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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 국22. 까다로운 원 그리기
수학동아 2018.10.01

 

국가수리과학연구소의 22번째 문제입니다.

 

문제

끝없이 펼쳐진 평면 위에 원을 여러 개 그린다. 이때 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까? 단, 원의 개수는 제한이 없다.

 

 

댓글 167
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  •  
    프로벤젠 Lv.1 2018.10.01

    직선이 접한 것은 원을 지난걸로 보나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.02

      좋은 지적이에요! 이 문제에선 접한 것도 지난 것으로 취급합니다.laugh

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2018.10.01

    원끼리 겹쳐도 되나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.02

      네, 겹쳐도 됩니다!!laugh​​​​​​​

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  •  
    79brue Lv.5 2018.10.01

    원의 크기는 무한히 클 수 있나요?

    원의 크기가 무한히 클 수 없다면 "무늬"를 만드는 방법밖엔 없습니다. 테셀레이션 같이요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.10.01

      그런데 일정한 무늬가 반복되는 강한 규칙성을 띄면 어떤 직선에서 100개 이상의 원이 만날 수밖에 없어요

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    •  
      79brue Lv.5 2018.10.01

      우선 "불가능하다"에 초점을 두고 풀어 보겠습니다.

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    •  
      프로벤젠 Lv.1 2018.10.02

      원이 무한히 클 수 있다면

      그냥 무한히 큰 원 한 개 그리면 바로 문제가 풀리니까

      원의 크기는 유한해야 할 것 같은데요?

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  •  
    바나나 Lv.1 2018.10.02

    각 원들의 반지름들은 같지 않아도 되나요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.02

      제 느낌상으로는 달라도 될것 같네요.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.02

      네, 반지름은 달라도 됩니다!!laugh

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  •  
    수돌이 Lv.2 2018.10.02

    음 왜 낯이 익지?

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  •  
    ssamtkwon Lv.1 2018.10.03

    점을 반지름이 0인 원으로 본다면 그리 어렵지는 않겠네요(예를 들면, y=1/x와 y=-1/x의 모든 점).

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  •  
    Simon Lv.2 2018.10.03

    실례를 보이겠습니다.

    우선, 반지름 = 0인 원(점원)을 이용할 수 있으니 그래프를 이용할 수 있을 것입니다.

    평면을 좌표평면으로 잡아 봅시다.

     

    그럼 이렇게 y = x^3의 그래프를 그릴 수 있을 것입니다. 그런데, y = ax+b\ \text {where}\ a,b\in \mathbb{R}과 교점을 구해보면,

    x^3-ax-b=0의 한 실근 \alpha (삼차방정식이기 때문에 실근이 무조건 존재)가 존재함을 알 수 있고, 따라서 (\alpha, \alpha^3)이 둘의 교점으로 존재한다는 것을 알 수 있습니다.

    다시말해, y = x^3의 그래프 모양으로 점원을 배치한다면 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나면서, 많아야 세 개의 원을 지남을 알 수 있습니다. 끝

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    •  
      구머 Lv.4 2018.10.03

      0 못쓰지 않나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.04

      문제를 출제한 백진언 연구원 님께서 좋은 접근이라는 의견을 주셨어요!.

      단, 이 문제의 본래 의도대로 반지름은 0보다 큰 걸로 제한한다고 합니다! laugh

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.04

      아, 저도 학교에서 비슷한 방법 생각했는데 점원은 안되군요.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.10.05

      반지름 r\lim_{r\rightarrow 0}이라고 가정하면 안되나요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.05

      그 생각은 저도 해보긴 했는데 3차함수는 x가 커질수록 기울기가 엄청 가팔라져서 완벽한 0이 아니면 x=(매우매우x구골플렉스 큰 수)의 직선이 100개 이상의 원을 지날 수 있습니다.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.05

      일단 틀릴거같긴 하지만 저도 의견을 내보겠습니다.

      위쪽에 muse님이 원의 크기가 무한해도 되냐고 물어보셨는데 그럴 수 없으니 '원으로 원 만들기'전략을 써보면 되...지는 않을 것 같지만 일단 써봅니다.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.07

      잠만, 뉴턴의 사과님 초6 아니었나요? 10월 5일은 금욜인데 어떻게 오전 10시에 댓글을 올렸지?

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    •  
      구머 Lv.4 2018.10.07

      (설마 폰 내라 할 때 진짜 내시는 분은 없죠? ㅎ)

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    •  
      Euler Lv.1 2018.10.17

      오랜만 이네요 학교행사때문에 자주 접속 못했습니다.

      n차함수 모양으로(n은 2 이상) r이 0에 무한히 가까워 지게 배치하는경우 안되는거 증명하겠습니다.

      우선 함수의 어떤 부분이라도 x값이 커지면 y값도 급격히 증가하거나, 감소하는 부분이 있습니다.

      모든 직선이 지나가도록 하려면 이 부분에는 원이 함수의 그래프에 닿으면서 원끼리 서로 접하거나 만나야 합니다.

      우선 원은 y축 관점에서 봤을 때 모든 y좌표에 원이 가득 차있습니다.

      나머지는 걍 쓸게요.

      전 우선 '불가능하다'에 초점을 맞춰서 풀어 보겠습니다.

       

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    •  
      Euler Lv.1 2018.10.17

      제 노트북 펜으로 그린거라서 글씨체가 영 안좋네요.

      걍 댓글로 쓸걸 그랬나...

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.08.11

      굳이 점원이 아니더라도, 이 풀이에서 원의 중심이 모두 y=x^3의 그래프 위에 있으면서, 반지름이 모두 1이고, 서로 이웃한 원끼리는 접하면서, 원 하나의 중심은 원점이게 배치하면 되지 않을까요?

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    •  
      Simon Lv.2 2019.08.11

      반지름을 일정하게 할 경우 100개 지나는 직선이 생기게 됨을 알 수 있습니다. 100개의 원을 지나는 직선이 생기지 않으면서 이 그래프를 덮는 원들을 잘 잡으면 문제가 풀리겠네요

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.09.02

      y= x^3를 미분하면 y=3x^2 이니까 기울기는 x^2에 비례해 가팔라집니다. 그렇다면 원점이 중심, 반지름이 1인 원을 그리고 이 원과 접하면서 중심의 좌표가(x, x^3), 반지름은 1/x^2꼴인 원을 양쪽으로 계속 그려나가면 되지 않을까요?

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  •  
    Fermat314 Lv.2 2018.10.05

    /resources/comment/2018/10/96b1cb7b610f687f5d3b2eb66df43b49.jpg

    이런 방식으로 하면 가능할 수도 있을 것 같습니다.

    극좌표로 보면 더 쉬울 수도 있을 것 같은데, 원의 크기랑 위치를 잘 조절해야겠네요. 근데 막상 형태를 만들어도 모든 직선에 대해 100번 이하로 만남을 증명하기는 힘들 수도 있겠어요.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.07

      이런 사진은 링크 말고 댓글에 올려주시면 좋겠는데...

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    •  
      Robot OP Lv.1 2018.10.08

      근데 이것도 아아아아아아아ㅏㅇ아ㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏ주멀리 나아가면 직선1개가 100개 이상 관통하는 상황이 나옴

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.08

      이런 그림이군요!smiley

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2018.10.06

    이런 식으로 했을때 빗금친 부분(경계 포함)에 많아도 99개의 원이 지나게 할 수 있나요? 일부분만 걸친 것도 지난 거라 봅니다.(단,이게 가능하다 해도 모든 직선이 적어도 1개 원을 지나야 한다는 게 함정...)

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    •  
      바나나 Lv.1 2018.10.30

      원끼리 겹쳐도 상관은 없다 했으니 빗금친 부분에 원이 무한히 들어갈 수 있을 거라고 생각합니다

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  •  
    구머 Lv.4 2018.10.06

    @수학동아

    원의 크기의 최솟값을 정의해도 되나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.10

      최솟값을 정하는 건 자유지만, 굳이 정하지 않아도 된다는 의견!!laugh

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  •  
    새우튀김 Lv.1 2018.10.06

    제가 잘 모르기는 하는데,

    평면 위에 직선은 무수히 많으니까 평면 우에 평면만한 크기에 원을 그리고 빈공간을 원으로 채우면 어떨까요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.06

      그 '평면'이 무한하니깐 문제죠. 맨 위쪽에 프로벤젠님께서 무한한 원은 사용할 수 없다고 설명되어 있습니다. (그리고 작은 원을 무한히 멀리 보내는 것도 불가능할 것 같습니다.(이유: 작은 원을 무한히 멀리 보내 무한한 원을 만들어버리면 바로 해결되기 때문))

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2018.10.11

    오류제보: 문제 출제할 거 있는데, 매스펀에 '매스펀 작성하기' 버튼이 어디로 증발했나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.12

      방황하던 버튼을 제가 다시 끌고 왔습니다!devil

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2018.10.15

    요새 폴리매스뿐만 아니라 다른 곳도 댓글 달리는 빈도수가 좀 준 거 같네요... (아님 착각인가...)

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2018.10.21

    근데 '가능하다면'  요거 답 여러 개겠죠? (제 생각입니다.)

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  •  
    jeuno Lv.4 2018.10.22

    지름이 1인 원을 한 단위로 잡고 이 원을 중심에 그린뒤, 좌우로 소수 수치(2, 3, 5...)만큼 단위 원을 오른쪽은 위로, 왼쪽은 아래로 그리고 (시작지점이 (0, 0)이라면 오른쪽은 (1, 2), (2, 3)... 왼쪽은 (-1, -2), (-2, -3)...[단위는 원 하나])끝나면 왼쪽은 다음 소수 수치만큼 더 내리고 이를 반복, 오른쪽은 다음 소수 수치만큼 올리고 반복하는 방법은 가능할까요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.25

      근데 소수가 무한하긴 하다만 갈수록 듬성듬성 나타나서 좀... 아님 제가 이해를 잘못한 건가요?

