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폴리매스 문제
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[폴리매스 문제] 대36. 우리는 기댓값을 잘 알고 있을까?
수학동아 2019.12.01

어떤 불확실성이 있는 상황에서 우리는 흔히 기댓값이라는 것을 계산해서 상황판단의 준거로 사용한다. 다음과 같은 두 가지 예를 살펴보자. 

 

(예1) 주사위를 던져 나오는 눈의 수에 만원을 곱한 것 만큼의 상금을 받을 수 있다고 하자. 이때, 우리가 받을 수 있는 상금의 기댓값은 다음과 같다.

 

\frac{1}{6}\times 10,000+\frac{1}{6}\times 20,000+\cdots +\frac{1}{6}\times 60,000=35,000(원)

 

(예2) 2,000개의 제비가 있고 이 중 하나만 당첨제비인 시행을 생각하자. 만약 이 중 당첨제비를 뽑아서 맞춘다면 8,000만원의 상금을 받는 방법이 있다고 하면 이 시행의 기댓값은 다음과 같다. 

 

\frac{1}{2,000}\times80,000,000+\frac{1999}{2000}\times0=40,000(원)

 

따라서 두 번째 시행의 기댓값이 더 높음을 알 수 있다. 그렇다면 모든 사람에게 두 시행 중 하나를 할 수 있게 하여 선택하면 모두 (2)를 선택할까? 그렇지는 않을 것이다. 분명 (1)의 시행을 선택하는 사람도 있을 것이다. 이러한 사람은 모두 비합리적인 것일까? 꼭 그렇지는 않다는 것을 다음의 유명한 St. Petersburg paradox를 보면 알 수 있다. 누군가 당신에게 다음과 같은 제안을 하였다고 생각하자. 

 

“당신이 공정한 동전을 던져서 처음에 연속으로 앞면이 n번 나오면 상금으로 2^{^n+1}원을 주겠다.”

 

이 시행에서 내가 2^{^n+1}원의 상금을 받을 확률은 앞면이 연속하여 정확히 n번 나올 확률이므로 \frac{1}{2^{n+1}}임을 쉽게 알 수 있다. (n+1번째에는 뒷면이 나와야 하므로 \frac{1}{2^n}이 아닌 \frac{1}{2^{n+1}}이다.) 따라서 이 시행의 기댓값은 다음과 같이 무한대가 나옴을 알 수 있다.

 

2^1\times\frac{1}{2^1}+2^2\times\frac{1}{2^2}+2^3\times\frac{1}{2^3}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty }2^k\times\frac{1}{2^k}=\infty

 

즉, 이 시행으로 받을수 있는 돈의 값은 무한대인 것이다. 그런데, 만약 당신이 이 제안에 참여하는 대가로 1,000만원을 내야한다면 이 시행을 할 것인가 생각해보자. 이 경우 내야하는 돈의 액수가 아무리 많더라도, 시행의 기댓값은 무한대인 만큼 이 시행을 하는 것이 무조건 옳다고 주장할 수 있다.

 

하지만 생각해보면 1,000만원을 내고 게임을 했을 때, 본전을 찾으려면 2^{24}=16,777,216>10,000,000>2^{23}이므로 앞면이 최소한 24번 연속으로 나와야 함을 알 수 있다. 앞면이 24번 연속으로 나올 확률, 즉 본전을 찾을 확률은 물론 \frac{1}{16,777,216}에 불과하다. 그럼에도 불구하고 진짜 시행에 응하는 것이 합리적인 것일까? 참여하지 않는 사람들은 정말 합리적인 판단을 못하는 것인가? 

