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폴리매스 문제
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[폴리매스 문제] 초곡면과 이차곡선
수학동아 2019.09.04

 

*이번 달은 국가수리과학연구소 대신 고등과학원 수학부 오정석 박사님께서 문제를 내주셨습니다.smiley

 

 

n차원 평면 P^n은 원점이 아닌 (n+1)개의 복소수 쌍 (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_n_+_1)의 집합이라고 하자. P^n1차 초곡면은 아래 조건을 만족하는 P^n의 원소들의 집합을 뜻한다.  

어떤 (A_1, \cdots, A_n_+_1)\in P^n에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i=0을 만족한다.

 

 

그리고 P^n2차 초곡면은 아래 2가지 조건을 만족하는 P^n의 원소들의 집합을 뜻한다.

 

 

어떤 (A_1, \cdots, A_n_+_1, B_1_2, \cdots, B_n_,_n_+_1)\in P^{}\frac{(n+1)(n+2)}{2}^-^1에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i^2+\sum_{i\neq j}B_{ij}x_ix_j=0을 만족한다.   \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i^2+\sum_{i\neq j}B_{ij}x_ix_j=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}C_ix_i \right )^2을 만족하는 P^n의 원소 (C_1, \cdots, C_{n+1})이 존재하지 않는다.

 

 


 

 

1 (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1})이 1차 초곡면 혹은 2차 초곡면에 속하면, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})도 1차 초곡면 혹은 2차 초곡면에 속함을 보여라. 단 \lambda \neq 0이다.  

2 P^2의 두 초곡면 A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3=0A'_1x_1+A'_2x_2+A'_3x_3=0은 무한히 많은 직선에서 만나거나 혹은 한 직선에서 만남을 보여라. 

 

3 2번을 일반화해 "P^n의 1차 초곡면 n1개와 2차 초곡면 n2개는 무한히 많은 직선에서 만나거나, 중근을 중복해서 셌을 때 2n2개의 직선에서 만난다"는 베주 정리를 증명하라. 단, n_1+n_2=n이다.

 

베주 정리를 이용해 P^2 위의 5개의 1차 초곡면에 접하는 2차 초곡면은 무한히 많거나 1개임을 보여라.

 

소문제 4번은 P^5 위에서 5개의 2차 초곡면이 무한히 많은 직선에서 만나거나 32개의 직선에서 만난다는 사실과 모순된 것처럼 보인다. 모순이 아닌 이유를 설명하여라.

 

 

-끝-

 

 

※알립니다※

2차 초곡면의 첫 번째 조건을 아래와 같이 수정합니다.

혼란을 드려 죄송합니다.

 

\huge P^{(n+1)(n+2)} \rightarrow P^{\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1}

 

  •  
    디듀우 Lv.6 2019.09.04
    확인요청중

    1번의 1차 초곡면의 경우에 대한 부분 증명입니다.

    (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}\lambda x_iy=0인 y의 집합이 공집합이 아니면 1차 초곡면입니다. 그런데\sum_{i=1}^{n+1}\lambda x_iy=\lambda\sum_{i=1}^{n+1} x_iy=0이고 뒤쪽 두 변을 \lambda로 나누면 \sum_{i=1}^{n+1} x_iy=0이고 이는 (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})에 대한 1차 초곡면의 원소의 조건식이므로 공집합이 아닙니다. 즉, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})에 대한 1차 초곡면 원소의 조건식이 (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})에 대해서와 같게 변형되므로, (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})가 1차 초곡면이라면, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})도 같은 1차 초곡면이 됩니다.

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.09.05

      2차의 경우도 같은 방법으로 람다를 시그마 밖으로 빼고 람다로 양변을 나누면 곱하기 전과 같은 식이 나오므로 가능합니다.

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.09.07

      그러면 식의 형태가 같으므로 2차 초곡선의 두 번째 조건도 만족합니다.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.10.02

      '정의를 잘못 이해한 부분이 있다'는 출제자의 코멘트!angel

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.10.02

      앗...

