본문바로가기
폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 국32. 멋진 사각형 문제
수학동아 2019.08.03

 

아래 그림처럼 어떤 사각형의 두 쌍의 변 중 한 쌍의 길이가 정수일 때 이 사각형을 멋진 사각형이라고 하자. 1969년 네덜란드 수학자 니콜라스 호페르트 드 브루인은 ‘멋진 사각형으로 꽉 채울 수 있는 사각형은 멋진 사각형임을 보여라’는 문제를 제안했다. 지금까지 총 14가지 풀이 방법이 알려져 있다. 이 중 체스판 풀이를 살펴보자.  

  

 

[체스판 풀이]

❶큰 직사각형 왼쪽 아래 꼭짓점을 평면좌표의 원점으로 생각하자. ❷아래 그림처럼 원점을 중심으로 각 칸의 가로·세로 길이가 0.5인 체스판을 그리자. ❸만약 큰 직사각형을 작은 멋진 직사각형으로 채우면 각각의 멋진 직사각형 안에 있는 흰색 영역과 검은색 영역의 넓이가 같다. 그러므로 두 영역의 총 넓이도 같다. ❹만약 큰 직사각형의 두 쌍의 변의 길이가 정수가 아니면, 흰색 영역과 검은색 영역의 넓이가 달라 모순이다. 그러므로 한 쌍의 변은 정수다.

 

  

 

1-1. ❸이 성립하는 이유가 무엇일까?  

1-2. ❹가 성립하는 이유가 무엇일까?

 

어떤 직육면체의 세 변 중 한 변의 길이가 정수일 때 이 직육면체를 ‘멋진 직육면체라고 하자.  

 

2. 멋진 직육면체들로 꽉 채울 수 있는 직육면체는 멋진 직육면체임을 보여라.

 

 

‘멋진 사각형 문제’를 다양한 방법으로 일반화해 보자.

 

 

3-1. ‘멋진 사각형 문제’의 알려지지 않은 새로운 풀이 방법을 찾아보자.

3-2. ‘멋진 사각형’의 조건을 ‘한 쌍의 변의 길이가 a+b\sqrt{2}다’로 바꿔 일반화해보자. (a, b는 정수).

3-3. 사각형을 원통이나 토러스로 바꿔 일반화해보자.

3-4. 자기만의 풀이 방법으로 일반화해보자.

 

 

  •  
    pi low Lv.1 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    김우현 기자 Lv.4 2019.08.03

    8월 3일 하루 동안 비밀댓글로 풀이를 달아주세요!

    3일이 지나면 다시 공개로 바꾸겠습니다.laugh

    댓글 작성하기 좋아요2 댓글수2
    •  
      아인수타인 Lv.6 2019.08.03

      근데 문제 행사 끝나고 올린다고 공지에 나와있지 않았나요?

      좋아요0
    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.08.03

      네, 맞아요!

      지금 올린 문제는 소문제 일부만 공개한 버전입니다. 모든 소문제가 포함된 버전은 오후즘 올라갈 거예요! 

      좋아요3
  •  
    pi low Lv.1 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    Kingsnake Lv.1 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    Byzantium Lv.1 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    Simon Lv.2 2019.08.03

    1-1풀이

    (정수변) 방향에서 바라봤을 때 검은색 도형과 흰색 도형의 넓이가 같도록 배열됨을 알 수 있다.

    1-2 풀이

    a×b사각형을 잡자 a와 b가 정수가 아닐 때 넓이가 같지 않음을 보이면 된다.

    가우스 a와 b를 변으로 하는 멋진 직사각형을 잘라낸 뒤 가우스 b와 (a-가우스 a)를 변으로 하는 직사각형을 잘라내면 각 변의 길이가 1보다 작은 그림의 x와 y를 변으로 가지는 직사각형이 남는다.

    둘 중 한 변이라도 0.5이하면 안됨은 자명하므로 넘는 경우를 생각하자

    0.5^2 +(x-0.5)(y-0.5) =0.5(x+y-1)을 만족하는 x y가 존재하는가라는 문제가 된다.

    둘 중 하나 이상은 0.5이하가 됨을 전개시에 알 수 있다.

    2 풀이

    0.5^3의 흰색과 검은색의 정육면체를 잡고 채운 뒤 체스판 풀이와 같이 진행하면 된다.

