본문바로가기
폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 대35. 무리수 덧셈으로 나타나는 수열 세기
수학동아 2019.11.01

0과 1 사이의 두 실수 a와 b가 있다고 하자. 그러면 양의 실수 x와 자연수 n에 대해 다음 수열을 생각해 볼 수 있다.

 

x_n=\left\{\begin{matrix} 1, \left \{ x+na\right \}< b & \\ 2, \left \{ x+na \right \} \geq b & \end{matrix}\right.

이때, 실수 x에 대해 \left \{ x \right \}는 실수 x의 소수 부분을 나타낸다. 예를 들어 \left \{ 2, 5 \right \}=0.5, \left \{ \sqrt{2} \right \}=\sqrt{2}-1이다. 실수 x를 넘지 않는 최대 정수를 \left [ x \right ]라고 하면, \left \{ x \right \}=x-\left [ x \right ]라고 쓸 수도 있다. 수열 x_n은 x+na의 소수 부분만 생각한 값이 b보다 작은지 큰지를 알려주는 값이다.

 

x가 변할 때마다 당연히 수열 x_1, x_2,\cdots이 변한다. 그런데 각각의 x_i는 1 또는 2의 값만 가지므로, 자연수 n이 정해지면 수열 x_1\cdots x_n이 나올 경우의 수는 많아야 2^n개 뿐이다. 실제로는 2^n개보다 훨씬 적은데, 이번 문제는 다양한 a, b에 대해 이 경우의 수를 세는 것이 목적이다. 자연수 n에 대해 수열 x_1\cdots x_n(단, x는 양의 실수)의 경우의 수를 f(n)이라 하자.

 

f(n)=집합 {x_1x_2\cdots x_n:x는 양의 실수\right \}}의 원소의 수

=양의 실수 x가 변할 때 가능한 모든 수열 x_1\cdots x_2의 수일 때

 

1. a가 유리수이면, 모든 자연수 n에 대해 f(n)\leq M을 만족하는 수 M이 있음을 보여라.

 

2. a=b가 무리수이면, 모든 자연수 n에 대해 f(n)=n+1임을 보여라.

 

3. a, b가 무리수이고, 어떤 자연수 k에 대해 \left \{ka \right \}=b라 하자. 이때, 충분히 큰 모든 자연수 n에 대해서 f(n)은 일차함수가 된다. 이 함수 f(n)을 구하라.

 

4. a, b가 무리수이고, 모든 자연수 k에 대해 \left \{ka \right \}\neq b라 하자. 이때, 충분히 큰 모든 자연수 n에 대해 f(n)은 다항식이 된다. 이 다항식 f(n)을 구하라.

 

 

  •  
    21세기오일러 Lv.8 2019.11.01

    국가수리과학연구소는 언제 나오나요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    김우현 기자 Lv.4 2019.11.01

    현재 국가수리과학연구소 문제 출제가 늦어지고 있습니다. 문제가 도착하는 대로 업로드하겠습니다. 출제 전 업로드 일정이 나오면 다시 공지할게요~ㅜㅜ

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      21세기오일러 Lv.8 2019.11.01

      알겠습니다. 대한수학회 문제는 이해가 안 되서 국가수리과학연구소 문제를 주로 기다려요.

      좋아요0
    •  
      뉴_턴 Lv.7 2019.11.14

      저도요...... ㅠㅠ

      좋아요0
  •  
    퍼즐-Scratch Lv.4 2019.11.01

    1. a를 기약분수 형태로 나타내어 \frac{p}{q}가 되었다면, x_n의 정의에 따라 x_{n+q} = x_n임을 알 수 있습니다. n이 q 이하의 자연수인 경우 f(n) \leq 2^n \leq 2^q이 성립하고, n이 q보다 큰 자연수인 경우 x_1부터 x_q까지의 q개의 항이 정해지면 그 뒤의 항들도 자동으로 결정되므로 f(n) \leq({x_1} , \cdots , x_q)를 정할 수 있는 가짓수 \leq 2^q가 성립합니다. 따라서 임의의 자연수 n에 대해 f(n) \leq 2^q가 성립합니다. 

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    난세종소왕이되고싶다 Lv.8 2019.11.05 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
  •  

    문제가 무슨 말인지 모르겠어요ㅠㅠ 국가수리과학연구소는 그나마 이해까지는 되는데..

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      B.C.I(수학장) Lv.3 2019.11.06

      천천히 읽어보시면 이해가 될 거예요!! 국가수리과학연구소 문제가 이해하기는 쉽죠ㅠㅠ 그런데 이해하고 나서 푸는 거는 국가수리과학연구소 문제가 더 어려워요ㅠㅠ 전 대한수학회식 문제도 재밌고 좋더라구요.

      좋아요0
  •  
    Simon Lv.2 2019.11.09 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
    •  
      Simon Lv.2 2019.11.09

      사소한 사실 하나때문에 서술 막혀서 수정중에 있습니다ㅠㅠ

      빨리 완료하고 올리겠습니다.

      3번답은 n+k, 4번답은 2n입니다

      좋아요0