 

1. 이를 설명하는 이론 중 하나가 경제학의 한계효용감소 이론이다. 즉 내가 돈을 n원을 받음으로 인해 생기는 이득(효용)을 u(n)이라 하자. 물론 일반적인 사람이면 돈을 많이 받을수록 더 좋기 때문에 함수 u는 증가함수이다. 하지만 10,000원을 받을 때와 20,000원을 받을 때의 효용의 차이를 A라 하고 10,000,000원을 받을 때와 10,010,000원을 받을때의 효용의 차이를 B라 하자. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

u(20,000)-u(10,000)=A, u(10,010,000)-u(10,000,000)=B

 

상식적으로 AB보다 더 클 것이라는 것이 바로 한계효용감소 이론의 핵심이다. 즉 같은 만원의 차이지만, 받는 돈이 1만원에서 2만원으로 증가할 때 느끼는 효용의 차이는 1,000만원에서 1,001만원으로 증가할 때 느끼는 효용의 차이보다 클 수 밖에 없다는 것이다. 내가 받는 돈이 많아지면 많아질수록 만원의 상금증가가 가져오는 효용의 크기가 작아진다는 것이다. 

 

이를 종합하면 u가 증가함수여서 u{}'> 0이지만 증가하는 정도는 점차 줄어든다는 측면에서 u{}''< 0이 되어야 함을 알 수 있다. 즉, u는 위로 볼록한 증가함수이다. 예를 들어 u(x)=\sqrt{x}같은 것이 가능하다. 물론 한계효용을 나타내는 함수 u는 사람마다 모두 다를 것이다. 이러한 한계효용감소 이론을 바탕으로 앞서 (예1)과 (예2) 중 (예1)을 선택하는 것이 합리적일 수 있음을 설명하여라.

 

 

2. 마찬가지로 한계효용감소 이론을 바탕으로 앞서 소개한 St. Petersburg paradox를 설명해 보아라. 즉, 왜 제안 받은 시행이 한없이 좋은 시행일 수 없는지, 우리는 저 시행을 하는데 있어서 많은 돈을 지불할 의사가 없게 되는지 설명하여라. 

 

 

3. 다른 상황을 생각해보자. 세 개의 똑같은 주머니에 서로 다른 액수의 돈이 들어있는데 이 세 액수 중 가장 큰 것은 가장 작은 것의 15배이며, 두 번째로 큰 것은 가장 작은 것의 3배임이 알려져 있다. 당신은 이 중 한 주머니를 골라 그 안에 있는 돈을 모두 받을 수 있다. 

 

이 제안을 받은 당신은 이 중 한 주머니를 골랐다고 하자. 이때, 고른 주머니를 바꿀 수 있는 기회가 주어졌다고 생각하자. 고른 주머니를 바꾸는 것이 큰 의미가 있을까? 아닐 것 같지만, 이를 좀 더 체계적으로 생각해 보기 위해 최초로 고른 돈의 액수를 x라 하자. 이때, 세 경우를 생각할 수 있다.

 

(경우 1) x가 가장 작은 액수인 경우 이때, 바꿀 두 주머니에는 3x 또는 15x의 돈이 들어 있으므로 바꿀 경우의 기댓값은 \frac{1}{2}\times(3x+15x)=9x

 

(경우 2) x가 두 번째로 작은 액수인 경우 바꿀 주머니에는 \frac{x}{3}또는 5x의 돈이 들어 있으므로 바꿀 경우의 기댓값은 \frac{1}{2}\times(\frac{x}{3}+5x)=\frac{8}{3}x

 

(경우 3) x가 세 번째로 작은 액수인 경우  바꿀 주머니에는 \frac{x}{15}또는 \frac{x}{3}의 돈이 들어 있으므로 바꿀 경우의 기댓값은 \frac{1}{2}\times(\frac{x}{15}+\frac{x}{3})=\frac{1}{5}x

 

이처럼 세 가지 경우가 있는데 각 경우가 발생할 확률은 모두 \frac{1}{3}이므로, 최종적으로 주머니를 바꿀 경우의 기댓값은 \frac{1}{3}\times(9x+\frac{8}{3}x+\frac{1}{5}x)=\frac{178}{45}x가 된다. 이는 x보다 훨씬 큰 값이다. 따라서 주머니를 바꾸는 것이 더 큰 이득을 가져다 줄 것으로 예상된다. 하지만 이는 이상한 결론이다.