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    •  
      바나나 Lv.1 2018.10.25

      아마 안될것 같습니다

      4번째 소수 7 다음은 5번째소수 11인데 중심에서 오른쪽으로 가는 원들중 4번째 원과 5번째 원의 사이에는 Y좌표로 8에서 10까지의 공간이 비어있게 됩니다

       

      (0.0)  (1.2)  (2.3) (3.5)  (4.7)  (5.11) 일때

      원의 반지름은 1이라 했으니 y좌표로만 8에서 10까지의 거리만큼이 비어있게 되므로 y=N (8<N<10) 인 직선들은 원을 하나도 통과하지 않습니다

       

       

      만약 제가 jeuno님의 글을 잘못이해한거라면 죄송합니다

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    •  
      jeuno Lv.4 2018.10.26

      바나나님의 말씀처럼 그렇게 하다보면 무한한 평면이지만 소수가 약간 더 작은 무한이 될거라고 생각합니다. 그래서 언젠가는 소수의 배열이 끝나는 점이 생길 것이고 그 점을 (a, b)라고 하면 초기 방식대로 (a+1, 2+2), (a+2, 3+2)인 점에서 추가로 원을 그려줍니다. 이 배열도 끝나면 다음엔 +3씩, 그 다음엔 +5씩 +'소수'씩... 진행합니다. 그리고 이 행동을 n번째 했을 때의 원의 배열을 A_{n}이라고 하면 이 A_{n}의 배열을 원점 대칭하면 양수쪽으로도 모두 덮고 음수쪽으로도 모두 덮는게 가능하지 않을까 하는 생각이었습니다. 이러면 이해가 더 될까요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.27

      소수는 무한해서 끝나는 점 자체가 없습니다.

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    •  
      jeuno Lv.4 2018.10.27

      가정도 할 수 없는 무한이라면 불가능 하겠군요, 그럼 시도해볼 방법이 더 있을까요? 아니면 불가능한게 맞는 걸까요

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.10.27

      불가능할것 같은 필이 나긴 한데... 저번에 국21번 문제에서 그런 적이 있어 확신은 못하겠네요

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  •  
    21세기오일러 Lv.11 2018.10.28

    오류제보: 핸드폰의 매스펀에 문제내는 버튼이 없습니다. 수정부탁합니다.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.10.30

      제보 감사해요! 수정 완료했습니다!laugh

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  •  
    새우튀김 Lv.1 2018.10.30

    불가능한 것 같습니다. 단순히 생각하면 면이라는 게 무수히 많은 선으로 이루어졌기 때문에 평면의 크기가 무한하다면 무한히 많은 직선이 있는 거죠. 그런데 이때 여떻게 원을 채워도 닿을수가 없는 직선이 생길 수밖에 없다 생각합니다. 그 이유는 100개 이상의 원을 지나면 안된다는 사항이, 우리가 직선을 원하는 곳에 굿는 것은 아니기도 하고, 애초에 원의 크기가 유한해야 한다면 유한한 크기의 원을 그려도 무한한 평면의 다른 직선에는 닿을 수 없죠. 그런 식으로 그리면 어떻게든지 한 직선은 100개를 지나가게 되어 있습니다. 

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  •  
    바나나 Lv.1 2018.10.30

    만약 '원의 반지름이 무한하면 안 된다'라는 것이''원으로 만든 원'에는 해당하지 않는다' 고하면 가능할 것 같습니다

    '일정한 크기의 원들을 이용하여 서로 이웃한 원끼리 접하도록 무한히 큰 원을 그린다'라고 생각하면 어떤 직선이든 1개 이상의 원을 통과할 수 있을 것 같다고 생각합니다

     

    물론 아닐 것 같은 느낌이 들지만 말입니다

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.11.23

      네, 저도 안 될 것 같습니다. 원으로 만든 원에 해당되지 않는다면 걍 한 방에 해결되거든요.

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  •  
    으아아아 Lv.2 2018.10.31

    원의 개수가 무한히 있어도 가능한 것으로 보나요??

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.10.31

      네. 원의 개수에는 제한이 없습니다

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  •  
    ৡ신수 Lv.1 2018.11.18

    문제가 조금 이해가 안되서 질문해봅니다.

    평면의 모든 직선이라 함은, 평면 위에 놓인 직선이 무수히 많다는건가요?

    ㅠㅠ

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.11.19

      네, 맞아요! 

      평면 위에 있는 어떤 직선을 골라도 위 조건을 만족하게 원들을 그릴 수 있는지 물어보는 문제라고 생각하면 쉬울 것 같아요!laugh 

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  •  
    구머 Lv.4 2018.11.18

    오랜만에 접속하네요ㅎ. 제 느낌으로는 이 문제는 '원은 무한해야 한다'(자명) +'원이 무한하면 어떤 직선은 무한개의 원을 지날 수 있다'의 논리로 접근하는게 좋을 듯 합니다

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    •  
      ৡ신수 Lv.1 2018.11.20

      "평면이 무한하므로 고를 수 있는 어떠한 직선은 무수히 많다"

      라는 전제 하에서 원이 한정적으로 사용되면, 원을 지나지 않는 직선이 무한한 평면 속에 존재하므로 "적어도 하나의 원과 만나야 된다"라는 문제의 조건과 일치하지 못하므로 모순.

      즉, 원을 무수히 많이 사용해야 모든 직선은 적어도 하나의 원을 지나게 된다는 것을 알 수 있습니다.

      그러나, 원을 무수히 많이 사용하는데에 있어서 배치, 배열, 규칙에 관계없이 원이 무수히 많이 사용되다보면 언젠가는 한 직선에 만나게 되는 원의 개수가 100개 이상이 될 것입니다.

       

      다시 말해, 평면 위의 어떠한 직선을 골라도 문제의 조건을 만족하도록 원을 그리는 것은 불가능하다고 봐야되지 않을까요?

       

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.11.22

      신수님이 푸는 것과 같이 풀면 될 것 같긴 합니다만, 신수님의 풀이는 너무 직관적이라서 조금 구체적인 증명이 필요할 것 같습니다.

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    •  
      ৡ신수 Lv.1 2018.11.22

      좋은 말씀 감사합니다! >.<

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  •  
    Q Lv.1 2018.12.19

    모자란 부분은 지적해주시면 감사히 배우겠습니다ㅠㅠ

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    •  
      Q Lv.1 2018.12.21

      여기 규칙을 잘 모르는데 기간이 지나면 피드백이 없는 건가요??ㅠㅠ 아니면 혹시 너무 당연히 틀려보이면 딱히 틀렸다고 피드백을 안해주시나요ㅠㅠ

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    •  
      구머 Lv.4 2018.12.23

      기다려주세요^^

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2018.12.23

      기간의 차이는 있다만 언젠가는 피드백 달아주십니다.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.12.24

      모든 풀이는 실시간으로 확인해서 멘토 혹은 출제자에게 검토를 요청합니다.

      다만, 다른 친구들의 의견을 먼저 들어보고 특별히 오류가 없는 경우 검토를 요청하고 있어요!smiley

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.12.26

      문제를 출제한 백진언 연구원이 곧 피드백을 줄 예정! 풀이 과정 중 물어볼 사항이 있다고 하시네요.frown

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.12.26

      백진언 연구원의 코멘트 전달!

      기울기와 y절편을 알면 직선 1개가 결정된다는 사실을 이용해, 직선 1개를 (기울기, y절편)인 순서쌍으로 나타낸 아이디어가 좋았습니다. 다만, 마지막 문단에서 영역의 개수가 무한한 것만으로는 무한히 많이 덮히는 점이 존재하지 않을 수 있다는 점에 주목하세요. 

      ★수학에서는 이렇게 만든 공간을 Moduli space라고 해요!

      예를 들어 위 그림처럼 영역 3개가 공통된 영역이 없도록 그릴 수 있는데(4번째 영역은 더욱 y축에 가깝게, 5번째 영역은 더더욱 y축에 가깝게...) 이렇게 반복해서 그리면 영역 3개에 동시에 포함되는 점이 없도록 할 수 있거든요!laugh

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  •  
    김우현 기자 Lv.4 2018.12.26

    추가로, "좋은 코멘트를 주기 위해 친구들이 올린 풀이를 여러 번 읽어보고 풀이의 의도를 이해하려고 하니, 시간이 조금 걸려도 이해해달라"는 백진언 연구원의 말을 전합니다!!laugh
     

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  •  
    tommy Lv.1 2018.12.28

    도움이 될지는 모르겠지만... "끝없이 펼쳐진 평면"이라고 해서 좀 문제가 어려워 보이는데, 이 평면을 '수축하고 변형시켜서' 모습을 바꿔 놓은 뒤 풀어 보면 어떨까요? 평면을 복소평면이라고 생각하는 겁니다!