    정수변 방향에서 바라봤을때 dl×dh×정수변 으로 보면 검은색 부피와 흰색 부피가 같은 막대가 무한히 많이 붙여져 있으므로 증명완료되었다

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    아인수타인 Lv.6 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    tommy Lv.1 2019.08.03

    아래와 같은 경우 직사각형이 멋지지 않음에도 불구하고 흰 영역과 검은 영역의 넓이가 같습니다. 풀이가 성립하기 위해서는 직사각형의 멋짐과 두 면적의 일치가 필요충분조건이 아니어도 되나요? ㅎㅎ

    댓글 작성하기 좋아요7 댓글수1
    •  
      KOREA Lv.1 2019.08.03

      질문의 전제에서 왼쪽 아래를 (0,0)으로 둔다고 했으므로,

      백과 흑이 만나는 점을 기준으로 한 점대칭 도형은 (두 변이 정수가 아닌 한)만들 수 없어요

      좋아요1
  •  
    배고팡 Lv.1 2019.08.03

    며칠전 왜우리는 수학을싫어하게 됐을까? 라는 영화에서 연구소에서 윈하는 연구를 마음껏하고 돈받고 맛있는 음식도 먹는다는 것을 알게됗는데 구가수리과학연구소는 어떨지 궁금해요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    Byzantium Lv.1 2019.08.03

    멋진 직사각형의 조건을 한 변 이상이 2분의 n꼴이나 3의 배수꼴인 경우라고 바꿔서 생각해도 문제는 성립하겠죠?

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수0
  •  
    leesj Lv.5 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
    •  
      leesj Lv.5 2019.08.03 비밀댓글
      비밀 댓글이 등록 되었습니다!
  •  
    pi low Lv.1 2019.08.03 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    원슝이math Lv.1 2019.08.03

    (멋진 사각형)문제에서 멋진 직육면체 문제 에 관해 질문 드립니다.

     

    큰 직육면체 속 작은 직육면체들을  그리고 모든 직육면체들이 높이만 정수이다고 가정했을 때 모든 직육면체의 꼭짓점에 있는 사람들은 모두 악수를 1번만 하게 되지 않나요?

     

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수2
    •  
      pi low Lv.1 2019.08.03

      높이가 포함된 한 면에서의 경우로 생각해 보면 되지 않을까요?

      좋아요0
    •  
      KOREA Lv.1 2019.08.03

      중간에 있는 꼭짓점에 서 있는 사람의 경우 위와 아래 두 사람에게 악수를 2번(짝수번) 하게 되네요

      좋아요0
  •  
    Asiana# Lv.1 2019.08.03

    혹시 악수하는 방법 설명해주실 수 있나요..

    이해가 안되네요ㅠ

     

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      KOREA Lv.1 2019.08.03

      모든 꼭짓점에는 사람이 한 명씩 서 있어요

      그리고 정수 변을 가빈 사람끼리 악수를 합니다.

      그러면 전체 직사각형의 꼭짓점에서 꼭짓점으로 가는 연결고리가 2개가 생겨요(증명된 사실)

      그런데 여기서 어디서 어느 꼭짓점으로 가든지 그 두 꼭짓점 사이의 길이는 악수한 사람들이 정수 길만 연결했으므로 정수에요

      좋아요2
  •  
    Undefined Lv.1 2019.08.03

    3-2 악수풀이 적용

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.03

      한 큰사각형의 꼭짓점에서 변길이가 a+b √2 인 변을 따라 이동하면 반드시 이웃한 큰사각형의 꼭짓점으로 이동할 수 있으며, 그러면 가로 또는 세로변의 길이가 a+b √2 꼴들의 의 합/차가 되므로 성립

      좋아요1
  •  
    Sky Lv.1 2019.08.03

    혹시 멋진직사각형 풀이방법으로 멋진직사각형 넓이에 대한 경우의 수를 찾는 것도 방법일까요? 

    답변 부탁드립니다

     

     

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수0
  •  
    다르게놀자 Lv.1 2019.08.03

    1-1

    정수는 0.5로 나눌때에 무조건 짝수가 되게 된다

    따라서 0.5를 한변으로 하는 직사각형과 이웃한 직사각형을 한 묶음으로 볼때 

    한변이 정수일 경우 무조건 검은색 사각형들의 넓이가 하얀색 사각형들의 넓이가 같다

     

    1-2

    정수인 변이 존재하지 않는 경우에는

    위의 풀이같이 묶음을 만들어도 남는 직사각형이 생긴다

    따라서 멋진 직사각형이 아니면 각각 다른 색 사각형의 넓이가 다르다

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      집돌이 페렐만 Lv.6 2019.08.03

      1-1번 풀이에서 정수변이 체스판에 딱 맞지 않는다고 해도 성립이 하나요?