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  •  
    cube120 Lv.5 2019.09.22

    저만 문제 이해가 안되나요...? 예시를 조금만 들어주세요....

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.09.22

      예를 들어 P^2에 대한 2차 초곡선이 (2,3)이라고 하면 P^2는 흔히 알고 있는 2차원 직교좌표계가 될 것이고, (2,3) 일차 초곡면은 2x+3y=0을 만족하는 직선이 됩니다.

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    •  
      시그마 Lv.4 2019.09.22

      감사합니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.10.03

      정확히는 P^n은 (n+1)개의 복소수 쌍이므로 P^2은 3차원 공간이 되고 1차 초곡면은 원점을 지나는 평면의 형태가 됩니다.

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  •  
    기하학 Lv.1 2019.09.26

    그렇다면 \sum_{i=1} ^{n+1} A_{i}{x_{i}}^{2} + \sum_{i \neq j} B_{ij} x_{i} x_{j} = \left( \sum_{i=1} ^{n+1} C_{i} x_{i} \right )^2에서 \sum_{i=1} ^{n+1} A_{i}{x_{i}}^{2} + \sum_{i \neq j} B_{ij} x_{i} x_{j} = 0 이므로 \left ( \sum_{i=1} ^{n+1} {C_{i}{x_{i}}} \right )^{2}= 0 이니깐 결국 2차 초곡면은 1차 초곡면이 된다는 이야기가 될 수 있는 것인가요?

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.09.26

      2차 초곡면의 2번 조건에 그런 과정으로 1차 초곡면이 되버리는 것은 2차 초곡면이 안된다고 나와 있는 것을 얘기하신 건가요?

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  •  
    디듀우 Lv.6 2019.09.26

    근데 (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1})는 어디까지가 x_i^2항 계수고 어디부터 x_ix_j계수인가요?

    1번 문제 2차 초곡면 증명에 중요할 것 같은데... 

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.09.30

      소문제 1번의 \large (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_n_+_1)은 계수가 아닌 초곡면의 원소입니다.smiley

      추가로, '이 곳의 원소들이 2차 초곡면들의 계수들이고 x를 변수로 생각해야 한다'는 힌트를 얻어왔습니다!

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  •  
    부분해결
    리프 Lv.6 2019.09.30

    1번 풀이입니다.

    \left ( x_1,x_2,..., x_{n+1} \right )이 1차 초곡면에 속할 때 \sum_{i=1}^{n+1}A_i\lambda x_i=\lambda \sum_{i=1}^{n+1}A_i x_i=0이므로 \left ( \lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_{n+1} \right )도 1차 초곡면에 속하게 됩니다.

    \left ( x_1,x_2,..., x_{n+1} \right )이 2차 초곡면에 속할 때\sum_{i=1}^{n+1}A_i\left (\lambda x_i \right )^2+\sum_{i\neq j}^{ }B_{ij}\left ( \lambda x_i \right )\left ( \lambda x_j \right )=\lambda ^2\left \{ \sum_{i=1}^{n+1}A_i\left ( x_i \right )^2+\sum_{i\neq j}^{ }B_{ij}\left ( x_i \right )\left ( x_j \right ) \right \}=0이고(1번 조건),

    \sum_{i=1}^{n+1}A_i\left (\lambda x_i \right )^2+\sum_{i\neq j}^{ }B_{ij}\left ( \lambda x_i \right )\left ( \lambda x_j \right )=\lambda ^2\left \{ \sum_{i=1}^{n+1}A_i\left ( x_i \right )^2+\sum_{i\neq j}^{ }B_{ij}\left ( x_i \right )\left ( x_j \right ) \right \}=\lambda ^2\left ( \sum_{i=1}^{n+1}C_ix_i \right )^2=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}C_i\left ( \lambda x_i \right ) \right )^2를 만족하는 P^n의 원소 \left ( C_1,C_2,...,C_{n+1} \right )이 존재하지 않으므로(2번 조건), \left ( \lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_{n+1} \right )도 2차 초곡면에 속하게 됩니다.

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  •  
    부분해결
    리프 Lv.6 2019.09.30

    2번 풀이입니다.