    예를 들어, 복소평면 위의 원을 원으로 사상시켜 주는 복소함수인 f(z)=1/z를 고려합니다. 이 함수는 직선도 원으로 사상시켜 주기 때문에, 사상 후 문제를 고려해도 문제가 크게 어려워지지는 않습니다. 다만 평면 위의 모든 원으로 문제가 바뀔 뿐이죠(정확히 말해서는, f(z)는 직선과 원을 다음과 같이 사상시킵니다. [원점을 지나는 직선→원점을 지나는 직선] [원점을 지나지 않는 직선→원점을 지나는 원] [원점을 지나는 원→원점을 지나지 않는 직선] [원점을 지나지 않는 원→원점을 지나지 않는 원]). 이때, 만약 닫힌 단위원판 위에서 문제를 풀었다고 가정합시다. 그렇다면 이 원판을 f(z)=1/z를 통해 사상시킴으로써 원판을 무한한 평면으로 바꿀 수 있습니다(가운데 열린 단위원판만큼만 제외하고). 만약 이 사상을 따라 원들을 다 복소평면 위로 잘 사상시켰다면, 음, 아무래도 원들을 무한한 평면 위에 배치하는 멋진 방법을 찾을 수 있지 않을까요(?).

     

    음... 아이디어가 조금 뜬구름이 잡히긴 했지만, 결론은 '복소함수와 같은 사상을 이용해 무한의 평면을 유한으로 바꿔 생각하고 문제를 풀어 보자'입니다. ㅎㅎ

    +만약 유한한 평면 위에 원들을 배치해야 한다면, 제 생각엔 이런 식으로 프랙탈 구조를 가지도록 원들을 배치해야 할 것 같습니다.

    https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%ED%8F%B4%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%88_%EA%B0%9C%EC%8A%A4%ED%82%B7

    https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.04.23

      좋은 관찰인 것 같습니다! 무한한 평면 대신 유한한 원을 생각하면 직관적으로 생각하기가 쉬워지는 것 같아요. 다만 무한하게 펼처진 공간을 원점 근방으로 '뒤집어놓은' 것이기에 문제의 난이도에는 큰 변화가 있을 것 같지는 않네요. 원의 배치 후보로 프랙탈 구조가 어떤 영감을 주는 것 같습니다.

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  •  
    Cantor Lv.3 2019.01.09

    방사형 모양으로 배치한다.

     

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  •  
    Cantor Lv.3 2019.01.09

    (증명)

    원이 무한개다.

    원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상의 원이 만난다. 

    따라서 원은 유한개 이다.

    원이 유한개이면 원과 만나지 않는 직선이 존재한다.

    원의 개수는 무한 또는 유한개 이다.

    하지만 원의 개수는 무한 또는 유한개가 아니므로 모순이 등장했다.

    따라서 모든 직선이 원과 만나지만 100개보다 적게 만날 수는 없다.(반지름이 양수일 때) 

    증명 끝

     

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    •  
      Cantor Lv.3 2019.01.09

      이 증명에 오류가 있는지 확인 부탁드립니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.01.09

      원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상이 원이 만난다.라는 걸 증명해야 합니다.

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    Cantor Lv.3 2019.01.12

    일딴 원의 개수가 유한하면 적어도 한 직선은 원을 접하지 않습니다.

    원의 개수가 무한하다고 가정.

    원의 배치와 상관없이 적절한 원들을 지우면 한 직선이 100개 이상의 원의 중심을 관통합니다.

    따라서 모든 직선이 원을 적어도 1개와 만나게 하려면 한 직선이 100개 이상의 원을 지난다.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.01.13

      그 100개 이상을 지난다는 걸 증명해야 합니다. 그냥 아무 증명이 없으면 너무 직관적이거든요.

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  •  
    martinanot Lv.1 2019.02.05

    /resources/comment/2019/03/c839e6c0a8e905f338d6959fca95742a.jpg

     

    Q님이 제안한 아이디어와 흡사하게 예전부터 구상해 놓았으나 최종 마무리가 부족하여 포스팅을 못했으나 마무리가 지어질 수 있는지 궁금해서 올립니다. 

    원의 중심으로부터 직선에 내린 수선의 길이가 원의 반지름 이하라면 이 직선이 원을 지남으로

    좌표계에 도형들을 표현하고 간단한 대수적 연산을 통해 어느 원의 중심을 O(p,q), 반지름을 r이라하고  

    직선의 방정식을 ax+by=1의 형태로 생각해준다면(이는 simon님의 추천으로 설정하게 되었습니다)  이 원을 지나게 될 직선의 조건이 (ap+bq+1)^2 ≤ r^2(a^2+b^2)이 됩니다.

    이때 직선의 결정요소인 a,b를 좌표축으로 가지는 새로운 좌표계를 생각하면 

    이 ‘직선의 세계 좌표평면’의 모든 부분이 위의 부등식에 의해 ‘칠’해진다면 문제가 만족된다.

    ‘직선의 세계 좌표평면‘에서 p,q,r은 상수로써 경계 하나에 원 하나가 대응되어서 

    https://www.geogebra.org/graphing/btz3cnej  

    에서 볼 수 있듯이 a와 b가 큰 경우에는 처리된다 생각하면 a와 b가 '작은'영역을 칠할 생각을 했습니다. 

    {(a,b) = (0,0)은 직선의 정의상 정의 되지 않음으로 '이 점 한개'를 제외하고 좌표평면의 모든 부분을 '칠'해야한다}  

    >=< 꼴 과 oval 꼴의 2가지 그래프 형태가 나오고 >=<꼴 그래프는 내부가 부등식 만족 영역이고 oval꼴은 외부가 부등식 만족 영역이됩니다. 

    (자명한 작은 관찰들을 하자면 무한히 큰 원을 생각한 풀이는 oval꼴이 원이 나오는 특수한 경우에서 r->무한인 경우로 (0.0)제외한 좌표평면의 영역이 부등식을 만족하게 되어서 문제에 해당하는 상황이 나오네요)  

    a/b 좌표평면에서 그래프의 '만족 영역'이 겹치게 되는 경우가 발생하는데 이것은 원래 도형 좌표평면에서 서로 다른 원을 동시에 지나는 직선들의 집합이 됩니다.

    겹치게되는 영역 중 '면 차수(?)'가 100을 초과하게 되면 문제 조건에 위배하게 되는 것으로 해석할 수 있습니다.

    (a,b)->(0,0) 근처의 영역을 무한개의 그래프들을 사용해서 채워야하는데 이때 면 차수가 100을 초과하는 영역이 존재함을 증명하면 풀이가 완료됩니다만...

    이를 증명할 방법이 있을까요? 

    총 면 차수의 개수와 총 분할 영역의 개수의 대소 관계로 생각도 해보았으나 해결이 복잡하네요 

    (용어를 임의로 정한 부분은 양해부탁드립니다)

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    •  
      우리집고양이 Lv.1 2019.04.11

      그래프가  왠지 돌아간 모양인데, X,Y평면에서 원점을 기준으로 일정 각도 돌아간 a,b 평면은 a=cx-sy,b=sx+cy (s^2+c^2=1) 로 나타낼수 있음을 이용해서 조금 정리할 수 있네요.  c=p/(p^2+q^2)^(0.5) 으로 잡으면 s도 결정되고, 원래 식은 r^2(x^+y^2)=(gx-1)^2 가 돼요.  (단,g=(p^2+q^2)^(0.5))

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.04.23

      좋은 직관과 실험입니다! 링크에 알 수 없는 전산오류가 있어 확인은 못했지만, GeoGebra로 좀 더 실험해서 문제를 접근할 방향을 잡는 게 좋은 시도 같아요. 앞에서 Q친구가 말한 '직선의 공간' (Moduli space)의 아이디어를 더욱 구체적으로 접근할 수 있을 것 같아요.

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    mathsolver Lv.1 2019.03.02

    무한한 크기를 가진 동일한 원을 99개 겹치면 안되나요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.03.02

      원이 유한개 있으면 어떤 직선은 원을 지나지 않을 것이라는 게 자명합니다.

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  •  
    인간의 이중성 Lv.5 2019.03.03

    증명했습니다.

    100개 뿐만 아니라 유한개가 불가능하다는 것도 보였네요.

    이 증명이 맞다면, 결론은 '불가능!'이 되겠네요.

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    •  
      tommy Lv.1 2019.03.03

      한 기다란 띠 모양의 영역이 존재하여 그 안의 어떤 직선도 그 띠 모양 영역 안 모든 원을 통과하게 된다고 할 때, 띠 속 원이 무수히 많다면 어떤 직선은 무수히 많은 원을 통과하게 되고 띠 속 원이 유한하다면 어떤 직선은 아무 원도 통과하지 않아 모순이다라고 말씀하고 싶으셨던 것 같네요. ㅎㅎ 하지만 띠 속 원이 유한한 부분에서 중대한 오류가 존재합니다.

       

      ∞라는 개념은 '수'가 아닙니다. 그래서 많은 분들이 무한대를 다룰 때 실수를 하시곤 하는데, 무한대는 수가 아니라 '점점 커져 나가는 상태'를 표현하는 기호입니다. 즉 극한으로써 이해해야 한다는 것이죠.

       

      어떤 끝없는 평면 위에서 무한대를 찾고자 한다면, 평면의 저쪽으로 끝없이 나아가야 합니다. 만약 유한한 만큼 나아갔는데 거기에 무한대가 '존재한다면', 그건 더 이상 무한한 양이 아니게 되기 때문이죠.

       

      어떤 평면 위의 모든 점들은 좌표로 표현되는데, 그 좌표가 무한대인 어떤 점을 '보고' 싶다면, 즉 무한대의 성질을 유지하며 유한한 거리로 옮겨놓고 생각하고 싶다면, 그 점은 사실 이 평면을 튀어나가게 됩니다. 3차원상으로요. 자세한 내용은 사영기하학과 사영 평면을 공부하시면 알게 되지만, 여기서는 생략하겠습니다. 요점은 무한대는 '이 평면 위에는' 존재하지 않는다는 겁니다.