 

처음 고른 주머니를 바꾸기만 함으로서 기댓값이 증가된다는 것이다. 같은 논리로 이 주머니를 또 바꾸는 것이 기댓값을 증폭시키고, 결국에는 계속 주머니를 바꾸는 것이 유리하다는 결론이 나온다.

 

이러한 이상한 모순의 원인은 무엇일까? 몬티홀 문제와 연관이 있을까? 아니면, 한계효용함수로 설명할 수 있을까? 이 현상을 합리적으로 설명해 보자. 

  •  
    21세기오일러 Lv.10 2019.12.02

    우와! 대학수학회 최초로 이해하기 쉬운 문제이다!

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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.02

    근데 이해하기만 쉬운 문제다ㅠㅠ

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02 비밀댓글
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      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.3 2019.12.04 비밀댓글
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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.09

      소문제 1,2,3 다 푸신 건가요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.11

      네... 내용 이해만 한다면 역대급으로 쉬운 문제인 듯해요

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  •  

    2^1\times\frac{1}{2^1}+2^2\times\frac{1}{2^2}+2^3\times\frac{1}{2^3}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty }2^k\times\frac{1}{2^k}=\infty

    여기서 우변(무한 바로 왼쪽 변)의 내용 좀 설명해주세요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02

      기댓값은 각 경우에서 얻는 값과 그 확률을 곱한 것을 모두 더한 것입니다.

      2원을 얻으려면 처음에 뒷면이 나와야 하므로 확률이 1/2입니다.

      4원을 얻으려면 앞면-뒷면이 나와야 하므로 확률이 1/4입니다.

      8원을 얻으려면 앞면-앞면-뒷면이 나와야 하므로 확률이 1/8입니다.

      마찬가지로 \large 2^{n}원을 얻으려면 앞면-앞면-....-앞면-뒷면이 나와야 하고 확률은 \large \frac{1}{2^{n}}입니다.

      그래서 기댓값을 구하면 \small 2\times \frac{1}{2}+4\times \frac{1}{4}+...=\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}\times \frac{1}{2^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}1=\infty가 되는 겁니다.

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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.02

    제가 생각하기에 178x/45가 기댓값인것은 처음경우에만 성립한다고 조심스럽게 의견내 봅니다...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02

      음... 만약 그렇다면, 몬티홀 문제와 유사하다는 생각이신가요?

      과연 기댓값이 \small \frac{178}{45}x가 되는 게 맞을까요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02

      저도 여러 가지를 생각해보았고 아직 제 답이 확실하지 않습니다만 음... 저는 제 답이 좀 더 맘에 드네요. 세종소왕님이 맞을 수도 있습니다. 합리적인 이유가 있다면요!

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.02

      수학장님의 답은 무엇인가요? 저는 두번째부터는 178x/45에서 178/45배가 되는것이 아니라 x에 대하여 178/45배가 된다고 생각했습니다....

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.02

      저는 가정의 모순을 지적해서 간단한 계산을 통해 바꿨을 때와 바꾸지 않았을 때가 기댓값이 같다는 결과를 냈습니다.

      위의 비밀댓글의 대댓글이 3번 풀이입니다.

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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.03

    제가생각하기에는 3번에서 바꾸지 않았을때의 기대값이 

    1/3*(x+5x+15x)=7x라고 생각합니다. 따라서 바꿨을때의 기댓값인 

    178x/45는 7x보다 작음으로 바꾸지 않는것이 유리하다고 생각합니다...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.03

      그러면 계속 바꾸면 기댓값이 0이 된다는 뜻인가요?

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.03

      점점 작아지다가 0에 수렴할것 같기도 한데 여기서는 잘 모르겠어요ㅠㅠ

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  •  
    은총알 Lv.8 2019.12.03
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    3번. 경우 1,2,3에서 나오는 x 값이 모두 다른 크기이기 때문에 같은 미지수로 놓고 보는게 잘못된 것 아닐까요?