      예 : 

      이러한 경우에는 정수 변에 0.5짜리 사각형들이 들어가고 남은 공간의 합이 0.5임을 보여야하지 않나요

      좋아요0
  •  
    KOREA Lv.1 2019.08.03

    새로운 풀이 방법 찾기 문제는 선생님이 소개해주신 두세가지 풀이 방법 말고 다른 것이면 다 괜찮나요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    deepblue Lv.2 2019.08.03

    그런데,한 변이 1인 정사각형으로멋진 사각형을 채운다면,항상  실수 부분으로남는 넓이가 남을탠데, 그 부분만 처리하면 되는것 아닌가요?

    (저도 잘 이해가 안되서...)

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      집돌이 페렐만 Lv.6 2019.08.03

      한 변이 0.5인 체스판으로 채웠으니까 짝이 지어지지 않는 위에 있는 부분만 봐도 될 것 같은데요

      (저 역시 이해가 안되서...)

      좋아요0
  •  
    deepblue Lv.2 2019.08.03

    질문입니다.

    멋진 사각형을 채우는 작은 멋진 사각형들의 크기가 달라도 되나요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      pi low Lv.1 2019.08.03

      네 됩니다

      좋아요0
  •  
    •  
      집돌이 페렐만 Lv.6 2019.08.03

      그림이 이해가 잘 안되는데 멋진 직사각형을 작은 멋진 직사각형으로 나눌 수 있는 예를 드신 건가요?

      좋아요0
  •  
    디듀우 Lv.5 2019.08.03

    고차원으로의 약한 일반화입니다.

    1<n, 0\leq m<n인 정수 n, m에 대해 서로 평행하지 않은 m개의 정수 길이를 가진 모서리가 있고, 평행하지 않은 두 모서리가 모두 직교하는 n차원 도형을 H^{n}_{m}}이라 하자. 이때 H^{n}_{2}에서 두 정수 길이 모서리 중 하나는 자신과 수직하지 않은 모든 면에 자신과 평행하고 길이가 같은 모서리가 있다. 또 다른 정수 길이 모서리는 이와 수직하므로 앞의 경우에 포함되지 않은 면에도 평행하고 길이가 같은 모서리가 있다. 따라서 H^{n}_{2}의 모든 면은 최소한  H^{2}_{1}이며 또한 어떤 면과 평행하게 자른 단면도 그러하다. 이제 H^{n}_{2}를 여러 개 쌓아 더 큰 H^{n}_{m}}를 만들었다고 하자. 이것을 자신의 어떤 면과 평행하게 잘랐을 때 이 단면은 그 자신을 구성하던 작은 H^{n}_{2}의 단면인 H^{2}_{1}들의 모임이므로 H^{2}_{1}이다. 따라서 큰 H^{n}_{m}}는 전의 단면과 평행한 적어도 하나의 정수 길이의 모서리를 갖는다. 이와 수직하게 자른 단면도 H^{2}_{1}여야 하므로 H^{n}_{m}}는 적어도 두 개의 평행하지 않는 두 개의 정수 길이의 모서리를 가진다.

    결론적으로, 멋진 도형의 정의를 2개 이상의 정수 길이 모서리로 바꾼다면, 2차원 이상의 임의 차원에서 멋진 직각형 도형을 쌓아 만든 큰 직각형 도형은 멋집니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2019.08.04

    3-2)

    악수 풀이로 접근하자. 정수에서의 악수 풀이가 존재하므로 증명에 사용된 명제 ‘큰 사각형의 임의의 꼭짓점에서 시작해 악수를 하면 다른 꼭짓점에 도달하게 된다.’는 한붓그리기 원리에 의해 자명하다.

    이제 정의를 정수가 아니라 a+b\sqrt{2}형식으로 바꿔도 악수의 정의와 앞의 명제 증명에 영향을 미치지 않음을 알 수 있다. 이제 악수를 통해 다른 꼭짓점으로 도달할 수 있으면 시작점과 종점을 꼭짓점으로 하는 변의 길이는 a+b\sqrt{2}형식들의 덧뺄셈이고 이 형식들의 집합(무리수의 부분집합)은 덧뺄셈에 대해 닫혀 있으므로 변의 길이 역시 a+b\sqrt{2}형식임을 알 수 있다.

    이것을 일반화하면 a+b\sqrt{c}, (c is constant)에 대해서도 앞의 증명이 자연스럽게 옮겨진다는 것을 확인할 수 있다.

    추가 일반화)

    이 증명들에서 ‘멋진’의 정의에 영향을 받는 부분은 악수를 통해 갈수 있으면 그 변의 길이 역시 정의에 사용되었던 형식으로 표현된다는 부분뿐이다. 그러므로 다음과 깉이 일반화가 가능하다.

    S에 binary operator (addition)이 주어지고 S가 이에 대해 닫혀 있으며 inverse element가 존재한다고 할 때, 멋진 사각형의 정의를 이 집합 S를 사용해 정의해도 정리는 성립함을 알 수 있다.