       

      바로 그 부분에서 오류가 생겼습니다. 두 평행하지 않은 선분을 끝없이 연장하다 보면 언젠가는 두 선분 사이 거리가 ∞가 될 것이라는 것 말이죠. 무한대는 점점 커져가는 양이고 평면 위에는 존재하지 않기 때문에, 두 선분 간의 거리는 어떤 지점에서 측정해도 무한대가 될 수 없습니다. 두 선분 간의 거리가 무한대가 되는 것은 두 선분을 '무한히 연장시킬 때'의 얘기이며, 이것을 엄밀하게 논증하려면 무한대를 극한으로써 생각하여 두 선분 사이 거리가 발산한다고 표현하거나 사영기하학을 도입하여 생각해야 합니다.

       

      그렇기 때문에, 띠 속에 포함되는 직선들은 절대 '가로로는' 존재할 수 없습니다. 그리고 만약 그것이 가능하다면, 띠 속의 어떤 직선도 띠 안의 모든 원들과 교차한다는 명제부터가 틀려지게 되겠죠. ^^

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.03

      자세한 답변 정말 감사드립니다.

      '무한'이라는 개념에 대해 다시 생각해 볼 기회가 되었네요! yes

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2019.03.04

    '평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 n개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까?' 로 고친 다음 이것이 '참'이 되는 n의 최솟값을 구해도 좋을 거 같네요. 100 이하이면 가능, 100 초과이면 불가능 이런 식으로요. 그리고 일반화도 가능하고요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2019.03.04

      n이 아무리 커도 안 될 것 같은 느낌이 드는데요.........

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.03.05

      그러면 n이 아예 존재하지 않는 걸로 되겠죠.

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  •  
    인간의 이중성 Lv.5 2019.03.10

    불가능 합니다.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.03.10

      원이 크기가 있다고 해서 O를 지나는 직선 중 한 직선은 원 100개를 지난다고 할 수는 없을 것 같습니다.

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.16

      아인수타인 님이 한 질문에 대해 생각해 보도록 하겠습니다.

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  •  
    수학오리 Lv.4 2019.03.12

    음... 만약 어떤 그래프가 일차함수로 수렴한다면... 계단 등의 모형은 계단을 어떤함수로 하더라도 불가능하겠군요... y=x^3을 변형해 계단모양으로 하는건 의미가 없네요ㅠㅠ

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.23

      제 생각은, '가능할 때의 원의 배치'를 찾는 것보다, '불가능한 이유'를 찾는 것이 맞는 것 같습니다. 직관적으로도 가능해 보이진 않죠 ^^

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  •  
    인간의 이중성 Lv.5 2019.03.16

    아인수타인 님, 원이 크기가 있으면 100개의 원은 겹친다에 대한 부가설명을 드리고자 합니다.

    원이 1개 생기면, 점O에 대한 교각이 생깁니다. 그 각은 0이 아니고요. 전체 각도 360을 길이 360인 띠로 생각해 봅시다. 그리고 우리는 교각에 해당되는 영역을 색칠합니다. 예를 들어 한 직선을 기준으로 30~40도에 교각이 생겼다면 30~40의 길이 부분에 색칠한다는 겁니다. 색칠된 부분은 0이 아닌 유한한 영역일 것이고, 무한히 많은 회수의 색칠을 하게 된다면, 즉 360의 한정된 길이에 유한한 길이의 부분을 무한히 색칠하게 된다면, 겹치는 부분이 반드시 존재할 것입니다. 거기에 계속하여 무한한 횟수의 색칠을 한다면, 100번 겹쳐져 색칠되는 부분이 없도록 하는 것을 불가능할 것입니다. 결국 100번 겹치는 부분이 생길 것이고, 그 영역을 death area라고 정의한 겁니다.

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    •  
      수학자 Lv.1 2019.03.16

      유한한 값을 무한히 많이 더해도, 그 합이 유한할 수도 있습니다. 예를 들면, 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \le 2로, 무한히 많은, 0보다 큰 값들이지만 그 합은 2를 넘지 못합니다.

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.16

       그런 식으로 원을 배열한다면, 극한의 개념을 건드려야 합니다. 원의 크기는 0에 수렴할 때까지 작아져야 하고, 점원은 안된다는 위 댓글에 위배됩니다. 즉, 2분의 1의 무한 등비 급수의 개념을 생각하는 것은 불가능 합니다.

      수학자 님이 말씀하신 '무한히 많은, 0보다 큰' 이라는 말은 언밀하게 말할 순 없는 것이죠. 원의 개수는 무한하니까요.

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    •  
      수학자 Lv.1 2019.03.16

      제가 설명한 예시에서 점원은 없습니다. 점원이 존재한다면, 그 원은 몇 번째 원인가요? 원이 무한히 많다 하더라도 우리는 그 순서를 따져줄 수 있고(만약 셀 수 있는 무한이라면), 이렇게 고른 원 안에 있는 임의의 원은 "이 원은 k번째 원이다!"라고 말할 수 있는 k가 존재합니다. 원의 순서를 따질 때, 교각의 길이가 1인 것, \frac{1}{2}인 것, \frac{1}{2^2}인 것, ... 순서대로 센다고 합시다. 만약 k번째 원이 점원이라고 한다면, 순서를 따진 방법에 따라 교각의 길이는 \frac{1}{2^{(k-1)}}가 되어, 점원일 수 없어 모순입니다. 그러므로 임의의 자연수 k에 대해 k번째 원은 점원이 아니라는 결론에 이르게 됩니다. 즉, 제가 잡은 예시에서 점원은 없습니다.

      무한의 개념은 굉장히 접근이 어려운 개념입니다. 0으로 수렴하지만, 절대 0이 되지는 않는다면, 조건을 만족하는 것입니다. 만약 이 문제의 답이 "가능하다"라면, 이런 식으로, 원의 반지름의 하한은 0이지만 반지름이 0인 원은 없는 그런 형태가 될 것입니다.

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.23

      앗! 수학자님, 위 대댓글에 논리적 결함이 있다는 것을 알았습니다.

      2분의 1을 무한히 반복하면, 0이 될 수 없다는 것이 모순입니다.

      그 이유는 '제논의 역설'을 보면 알 수 있습니다.

      즉, 0이 되지 않는다는 것은, 사람과 거북이의 달리기 싸움에서 거북이가 이긴다는 것입니다. 말이 안되는 소리죠.

      점원이 된다는 것을 상상할 수 없고, k번째 원에서 점원이 나온다고 말할 순 없습니다. 즉, 점원이 되지 않으려면 유한하다 라고 말할 순 없는 것이지만, 무한하다 - 가 있을 때에는 모순이 쾅! 하고 나타나는 것입니다. 마치 사람이 거북이를 넘을 수 없다는 것과 같죠. 따라서 저의 증명이 성립이 된다고 말할 수 있는 것 같습니다.

       P.S. '무한'이라는 개념은 수가 아닙니다. 상태입니다. 무한번째 원이 0이 아니다? 이 말에는 무한이라는 개념의 사용에 혼돈이 있었던 것입니다. 즉, k번째 원이 점원이 아니라고 반박하는 것은 분명히 문제가 있다고 할 수 있습니다.

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.04.23

      '인간의 이중성'님. 먼저 문제에 대해 관심을 가져주셔서 감사합니다. 지난 한달간 훈련소를 다녀와서 이제야 답장을 드려요. '인간의 이중성'님의 풀이를 여러번 읽고 고민을 많이 했는데, 아직 풀이의 의도를 완전히 이해하고 있는지는 모르겠습니다만 더 이상 늦으면 안 될 것 같아 아래 피드백을 보내드립니다.
      '수학자'님의 댓글에 '제논의 역설'을 들어 논리적 결함이 있음을 언급해주셨는데, 제가 보기에는 수학자님의 대댓글에 논리적 결함이 없는 것 같아요. 2분의 1을 무한히 반복하면 수가 0이 된다고 말씀하셨는데, 수 자체는 변하는 것이 아니므로 정확히는 '수열 1/2, 1/4, 1/8, .... 은 0으로 수렴한다'라고 서술해야 해요 (마찬가지로 '무한히 더하면 A다'는 서술은 무한번 더하는 것이 아니라 유한번 더해서 나온 값들의 수열의 수렴값이 A라는 뜻이에요). 이때 수열의 수렴값은 0이지만, 수열에 0이 등장하지는 않아요. 이처럼 '원의 반지름이 0으로 수렴하는 원들의 열이 있다' 와 '점원이 있다' 사이에는 큰 차이가 있어요. 아래 그림에서 등장하는 원들의 반지름은 0으로 수렴하는 수열로 쓸 수 있지만, 그림에 점원이 있지는 않아요. '수학자'님의 설명은 이러한 상황을 설명하신 걸로 이해가 됩니다. 이런 상황에서는 풀이에서 나오는 'death area'가 없을 수도 있다고 생각해요.

      피드백의 설명이 부족하다거나 반론이 생각이 나실 수도 있을 것 같은데, 설명을 더 해주시면 더욱 구체적인 피드백을 드릴 수 있을 것 같아요. 댓글 자유롭게 남겨주세요!

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    수학자 Lv.1 2019.03.16

    다음과 같은 사실을 증명했습니다.

     

    "문제의 조건을 만족하는 원의 배치가 존재하는 경우, 원의 개수는 countable infinity이다. 즉, 조건을 만족하는 배치에서의 원의 집합을 P라 하면, P는 countable set이다."

    (countable set = 자연수 집합과 일대일 대응이 가능한 집합)

     

    증명

    먼저, 임의의 양수 \epsilon에 대해, 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들의 집합은 countable set임을 증명합시다. 원을 다음과 같은 순서로 셉니다.