    틀린 점 지적해주시면 감사합니다

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.03

      그러면 미지수를 다르게 놓고 기댓값을 구해보세요!

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.03

      빨리 정답확인이 돼서 확신을 가지고 도움 드리고 싶네요ㅠㅠ

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    •  
      은총알 Lv.8 2019.12.03

      그러면 그렇게 놓고 풀어봐야겠네요 의견 감사합니다!

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    •  
      은총알 Lv.8 2019.12.03

      아 내려가다가 실수로 정답확인요청 눌러버렸네요 ㅠㅠ

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.09

      기대값을 구할때 기대값에 대한 미지수를 x,3x,15x로 가정하고 기대값을 구해주시면, 조금더 간단하게 해결할 수 있을 것 같다고 생각합니다...

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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.04

    1번 문제에서 확률과 돈이 1/2000과 80,000,000원이 아닌 다른 값 예를 들어 1/2과 75,000원과 같이 낮은 확률에 대한 적은 돈을 받을 경우에는 어떤것이 더 좋은 선택인지 구할 수 있을까요? 단순히 기댓값을 믿어야만 하는 것일까요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.04

      음.. 제가 잘 이해를 못 했지만 돈 x원이 들어왔을 때 느끼는 가치, u(x)는 사람마다 다릅니다. 그래서 사람마다 어떤 게 손해일 수도 있고 이득일 수도 있죠. 그러므로 손해라고 느끼는 사람이 있다는 걸 보이면 1번 문제의 답이 될 수 있을 것입니다.

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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.04 비밀댓글
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  •  
    아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.04
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    바꾸기전 기대값: 1/3*(x+3x+15x)=19x/3

    경우 1)x를 선택 한후 바꿀 경우의 기대값

    1/2*(3x+15x)=9x

    경우 2)3x를 선택 한후 바꿀 경우의 기대값

    1/2*(x+15x)=8x

    경우 3) 15x를 선택 한후 바꿀 경우의 기대값

    1/2*(x+3x)=2x

    따라서 최종적인 기대값은

    1/3(9x+8x+2x)=19x/3이다

    따라서 바꾸기전과 바꾼후의 기대값이 같기때문에 상관이 없다!

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.04

      혹시 수학장님도 이와 비슷한가요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.05

      제 풀이와 같아요!

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.12.05

      그런데 그 전에 왜 처음에 뽑은 값을 x로 놓으면 안 되는지에 대한 설명이 필요해 보입니다.

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.05

      사실상 돈에 있는 주며니를 x,3x,15로 놓은 것이잖아요, 기대값을 할때 

      예를들어 3x가 있는 상태에서 기대값을 구할때

      3x를 x라고 가정하고 푼 것임으로 최종적으로 마지막에 나온 8x/3에 3을 곱한 8x가 나와야 한다고 생각했습니다...

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  •  
    아인수타인 Lv.9 2019.12.05
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    소문제 3번을 올리겠습니다.

     

    언뜻 보면 문제에서 전부 다 x라고 써버렸기 때문에 풀이를 읽는 도중 '아, 이 x들은 다 같은 값이구나'라고 생각하기 쉽습니다. 하지만 정말 그럴까요? 처음에 1달러, 3달러, 15달러가 있었다고 가정합시다. (원으로 하면 0치는게 귀찮아서요...) 그렇게 되면 문제에서 말한 경우 1,2,3에서 x의 값은 각각 1, 3, 15로 달라집니다. 따라서 제대로 하려면 아래와 같이 됩니다.