    아 물론 사각형을 정의하려면 S는 실수 부분집합이여야 하죠. 근데 저는 그냥 inverse만 갖는것 말고 좀더 좁게, 그냥 group일때 성립한다고 하는 일반화가 마음이 편합니다.

    증명은 a+b\sqrt{2}의 증명을 한줄한줄 따라가면 되므로 생략

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2019.08.04 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    수학장 Lv.3 2019.08.04

    3-2 증명입니다. 알려져 있는 악수의 방법을 간단히 소개해드리겠습니다.

    작은 사각형들의 각 모서리에 사람을 한 명씩 배치하고, 길이가 정수인 변을 하나 골라 악수를 시킵니다.

     

    큰 사각형의 모서리에 있는 사람들은 홀수 번씩 악수를 하고, 다른 모서리에 있는 사람들은 짝수 번씩 악수를 하므로 한붓그리기의 원리에 따라 각 모서리가 악수를 통해 연결됩니다.

    따라서 큰 사각형은 멋진 사각형입니다.

     

    멋진 사각형의 정의에서 "정수" 대신 "a+b\sqrt{2}"로 바꿉시다.

     

    A=\left \{ a+b\sqrt{2} \mid a, b\in \mathbb{Z} \right \}라고 합시다. 집합 A가 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있다는 것은 자명하게 알 수 있습니다.

    큰 사각형의 모서리는 가로 또는 세로로 2개씩 연결될 수 있습니다. 가로로 연결된다고 합시다. 세로로 악수하는 성분들은 중요하지 않습니다. 큰 사각형의 가로는 각 악수의 길이를 더하고 뺀 값입니다. 각 악수의 길이는 A의 원소이므로, 큰 사각형의 가로의 길이도 A의 원소입니다. 따라서 큰 사각형은 멋진 사각형입니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      디듀우 Lv.5 2019.08.05

      "큰 사각형의 모서리에 있는 사람들은 홀수 번씩 악수를 하고, 다른 모서리에 있는 사람들은 짝수 번씩 악수를 하므로" 부분의 증명이 궁금합니다.

      좋아요0
  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2019.08.05 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2019.08.05

      음 생각해보니 자명하다고 생각했던 부분에 (역시나)오류가 있네요..

      좋아요0
  •  
    수킹 Lv.5 2019.08.06 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    code Lv.1 2019.08.07

    3-1.

    올려도 되는지도 모르겠고 이 풀이가 맞는지도 모르겠지만 생각보다 간단한 풀이가 생각나서 올려봅니다.

    '멋진사각형으로 직사각형을 구성할때 그 직사각형의 두변 모두 정수가 아니게 할 수 없다' 로 바꿔 생각합니다.

    먼저 멋진사각형 하나가 존재한다고 가정합니다.

    이때 이 직사각형은 멋진사각형이므로 다른 멋진사각형을 더놓습니다.

    정수인 변이 정수가 아니여야하므로 새로놓는 멋진사각형에서 정수가 아닌 부분을 기존의 멋진사각형 정수변 옆에 놓습니다.

    이렇게 되면 그 변은 정수가 아니지만 새로 놓은 멋진사각형의 정수변에 의해 멋진 사각형이 되지 못합니다.

    정수-소수=소수 이므로 변이 뒤틀린 부분은 소수이고 따라서 그 소수를 메꾸는 멋진사각형의 정수변에 의해 다시 정수변이 나타나게 됩니다.

    이 과정이 반복되므로 두 변이 모두 정수가 아닌 직사각형은 멋진사각형으로 구성할 수 없습니다. 

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      Simon Lv.2 2019.08.08

      이런 경우는 어떻게 해석되는거죠?

      좋아요0
    •  
      code Lv.1 2019.08.08

      우선 난해한 제글을 끝까지 읽어주셔서 감사합니다.

      저 모형은 위의 과정을 밟는다면 나올 수 없는 모형입니다.

      저 윗글의 내용을 정리하면

      1. 멋진 사각형 하나를 둔다.

      2. 정수인 변을 없애기 위해 정수변 옆에 하나를 더 둔다.

      3. 정수-소수=소수 이므로 모든변이 소수인 사각형 공백이 남는다.

      4. 이 소수-소수 직사각형 공백을 없애기위해 위과정이 다시 반복된다.

      5. 따라서 멋진 사각형들로는 양 변이 모두 소수인 사각형을 만들 수없다.

      저런 모형은 나올 수가 없는거죠.

      좋아요0
  •  
    김우현 기자 Lv.4 2019.08.08

    친구들, 8월 3일이 지났으니 비밀 댓글을 공개해서 다른 친구들이 볼 수 있도록 해주세요~!!laugh

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0