    1) y=0의 그래프, 즉 x축이 지나는 원들을 모두 셉니다. 그 개수는 최대 100개입니다.

    2) y=2\epsilon의 그래프가 지나는 원들 중, 아직 count되지 않은 원들을 모두 셉니다. 그 개수는 최대 100개입니다.

    3) y=-2\epsilony=4\epsilony=-4\epsilon, ... 에 대해 이 과정을 계속 반복합니다.(정수를 count하는 것과 같은 원리입니다. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...)

    이 때, 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들은 모두 count되었습니다. 원의 중심이 있는 위치에서 가장 가까운 y=2n\epsilon 형태의 직선을 찾으면, 그 직선과의 거리는 최대 \epsilon입니다. 그러므로 그 직선이 이 원을 통과하게 됩니다. 따라서 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들의 집합은 countable set입니다.

     

    countable set의 부분집합도 countable set입니다. 따라서 다음과 같은 집합들이 모두 countable set입니다.

    P_n =(반지름의 길이가 \frac{1}{n+1} 이상 \frac{1}{n} 미만인 원들의 집합)(n\ge1)

    그리고 P_0는 반지름의 길이가 1 이상인 원들의 집합으로 잡읍시다. 역시 countable set입니다.

    그렇다면 모든 원들은 P_i들 중 정확히 하나에 속하게 됩니다.

    그렇다면 우리는 이 countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 세 주면 됩니다. P_i의 원소들을 a_{ij}라 한다면, a_{ij}들을 i+j가 증가하는 순서로 count하면 됩니다. 유리수를 셀 때처럼 말이죠. (a_{00}, a_{01}, a_{10}, a_{02}, a_{11}, a_{20}, \cdots) 중간에 없는 원소(P_i가 유한집합이라면 그럴 수 있습니다)는 건너뛰면 됩니다.

    그러므로 조건을 만족하는 배치에서의 원의 집합은 countable set입니다.

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      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.17

      조건을 만족하는 원의 집합이 countable set이라는 것은, countable set라서 불가능하다는 것인지, countable set라서 가능하다는 것인지 잘 모르겠습니다.

      죄송하지만, 이 부분이 잘 이해가 안 가는 것 같아요. 자세히 설명해 주실 수 있어요?

        "그렇다면 우리는 이 countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 세 주면 됩니다. P_i의 원소들을 a_{ij}라 한다면, a_{ij}들을 i+j가 증가하는 순서로 count하면 됩니다. 유리수를 셀 때처럼 말이죠."

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    •  
      수학자 Lv.1 2019.03.25

      사실 답을 낸 건 아닙니다. 다만, 가능하다 / 불가능하다의 증명에 약간 도움이 될까 싶어서 올렸습니다.

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.04.23

      문제를 완전히 푼 게 아니어도, 문제의 조건에서 어떤 새로운 성질을 밝혀낼 수 있다면 문제를 푸는 데 쓸 수 있는 사실이 하나 더 늘어요. 그래서 countable set이라는 것을 증명하는 것도 충분히 의미가 있다고 생각해요 (이 경우에는 모든 원들을 원들의 열로 나열할 수 있다는 사실을 풀이에 쓸 수 있죠). Countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 센다는 것은 아래 그림처럼 각 countable set의 원소들을 가로로 나열한 다음 대각선으로 한 줄로 정리한다는 뜻이에요 (출처: https://math.stackexchange.com/questions/91366/proof-that-union-of-a-sequence-of-countable-sets-is-countable).

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  •  
    으아아아 Lv.2 2019.03.24

    가장 큰 수를 x(무한), 원의 지름을 r이라 하면

    이것처럼 (-x, 0), (-x+r, r), (-x+2r, -r), (-x+3r, r), (-x+4r, -r), (-x+5r, 2r)...으로 무한히 원을 그려나가면 되지 않을까요?

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  •  
    동덕 Lv.1 2019.03.29

    아니요.

    만약 참이라면, 원은 무한히 많아야합니다. 만약 유한하다면 좌표를 그렸을 때 가장 y 좌표의 값이 높은 원의 방정식의 점으로부터 y좌표의 값을 100을 더해 점을 찍은 뒤, 이 점을 지나며 X축과 평행한 직선을 그어버리면 X 좌표 값이 아무리 같아도 y 좌표값이 같은 원 위의 점이 존재할 수 없으니 결국 그 어떤 점도 지나지 않는 직선이 생겨 버립니다. 따라서 원은 무한히 많아야만 합니다.

    만약 무한히 많은 경우에도 마찬가지입니다.

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      아인수타인 Lv.11 2019.04.08

      그리고 저 원들을 하나도 안지나는 직선도 나오네요... 첫번째와 세번째 원 사이를 지나는 직선은 하나도 안지납니다. 또는, 아예 저 원들 밖으로 나가버리는 직선도 있네요.

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.04.23

      원이 무한히 많이 있다면 가장 y좌표가 높은 원이 없을 수도 있지 않을까요? 이를테면 원을 y좌표값이 증가하는 방향으로 계속 그리는 경우가 있을 거에요.

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    우리집고양이 Lv.1 2019.04.10

    x^3처럼 무한대 커버하는 곡선에 점점 작아지는 원을 서로 계속 접하게 그려서 100개 이하로 만드는게 관건인거같은데...에엥 어렵다

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.04.28

      x^{3}이나 \sqrt[3]{x}처럼 x가 충분히 클 때, 기울기가 \infty(또는 0)에 무한히 가까워지는 함수라면 그런 식으로 될 것 같지 않네요...

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    쌀밥공기 Lv.1 2019.04.27

    검토 부탁드립니다

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    •  
      쌀밥공기 Lv.1 2019.04.27

      원이 직선으로 표현된다는게 어떤의미죠?

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      쌀밥공기 Lv.1 2019.04.27

      저건 한 원이 정해졌을 때 원과 만나는 직선들을 위 그림의 영역으로 나타낸 것입니다.

      pi/2일때 반지름이 다른 원들로 채운다는 것은 y축과 평행한 직선들이 원과 만나도록 하기 위해서 입니다. 결론적으로 0, pi 근방에서 문제가 생기는 것으로 보아,

      y축과 평행한 직선들을 원과 만나게 하려다 보면, x축과 거의 평행한 직선들이 100개 이상의 원과 만나게 된다. 라는 결론을 내릴 수 있을것 같습니다. 

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.04.28

      ??? 왜 쌀밥공기님이 질문하고 쌀밥공기님이 대답을...?

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    •  
      쌀밥공기 Lv.1 2019.04.30

      약간의 오류를 찾았습니다. 시험기간인 관계로 나중에 수정해서 올리겠습니다.

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  •  
    MH Lv.2 2019.05.03

    원이 유한하다면 지나지 않는 직선이 생기고 무한하다면 100개를 넘는 원을 지나므로 불가능 합니다

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  •  
    MH Lv.2 2019.05.03

    원이 유한하다면 지나지 않는 직선이 생기고 무한하다면 100개를 넘는 원을 지나므로 불가능 합니다

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.05.04

      '무한하다면 100개를 넘는 원을 지나므로'를 증명해야 합니다.

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  •  
    Undefined Lv.1 2019.06.01

    무한한 개수의 원이 있다고 하더라도 반드시 100개 이상의 원을 지나는 직선이 존재하는 것은 아닙니다.

    예를 들어 모든 자연수 n에 대해 좌표가 (2n,(2n)^2)이고 반지름이 \frac{1}{\Gamma(n+3)}=\frac{1}{(n+2)!}인 원의 집합을 살펴보면 함수가 선형보다 훨씬 빠르게 증가해서 직선과의 교점이 별로 생기지 않고 반지름은 그것보다 훨~씬 빠르게 작아지기 때문에...

    예, 뭐 그냥 그런 직선이 없을 것 같다는 저의 추측이였습니다.

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    •  
      code Lv.4 2019.06.01

      점원이 생기면 안됩니다(문제의 의도 상)

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.06.01

      원의 크기가 0에 수렴한다는 것은 점원이 생긴다는 것이 아닙니다.

      위 원의 집합 중 점원은 없습니다.

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  •  
    구머 Lv.4 2019.06.10

    평면을 반전시킨다면..?

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  •  
    구머 Lv.4 2019.06.10

    평면을 반전시킨다면..?

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  •  
    수학잘하고싶다 Lv.1 2019.07.09

    일단 저 조건을 만족시키려면 평면을 ㄷ자 모양으로 잘랐을때 무한한 원을 포함하고 있는 경우가 있어서는 안됩니다

    그러니까 프랙탈같은건 아니겠네요

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.07.19

      직선을 무한히 많이 그으면 해결됩니다.

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  •  
    a Lv.1 2019.07.14

    혹시 평면을 반지름이 무한대로가는 하나의 구로 생각해도 되나요? 

    만약 된다면 구 위에 가장 크게 원 하나를 그려서 해결되지 않을까요

     

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.07.15

      그럴려면 원의 반지름이 무한해야 합니다.

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  •  
    KOREA Lv.1 2019.08.03

    원의 개수가 무한해도 되나요?

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.08.12

      무한해도 되긴 하다만 그건 자명하지 않나요? 원이 유한하면 원과 만나지 않는 직선이 존재하게 됩니다.

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  •  
    아인수타인 Lv.11 2019.08.12

    근데 문제를 만약 3차원으로 변형시킨다면 어떻게 될까요?

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  •  
    관종이 Lv.9 2019.08.14

    원들은 겹칠 수 있으니까 일치할 수는 있나요?

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  •  
    관종이 Lv.9 2019.08.14

    원 100개가 모두 일치한다며 지날 수 있지 않을까요?