    P^2의 두 1차 초곡면 A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3=0와 {A_1}'x_1+{A_2}'x_2+{A_3}'x_3=0에 대해 \frac{{A_1}'}{A_1}=\frac{{A_2}'}{A_2}=\frac{{A_3}'}{A_3}을 만족할 때, 무한히 많은 직선에서 만나게 되고 그렇지 않을 때, 한 직선에서 만난다는 것을 증명하겠습니다. (즉, 두 초곡면이 일치할 때, 무한히 많은 직선에서 만나고, 일치하지 않을 때, 한 직선에서 만나게 됩니다.)

     

    i)\frac{{A_1}'}{A_1}=\frac{{A_2}'}{A_2}=\frac{{A_3}'}{A_3}를 만족할 때

    \frac{{A_1}'}{A_1}=\frac{{A_2}'}{A_2}=\frac{{A_3}'}{A_3}=c라고 하면 c(A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3)=0은 {A_1}'x_1+{A_2}'x_2+{A_3}'x_3=0과 동일하므로 두 초곡면은 일치합니다. 따라서, 무한히 많은 직선에서 만나게 됩니다.

     

    ii)그렇지 않을 때

    \frac{{A_1}'}{A_1},\frac{{A_2}'}{A_2},\frac{{A_3}'}{A_3} 중 서로 다른 값이 존재하므로 일반성을 잃지 않고 \frac{{A_1}'}{A_1}\neq \frac{{A_2}'}{A_2}라고 할 수 있습니다.

    한편, 두 초곡면은 (0,0,0)을 지나고 (0,0,0)이외의 다른 점도 지난다는 것은 자명합니다. 그러므로 다음 명제를 증명하면 충분합니다.

     

    1. 두 초곡면이 (0,0,0)이외의 다른 점 (c_1,c_2,c_3)를 지날 때, (0,0,0)과 (c_1,c_2,c_3)을 이은 직선위에 존재하는 모든 점은 두 1차 초곡면에 속한다.

    2. 1에서 구한 직선 이외의 점은 두 1차 초곡면에 동시에 속할 수 없다.

     

    1의 증명) 두 점 (0,0,0)과 (c_1,c_2,c_3)을 이은 직선 위의 모든 점은 (\lambda c_1,\lambda c_2,\lambda c_3)꼴로 표현이 가능합니다. 따라서, 문제 1에서 증명한 내용에 의해 주어진 직선위에 존재하는 모든 점은 두 1차 초곡면에 속합니다.

     

    2의 증명) 1에서 구한 직선밖에 존재하는 점 \left ( {c_1}',{c_2}',{c_3}' \right )가 두 1차 초곡면에 속한다고 가정합시다.

    이때, {c_3}'=\lambda c_3라고 하고, 일반성을 잃지 않고 {c_1}'\neq \lambda c_1이라고 합시다.

    A_1\lambda c_1+A_2\lambda c_2+A_3\lambda c_3=0이고 A_1{c_1}'+A_2{c_2}'+A_3{c_3}'=0이므로 두 식을 연립하면 A_1({c_1}'-\lambda c_1)+A_2({c_2}'-\lambda c_2)=0가 됩니다. 한편, 다른 1차 초곡면에 대해서도 똑같이 하면 {A_1}'({c_1}'-\lambda c_1)+{A_2}'({c_2}'-\lambda c_2)=0이 나옵니다.

    이때, {c_1}'-\lambda c_1=\alpha{c_2}'-\lambda c_2=\beta라고 하면 첫 번째 식에 의해\beta =-\frac{A_1}{A_2}\alpha라는 것을 알 수 있고

    두 번째 식에 대입하면 {A_1}'\alpha -{A_2}'\times \frac{A_1}{A_2}\alpha =0이라는 식이 나오게 됩니다.

    \alpha ={c_1}'-\lambda c_1\neq 0이므로

    {A_1}'-{A_2}'\times \frac{A_1}{A_2} =0이고 정리하면

    \frac{{A_1}'}{A_1}= \frac{{A_2}'}{A_2}이므로 모순입니다.

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