    (경우 1) \frac{1}{2}(3x+15x)=9x=9\times 1=9

    (경우 2) \frac{1}{2}(\frac{x}{3}+5x)=\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}\times 3=8

    (경우 3) \frac{1}{2}(\frac{x}{15}+\frac{x}{5})=\frac{2}{15}x=\frac{2}{15}\times 15=2

     

     따라서 바꿨을 때 총 기댓값은 \frac{1}{3}\times (9+8+2)=\frac{1}{3}\times 19=\frac{19}{3}가 됩니다. 그럼 처음 기댓값은 얼마일까요? 역시 \frac{1}{3}\times (1+3+15)=\frac{19}{3}으로 같습니다. 따라서 어느 경우든 기댓값은 같습니다.

     

    (※문제에서 경우 3에 오타가 있는 거 같은데, 괄호 안에 \frac{x}{3}이 아니라 \frac{x}{5}인듯 싶습니다.)

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    •  
      아인수타인 Lv.9 2019.12.05

      저기서 제가 쉽게 설명하려고 예를 들어 설명했는데, 좀 더 일반적이게 하려면 마지막에 나온 \frac{19}{3}에 제일 낮은 금액을 곱하면 됩니다.

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.09

      가장 낮은 값을 곱한다는 것은 무슨 의미인가요?

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    •  
      아인수타인 Lv.9 2019.12.10

      예를 들어 원으로 따져 10000원, 30000원, 150000원이라면 \frac{19}{3}\times 10000을 해야 한다는 소리입니다.

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  •  
    인천 오일러 Lv.1 2019.12.05
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    1번 문제 풀이

    기댓값을 구할 때 각 확률에 상금이 아닌 효용을 곱해서 구합시다. 이를 효용 기댓값이라 하겠습니다. 그러면 이 문제는 다음과 같은 문제로 바뀝니다.

    "\frac{\sum_{k=1}^{6}u(10000k)}{6}>\frac{u(0)+u(80000000)}{2}을 만족하는 효용함수 u(x)이 존재하는가?"

    u{}'> 0u{}''< 0임을 고려하면 u(x)=x^t라 두어 

    대략 t<0.089이면 모든 조건을 만족합니다. (정확한 값을 구하는 것은 큰 의미가 없으니 생략하겠습니다.)

    이외에도 가능한 u(x)는 굉장히 많습니다. 따라서 주어진 부등식을 만족하는 효용함수 u(x)이 존재하므로 예1의 효용 기댓값이 예2의 효용 기댓값보다 커지게 할 수 있습니다. 따라서 그러한 효용함수를 가진 사람이라면 예1을 선택하는 것이 더 합리적입니다. 큰 돈에 욕심 없는 사람이라면 예1을 선택하는 것이 합리적이겠네요.

     

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    •  
      인천 오일러 Lv.1 2019.12.05

      문제를 잘못 읽었는데, 부등식 우변의 분모가 2가 아니라 2000이 되어야 하네요. t<0.982정도가 됩니다. 크게 논리적 문제가 생기지는 않으니 눈 감아주세요!

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.08

      효용이 머에요?

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.08

      그러면 효용기대값이 커지게 되면 그것에 대한 기대값( 기댓값 말고 가치적인...어떠한..) 도 높아지나요?

       

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  •  
    인천 오일러 Lv.1 2019.12.06

    2번 문제 풀이

    1번 문제와 비슷하게 접근하겠습니다. 이 시행의 효용 기댓값을 구하면

    \sum_{k=1}^{\propto } \frac{u(2^k)}{2^k}입니다. 

    이때 적당한 u(x)를 잡으면 이 값이 발산하지 않게 됩니다. (u(x)=x^\frac{1}{2} 등)

    따라서 특정 값 이상의 참가비를 요구한다면 좋은 시행이 아니게 됩니다.

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    •  
      아몬드 먹는 몰랑✅ Lv.8 2019.12.08

      그러면 u(x)값이 무한으로 발산한다면, 그것은 합리적인 선택인가요?

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  •  
    아인수타인 Lv.9 2019.12.07

    지금보니 마지막 문제 '페루마의 억지 논리' 시리즈와도 내용이 딱 맞는데요? ㅋㅋ

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