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  •  
    관종이 Lv.9 2019.08.14

    그렇다면 원 100개가 모두 일치한다면 직선은 반드시 지나가지 않을까요?(틀릴 수도 있어요)ㅜㅜ

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.08.15

      그럼 원을 아예 지나가지 않는 직선이 생기겠죠? 원이 무한해야 그런 직선이 없게 됩니다.

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.08.15

      그리고 (제 생각이지만) 원끼리 아예 일치하게 하면 그 원을 지나가는 직선이 지나는 원의 개수만 하나 더 늘어 그러면 안될것 같습니다.

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  •  
    인간의 이중성 Lv.5 2019.08.25

    풀이입니다. 

    /resources/comment/2019/08/a941bbf61e6ccda6b62a213aa27034d4.hwp

     

    w.t.s 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지날 때, 모든 직선이 i개 이하로 원을 지나게 할 수 없다. (, iN)

    모든 직선이 i개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다. (, iN)

    let. n 개의 같은 원을 지나는 직선들이 차지하는 영역을 n-영역이라고 하자.

    ex)

    (i)  i=1 일 때,

    만약 원이 2개 이상이면, 그림과 같이 원을 두 개 이상 지나는 직선이 반드시 존재한다. 따라서 원은 1개 또는 0개만 가능하고, 반드시 아무 원도 지나지 않는 직선이 존재한다는 결론에 도달하게 된다. 따라서 성립한다.

    (ii)  i=n-1 일 때, 성립한다고 가정하자. , 모든 직선이 (n-1)개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다.

     

    (iii)  i=n 일 때,

    (a) n-영역이 없을 때, (ii)과 같은 경우가 되어서 성립한다.

    (b) n-영역이 존재할 때,

    n-영역에 있는 원 하나를 O라고 하자.

    O만 지나는 직선이 존재하지 않는다면,

    O는 반드시 k(2)-영역 안에 있다. 따라서 원 O를 없애도 어떤 원도 지나지 않는 직선의 존재성은 불변한다. O를 삭제한다.

    O만 지나는 직선이 존재한다면,

    O1-영역, n-영역과 만난다. 이때는 원 O를 지우면 어떤 원도 지나지 않는 직선의 존재성이 변하므로 함부로 지울 수 없다.

    어떤 n-영역, (n-1)-영역에도 원 O가 포함되지 않고, 1-영역의 모든 직선을 지나게 원 O의 위치와 크기를 바꾸자.

    ex)

    이렇게 하면 어떤 원도 지나지 않는 직선의 존재성은 변하지 않게 되므로 논리적 오류가 생기지 않는다.

    n-영역에 있는 원 O를 계속 잡아서 , 를 계속 반복하면, ‘어떤 원도 지나지 않는 직선의 존재성은 변하지 않으면서, n-영역이 완전히 사라지기 때문에 (ii)와 같은 상황이 되어 어떤 원도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다. 따라서 성립한다.                  Q.E.D

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    •  
      마이구미 Lv.1 2019.08.26

      n영역에 대해 잘 이해가 가지 않아서 하나만 물어보겠습니다. 평면위에 원이 3개 그려져 있다면 2영역이 3개의 원중 2개를 택할 때마다 1개가 만들어지니까 총 3개 존재하는 건가요?

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.08.27

      네 그렇습니다

      n-영역은 여러개 혹은 무한히 많이 생길 수 있습니다.

      정의할 때 같은 원이라는 조건을 잡았기 때문이겠죠?

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.09.14

      (b)에 2번에서 원 O를 지나는 1-영역이 여러개여서 어떤 n-영역, (n-1)-영역에도 원 O가 포함되지 않고, 1-영역의 모든 직선을 지나게 원 O의 위치와 크기를 바꿀수 없을 때도 있지 않을까요?

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.09.14

      저도 그 부분이 걸리긴 했어요.

      그럴 수 없음을 어떻게 보여야 할까요?

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.09.17

      궁금한게 있습니다. 다음과 같은 그림에서 하늘색 영역은 2-영역인가요, 3-영역인가요?

      하늘색의 영역을 B-영역이라 합시다.

      • 정의 : let. n 개의 같은 원을 지나는 직선들이 차지하는 영역을 n-영역이라고 하자.

      가로로 보면 B-영역은 2-영역입니다. 그러나 세로로 보면 B-영역은 3-영역입니다.

      위와 같이 정의할 경우 이런 문제가 발생하는것 같습니다. 따라서 정의를 조금 바꿔야 하지 않나 생각도 듭니다.

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.09.21

      Qube120님, 파란색 영역은 2-영역과 3-영역이 겹치는 부분이지 그 부분에 대한 오류는 없습니다.

      n-영역은 서로 겹칠 수 있습니다. 단지 겹치는 부분에 완전히 포함되는 직선이 존재하지 않으면 됩니다.

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  •  
    cube120 Lv.5 2019.09.20
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    정리 : 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지날 때,

    모든 직선이 i개 이하로 원을 지나게 할 수 없다. (, iN)

    모든 직선이 적어도 하나의 원을 지날 때, 모든 직선이 i개 이하로 원을 지나게 할 수 없다. (, iN)

    모든 직선이 i개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재한다. (, iN)

    따라서, 모든 직선이 i개 이하의 원을 지나도록 그렸을 때 원을 하나도 지나지 않는 직선이 항상 존재함을 보이면 된다. 이것을 수학적 귀납법으로 보이기로 하자.

     

    먼저 다음과 같이 정의하자.

    최소 n-지점 : 한 점 P를 지나는 직선들 중 가장 적은 개수의 원과 만나는 직선이 만나는 원의 개수를 n이라 할 때, P를 최소 n-지점이라 정의한다.

    n-직선 : n 개의 원을 지나는 직선.

    n-영역 : n 개의 같은 원을 지나는 직선들이 차지하는 영역.

     

    (i) i=1 일 때

    만약 원이 2개 이상이면, 임의의 두 원의 중심을 지나는 직선은 두 개 이상의 원을 지난다. 따라서 원은 1개 또는 0개만 가능하고, 반드시 0-직선이 존재한다는 결론에 도달하게 된다. 따라서 성립한다.

     

    (ii) i=n-1 일 때 성립한다고 가정하자. , 모든 직선이 (n-1)개 이하의 원을 지나도록 그렸다면, 0-직선이 항상 존재한다. 이제 i=n 일 때의 상황에 대해 생각해보자.

     

    (a) n-영역이 존재하지 않는 경우

    (ii)과 같은 경우가 되어서 성립한다.

     

    (b) n-영역이 존재하는 경우

    n-영역에 있는 원들 가운데 임의로 두 개를 선택해 C1, C2라고 하자. 또한, C1C2를 모두 포함하고 있는 원 C를 생각하자. C1C2를 모두 지우고 원 C를 그리는 작업을 ‘SUM’이라고 부른다면, SUM에 대하여 다음과 같은 생각을 할 수 있다.

     

    1) SUM을 시행할 때, 새로 생기는 0-직선이 존재하는가?

        - C1C2을 제외한 다른 원 C’과도 만나는 직선 : SUM 이후에도 C’과 만나므로 0-직선이 되지 않는다.

        - C1 또는 C2 와만 만나는 직선 : SUM 이후에는 C와 만나므로 0-직선이 되지 않는다.

    따라서 새로 생기는 0-직선은 없다.

     

    2) 없어지는 0-직선이 존재하는가?

    만약 SUM 시행 전 원C 내부에 최소 0-지점이 존재했다면, 이 지점이 반드시 최소 1-지점으로 바뀌는 것은 자명하다. , 최소 0-지점을 지나던 모든 0-직선은 없어진다. 따라서 없어지는 0-직선은 존재할 수도, 아닐 수도 있다.

    1)2)에 의해 SUM 시행 이후 0-직선의 개수는 반드시 단조감소한다.

     

    이제 여러번의 SUM 시행을 통해 n-영역이 존재하지 않도록 만들자.

    그러면 모든 직선은 n-1개 이하의 원을 지날 것이다. 그리고 이 경우 가정에 의해 다음을 알 수 있다 : 0-직선은 존재한다.

    여러번의 SUM 시행을 통해 0-직선의 개수가 단조감소했는데도 불구하고 0-직선이 존재한다는 것은, SUM 시행을 하기 전에도 0-직선이 존재했다는 뜻이 된다.

    다시 말해, i=n일 때도 0-직선이 항상 존재한다.

     

    따라서 수학적 귀납법에 의해 주어진 정리가 성립한다. Q.E.D.

     

    수학적 귀납법에서 문제가 되는 부분을 다른 방법으로 메꿔보았습니다. 오류가 있는지 확인해 주시면 감사하겠습니다.

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.09.21

      만약 SUM을 통해 다른 n-영역에 원 C가 침범하면, 가정한 조건에 위배돼지 않을까요?

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.09.21

      다른 n-영역에서도 SUM을 시행하면 해결됩니다.

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    •  
      수돌이 Lv.2 2019.09.29

      본 증명에는 오류가 있습니다. 오류는 다음과 같습니다.

      C1과 C2를 모두 포함하는 원 C를 그리는 과정에서, C1과 C2를 모두 지나지 않으나, C를 지나게 되는 직선이 존재할 수 있습니다. 그 직선이 n-1-직선일 경우, n-직선이 되고, 새로운 n-영역이 생겨나게 됩니다. 원의 개수는 무한하므로, 따라서 SUM 시행을 많이 반복한다고 해서 n-영역이 모두 사라진다는 보장이 없습니다.

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.09.29

      SUM 시행을 한다면, n-영역의 개수가 당장 감소하지 않더라도, 원의 개수는 하나씩 감소하기 때문에,

      결국 n-영역이 모두 없어지는 것에는 변함이 없습니다.

