 움직이는 경우)

    빈 칸과 빈 칸과 바꾸는 숫자 사이의 숫자를 생각하자.

    총 3개가 존재하며 이들은 빈 칸과 바꾸는 숫자보다 크거나 작다.

    그런데 빈 칸과 바꾸는 숫자가 상하로 움직인다는 것은, 이들을 기준으로 앞으로 가거나 뒤로 가게 된다는 말이다.

    따라서 +든 -든 사이의 세 숫자는 f(n)이 1씩 변경되게 된다.

    +++, ---, ++-, --+ 이렇게 4가지 경우가 나오며,

    반드시 S는 1 또는 3만큼의 크기로 바뀌게 된다.

    여기서, 고려하지 않은점이 하나있다.

    빈 칸은 올라가는 시행과 내려가는 시행의 횟수가 같아야한다.

    윗 줄부터 1 2 3 4를 각각부여해 S에 더한다.

    이렇게 되면 S는 항상 짝수의 값을 유지한다.

    돌아가서, 15와 14가 바뀌어 있는 상태를 보자.

    1 2 3 4

    5 6 7 8

    9 10 11 12

    13 15 14 0 (0은 빈 칸이다.)           

    S = 1이다. 따라서 이 경우 불가능하다.

    주어진 배열의 S를 구해보면

    위에서 부터, 14+0+0+9+1+6+5+3+3+2+1+1+0+0= 48 이다.

    짝수임으로 가능하다.

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    •  
      수학동아 2020.01.13

      주정훈 멘토의 검토 결과 약간의 개선이 필요하다고 합니다. 마지막 부분에 더하기를 다시 확인해 보세요.

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    •  
      code Lv.4 2020.01.13

      47이네요. 만약 제 풀이에 문제가 없고 단지 계산이 틀렸다면 저 배열은 불가능합니다.

      혹시 3번 문제에 관해 제가 물어본부분에도 답변이 가능하신까요?

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  •  
    code Lv.4 2019.12.14

    '예를 들어 4장의 올라 세트는 이 변환들에 의해 그대로 보존된다'

    이게 대체 무슨말인지 잘 모르겠습니다.

     

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.01.20

      그러니까 올라세트는 색과 숫자를 치환해도 올라세트라는 것입니다.

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  •  
    리처드 π만 Lv.8 2019.12.31 비밀댓글
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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2020.01.13

    두개 다 올라세트가 아니여도 동등하나요?

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2020.01.17
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    3번 풀이입니다. 동등하지 않다는 것은 숫자의 조합이 다르다는 것입니다. 따라서 숫자의 조합을 세면 됩니다. 
    1은 12장의 카드에서 최대 18번 나올 수 있습니다. (색이 6개이므로 11 6개와 1이 한 개인 카드 6장) 8도 1과 같습니다.
    2와 5는 뒤집으면 같아지므로 같습니다. 따라서 최대 24번 나올 수 있습니다. 
    이제 문제를 1 18개, 2 24개, 8 18개중 24개를 뽑아 만들 수 있는 조합의 수를 구하여라로 변형이 됩니다.
    이 문제는 2가 1개 일때부터 24개 일때까지의 조합의 수를 각각 구해서 더하면 됩니다. 그러면 정답은 14+15+...+18+19+18+17+...+2+1
    =270가지 입니다.

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