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    •  
      수돌이 Lv.2 2019.09.29

      아니오. 원의 개수는 하나씩 감소하지 않습니다. 애초에 무한개이기 때문이죠.

      다음과 같은 경우를 생각해봅시다. 칠판에 모든 자연수가 하나씩 적혀 있어요.

      여기서 두 수 a,b를 골라서 지우고, 대신 a+b를 쓰는 시행을 한다고 해 봅시다. 이 시행을 반복해서 칠판에 있는 짝수들을 모두 지울 수 있을까요? 홀수인 a와 짝수인 b를 골라 지우고, 홀수인 a+b를 쓴다면 짝수가 하나씩 줄어드는 것처럼 보입니다. 그러나, 애초에 짝수는 무한 개이기 때문에 시행을 아무리 반복해도 여전히 무한 개입니다.

      따라서 본 증명에서는 n-영역의 개수가 당장 감소하지 않을 뿐더러, 원의 개수 역시 시행을 아무리 많이 반복해도 무한 개이므로 논리적으로 옳지 않습니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.02.09 비밀댓글
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  •  
    수돌이 Lv.2 2019.09.28
    확인요청중

    거의 일 년(362일) 동안 미스터리로 남아 있었던 이 문제가 드디어 풀렸습니다!

    이걸 풀기 위해 투자한 시간 대비 Solution이 생각보다 쉬워서 허탈하네요;;;<-아니 이건 기만이지

    문제 풀이에 있어서 수학자님, 인간의이중성님의 아이디어에서 많은 도움을 얻었습니다! 감사합니다~(꾸벅)

     

    Answer. 불가능하다.

    Solution.

    귀류법으로, 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있다고 가정하자.

     

    Step 1. 그 때, 원의 개수는 가산 무한개이다. (Countable Infinity)

    pf) 2019년 03월 16일에 '수학자'님이 올려주신 증명을 참고해주세요.

     

    원점을 포함하는 원은 최대 100개이므로, 원점을 포함하지 않는 나머지 가산 무한개의 원들을 생각할 것이다. 원들을 1,2,3,4,...와 같이 번호 붙일 수 있다. i번째 원을 c_i라고 하고, 그 반지름을 r_i, 원점과 원의 중심과의 거리를 l_i, 그리고 원점에서 그 원을 바라본 각도를 \theta _i (라디안)라고 하자.

    \theta _i를 엄밀하게 나타내자면, 원점에서 c_i에 그은 두 접선이 이루는 각이라고 할 수 있다.

     

    Step 2는 방금 정의한 r_i,l_i,\theta _i들이 가지는 성질에 관한 관찰이다.

    Step 2-1. \frac{r_i}{l_i}<\theta _i이다.

    pf)

    \frac{r_i}{l_i}=\frac{XA}{OX}<\frac{XX'}{OX}<\frac{\widehat{XX'}}{OX}=\theta _i (\widehat{XX'}는 호 XX')

    Step 2-2. \frac{\theta _i}{\pi}<\frac{r_i}{l_i}이다.

    pf) Step 2-1의 증명에서 \frac{XX'}{XA}<\pi이므로 자명하다.

     

    다음 Step 3과 4는 문제를 푸는데 중요하게 작용할 두 가지 보조정리이다.

    Step 3. 아무리 작은 양의 실수 \epsilon을 잡아도, 원점을 중심으로 하는 적당히 큰 원 C를 잡으면, C 바깥을 지나는 원들의 \frac{r_i}{l_i}값들의 총합이 \epsilon 미만이 된다.

    pf) 원점에서 그 원을 바라보는 각들의 총합이 200\pi 이상이면, 한 바퀴가 2\pi이므로, 비둘기집의 원리에 의해 원점을 지나며 100개의 원을 지나는 어떤 직선이 존재하므로, 따라서 총합은 이보다 작아야 한다. 그리고, Step 2-1에 의해, \sum \frac{r_i}{l_i}<\sum \theta _i<200\pi를 얻을 수 있다.

     S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{r_i}{l_i}라고 하면, S_n는 증가하면서 유계인 실수 수열로, 수렴값 \sum \frac{r_i}{l_i}=S_{\inf}가 존재한다. 임의의 양의 실수 \epsilon에 대해, 적당히 큰 n을 잡으면 S_n>S_{\inf}-\epsilon이게 할 수 있다. 이 때, c_{1},c_{2},...,c_{n}을 모두 포함하고, 원점을 중심으로 하는 적당히 큰 원 C를 잡자.

    C 바깥을 지나는 원들은 C에 포함되지 않는 원들이므로 \frac{r_i}{l_i}값의 총합은 \epsilon보다 작다.

     

    Step 4. 원점 O에 대해서, 반직선 OA,OB를 정하자.그러면 적당한 양의 실수 \alpha가 존재하여 임의의 각 AOB의 이등분선 위에 존재하는 점 M과 각 AOB의 외부에 있는 점 X에 대해 항상 \frac{MX}{OX}>\alpha를 만족하도록 할 수 있다.

    임의의 실수 \alpha에 대해, OX:XM이 1:\alpha가 되는 X들의 자취는 "아폴로니우스 원"이라고 하는 특정한 원 위에 있게 된다.

    \alpha=1일 때는 아폴로니우스 원이 OM의 수직이등분선이 되고, \alpha<1일 때는 아폴로니우스 원은 M을 포함하게 된다. 이 때, 아폴로니우스 원 바깥에 있는 임의의 점 X에 대해서 \frac{MX}{OX}>\alpha가 성립한다는 성질이 있다.

    또, \alpha가 작아지면 아폴로니우스 원의 크기 역시 작아짐이 잘 알려져 있다. 따라서 충분히 작은 \alpha를 잡으면, OX:XM이 1:\alpha가 되는 아폴로니우스 원은 각 AOB의 내부에 포함되고, 각 AOB 외부에 있는 임의의 점 X는 아폴로니우스 원 바깥에 있어야 하므로, \frac{MX}{OX}>\alpha이다.

     

    지금까지 나온 Step1,2,3,4들은 모두 이 Step 5의 증명을 위한 준비라고 할 수 있다.

    Step 5. 임의의 실수 a<b, 양의 실수 r에 대해 다음 조건을 만족하는 영역(바깥 부채꼴이라 정의하자) 을 지나는 원이 존재한다.

    ax<y<bx

    x^{2}+y^{2}>r^{2}

    즉, 어떠한 방식으로도 아래과 같은 바깥 부채꼴을 잡을 경우, 색칠된 부분을 지나는 원이 존재한다.

    pf) 귀류법으로, 적당한 바깥 부채꼴이 존재하여 그 내부를 지나는 원이 존재하지 않는다고 가정하자.

    갈색 영역을 바깥 부채꼴이라 하자. 바깥 부채꼴의 직선 부분이 각각 반직선 OA,OB로 이루어져 있다고 하자. Step 4에 의해, 적당한 \alpha가 존재하여 각 AOB의 이등분선 상에 있는 임의의 점 M과, 바깥 부채꼴 외부의 점 X에 대하여, \frac{MX}{OX}>\alpha이다. [1]

    다만, 주의할 것은 OM의 길이가 너무 작으면 M이 바깥 부채꼴 밖으로 벗어나 버리므로, 충분히 OM이 길면 항상 성립한다.

     

    양의 실수 \epsilon =\frac{1}{2}\alpha가 되도록 잡자. [2]

    Step 3에 의해, 원점을 중심으로 하는 원 C가 존재하여, C 외부를 지나는 원들의 \frac{r_i}{l_i}값들의 총합이 \epsilon 미만이도록 할 수 있다. [3]

    원 C를 포함하고, 원점을 중심으로 하고, 한 꼭짓점이 각 AOB의 이등분선 상의 점 M에 있으며, (식 1)이 만족하도록 충분히 OM이 길게 하는 정사각형 F를 잡자. 그림을 보면 정사각형 F에 의해 노란색으로 색칠된 영역이 정해진다. 이제 점 M을 지나며, 노란색 영역에 포함되는 직선들 중 하나는 어떠한 원도 지나지 않아 모순임을 보일 것이다.

    각 원의 중심과 M과의 거리를 m_i라고 하자. M에서 각 원을 바라보았을 때의 각도를 (원에 그은 두 접선이 이루는 각) \eta _i라고 하자. 마지막으로, 노란색 영역을 지나는 원들의 집합을 Y라고 하자.

     

    우선, 노란색 영역은 원 C 외부에 있으므로 [2]와 [3]에 의해 \frac{1}{2}\alpha =\epsilon >\sum_{c_i\in Y}\frac{r_i}{l_i}이다. [4]

    귀류법의 가정에 의해 바깥 부채꼴(갈색 영역)을 지나는 원은 존재하지 않으므로, 노란색 영역을 지나는 원들의 중심은 바깥 부채꼴 외부에 있어야 하고, [1]에 의해 원의 중심 X에 대해서 \frac{MX}{OX}=\frac{\eta_i}{l_i}>\alpha를 만족하게 되므로, \sum_{c_i\in Y}\frac{r_i}{l_i}>\sum_{c_i\in Y}\frac{\alpha r_i}{m _i}=\alpha\sum_{c_i\in Y}\frac{ r_i}{m _i}이다. [5]

    Step 2-2에 의해서, \alpha\sum_{c_i\in Y}\frac{ r_i}{m _i}>\alpha\sum_{c_i\in Y}\frac{ \eta _i}{\pi}=\frac{\alpha }{\pi}\sum_{c_i\in Y} \eta _i이다. [6]

    부등식 [4],[5],[6]을 이어 붙인 다음, 정리하면 \frac{\pi}{2}>\sum_{c_i\in Y} \eta _i를 얻을 수 있다. 따라서, 노란색 영역을 지나는 원들을 M에서 바라본 각도는 다 합해도 \frac{\pi}{2}, 즉 90도가 되지 않으므로 어떤 직선이 존재하여 원을 지나지 않게 된다. 모순.

     

    Final Step. 원점을 지나며 100개의 원을 지나는 직선이 존재한다.

    임의의 바깥 부채꼴을 잡고, 1번이라 하자. 1번 바깥 부채꼴을 지나는 어떤 원을 C_1이라 하자.

    C_i와 i번 바깥 부채꼴이 주어졌을 때, 원점에서 C_i에 그은 두 접선이 이루는 각에 포함되면서, i번 바깥 부채꼴에 포함되지만 C_i의 일부를 포함하지 않는 (i+1)번 바깥 부채꼴을 잡을 수 있다. 그리고 (i+1)번 바깥 부채꼴을 지나는 어떤 원이 존재하고, 그것을 C_(i+1)이라 하자.

    이를 반복하여 101번 바깥 부채꼴 내부의 임의의 한 점과 원점을 이은 직선은 C_1,C_2,...,C_100을 모두 지나게 된다.

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      디듀우 Lv.6 2019.09.29

      안쉬운데요... 저만 그런가... step 3부터는 전혀 모르겠네요. 엡실론 - 델타 논법인가 뭔가 하는 그건거 같은데 뭘 공부하면 저런걸 할 수 있죠?

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      cube120 Lv.5 2019.09.29

      글을 읽다가 궁금한 점이 있어서 질문합니다.

      모든 r_i<\infty입니다. 만약 모든 i에 대하여 l_i<\infty이면 아무 원도 안 지나는 직선이 존재하게 되므로, 모순. 따라서 l_i=\infty인 i가 존재함은 자명합니다.

      이 때 이 원은 원점으로 부터 무한히 떨어져 있으므로, \theta_i역시 0 이고, 따라서 step2-1의 식은 0<0이 됩니다. 그러면 모순이 되지 않는가라는 질문입니다.

       

      제 질문의 본질적 의미는 다음과 같습니다. 원점으로부터 무한히 떨어진 원은 자명하게 존재하고, 이 때 과연 theta_i 와 l_i가 의미를 가질 수가 있는가?

      만약 모든 원에 대해 l_i가 실수값(유한 확정값)이라면, 위에서 보인 것처럼 모순이 됩니다.

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      수돌이 Lv.2 2019.09.29

      l_i=\inf인 i가 존재해야만 한다고 하셨는데, 무한대(inf)는 어떤 수가 아니기 때문에 틀린 표현입니다.

      더군다나, 모든 i에 대하여 l_i<\inf. 즉 l_i가 어떤 실수로 정해졌을 때 아무 원도 안 지나는 직선이 존재하지 않을 수 있습니다.

      각각의 (정수,정수)점마다 반지름 1인 원이 있다면, 임의의 원을 잡았을 때, 원점과의 거리는 어떤 실수로 정해집니다. 하지만 임의의 직선은 적어도 하나의 원을 지나게 됩니다.

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      수돌이 Lv.2 2019.09.29

      각각의 theta_i를 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...이라고 하면 총합은 2로 200pi보다 작습니다. 그러면서 모든 원에 대해 theta_i와 l_i가 실수값(유한 확정값)이 됩니다. 따라서 반드시 theta_i 중 일부는 0이 되어야 한다는 논리에는 오류가 있습니다.

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      수돌이 Lv.2 2019.09.29

      디듀우님! 제 풀이의 논리 흐름을 요약하면 이렇게 됩니다.

      점을 하나 정하면, 그 점에서 다른 원들을 바라보았을 때 시야각의 총합은 2pi 이상, 200pi 이하가 되어야만 합니다. (모든 직선이 하나 이상 100개 이하의 원을 지나야하므로)

      그러므로 원점에서 다른 원들을 바라보았을 때, 무한 개의 시야각의 총합이 200pi 이하의 어떤 유한값으로 한정되어 있으므로 그 무한 개의 시야각들은 1, 1/2, 1/4, ...처럼 다 더했을 때 수렴해야 합니다.

      그러니 대부분의 시야각들은 아주 작은 양수들이 될 것입니다. 즉 원점에서 충분히 멀어지면, 원점에서 본 시야각들이 아주 작아진다는 것이죠. (이게 Step 3의 결론입니다.)

       

      Step 5에서 임의의 바깥 부채꼴에 대해, 그 바깥 부채꼴을 지나는 원이 존재하면 문제가 풀린다는 것을 이해하셨죠? 그럼 Step 5의 증명만 하면 충분하겠네요!

       

      Step 5에서 귀류법을 사용하였는데, 바깥 부채꼴을 지나는 원이 하나도 없다면, 원이 없는 빈 공간이 저 멀리까지 무한히 넓게 펼쳐지게 되겠죠. 빈 공간 안에, 충분히 멀리 떨어진 점 M을 잡습니다.

      M이 원점으로부터 멀리 떨어져 있어서 Step 3의 결론에 의해, M 근처에 있는 원들은 원점에서 본 시야각이 너무 작기 때문에 원의 반지름 역시 상당히 작게 됩니다. 그런데 주목할 점은, M에서도 다른 원들을 바라보았을 때 시야각의 총합이 2pi 이상이 되어야 한다는 것입니다! 원의 반지름이 상당히 작아서, 시야각의 총합을 2pi 이상으로 키우려면 M과 가까운 원들이 있어야겠죠! 그런데?? M이 어디 있냐면 원이 없는 빈 공간 안에 있어요!! 각각의 원은 M과 가까워질 수 있는 한계가 있고, 시야각의 총합이 2pi 이상이 될 수 없다~ 따라서 모순이다~ 라는 논리입니다.

      Step 4와 수식들은 이를 엄밀하게 표현하기 위한 도구일 뿐입니다

      :)

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      cube120 Lv.5 2019.09.29

      만약 모든 i에 대해 l_i가 실수값이라면, 중심이 원점이고 반지름이 \mathrm{max} \{l_i+r_i\}+1인 원에 접하는 직선은 아무 원도 지나지 않습니다.

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      cube120 Lv.5 2019.09.30

      그리고

      각각의 theta_i를 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...이라고 하면 총합은 2로 200pi보다 작습니다. 그러면서 모든 원에 대해 theta_i와 l_i가 실수값(유한 확정값)이 됩니다. 따라서 반드시 theta_i 중 일부는 0이 되어야 한다는 논리에는 오류가 있습니다.

      위와 같은 상황에서도, 원점에서0의 시야각이 2pi보다 작으므로, 아무 원도 지나지 않는 직선이 존재합니다.

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      수돌이 Lv.2 2019.09.30

      1. 모든 i에 대해 l_i가 실수값일 때, 예를 들어 l_i=i라고 해 봅시다. 1,2,3,4,... 중에서 가장 큰 수는 없습니다. 따라서 l_i들의 수열이 유계가 아닐 경우 \max(l_i+r_i)를 정의할 수 없습니다. 따라서 반지름이 \max(l_i+r_i)+1인 원은 존재하지 않습니다. 따라서 해당 논리에는 오류가 있습니다.

      2. "각각의 theta_i를 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...이라고 하면... " 이라는 부분은 모든 theta_i가 양수임에도 불구하고 총합이 200pi보다 작다는 것을 보여준 예시일 뿐입니다. 의미를 잘못 파악하고 계신 것 같습니다. cube120님께서 지적하신 부분은 다음과 같이 수정 가능합니다.

      "각각의 theta_i를 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...이라고 하면 총합은 7로 200pi보다 작습니다. 그러면서 모든 원에 대해 theta_i와 l_i가 실수값(유한 확정값)이 됩니다. 따라서 반드시 theta_i 중 일부는 0이 되어야 한다는 논리에는 오류가 있습니다." 이제 총합이 2pi보다 큽니다.

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      디듀우 Lv.6 2019.09.30

      대략 이해가 됐어요! 감사합니다~

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      구머 Lv.4 2020.01.25

      언제 풀렸던거지ㅋㅋbb 여기 풀이에 오타?가 있는것 같은데 확인 부탁드립니다!

      저기서 10번째 줄에서 혹시 mx/ox=m_i / l_i  인가요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.01.26

      이 문제가 풀린걸 이제서야 알았네요 ㅇㅅㅇ

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      최기자 Lv.4 2020.02.09 비밀댓글
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  •  
    BobJones Lv.5 2019.12.05
    확인요청중

    아니요, 불가능합니다.

    Proof by contradiction으로 증명할 수 있습니다

    솔루션을 원하시다면 답변 달아주세요

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.02.09 비밀댓글
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  •  
    수돌이 Lv.2 2020.01.25

    제 풀이는 언제 해결 딱지가 붙나요? 혹시 틀렸나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2020.01.28

      늦어서 미안해요ㅜㅜ

      출제 기관이 바뀌면서 풀이를 검토해 줄 분을 찾느라 시간이 많이 지났네요!

       

      새로 선발된 멘토가 다음 주 내로 검토할 예정이니 기대해주세요!

       

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      최기자 Lv.4 2020.02.05

      미안해요 수돌이 군!

       

      오늘 새로운 멘토에게 검토를 요청했어요. 조금만 더 기다려 주세요~^^;;

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      최기자 Lv.4 2020.02.19

      수돌 군! 멘토가 언급한 간단한 수정사항들만 해결하면 최종 해결로 변경하도록 할게요!

       

      확인 부탁해요~!

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