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주니어폴리매스 문제
문제를 찾고 일반화하세요!
[주니어폴리매스 문제] k12. 황금비와 자연수
수학동아 2019.07.01

 

문제1

\large \Phi =\frac{1+\sqrt5}{2}를 황금비라고 부른다. n이 홀수면 \large \Phi^n-\frac{1}{\Phi^n}는 자연수고, n이 짝수면 \large \Phi^n+\frac{1}{\Phi^n}은 자연수임을 증명하라.

 

 

 

문제2

\large \Phi^n-\frac{1}{\Phi^n}이나  \large \Phi^n+\frac{1}{\Phi^n}꼴인 자연수를 찾아보자. 이런 자연수의 특징은 뭘까? 서로 관련이 있을까? 

 

 

 

 

-끝-

  •  
    Undefined Lv.1 2019.07.04

    a_n=\phi^n+\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n

    a_0=2,~a_1=1

    a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

    (Lucas Number)

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    •  
      주니어멘토 Lv.1 2019.07.15

      안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다.

      달아주신 답글을 보니 이미 알고 계신 내용을 잘 활용하신 것 같습니다. 

      물론 이 내용만으로 완벽한 증명이지만, 배경 지식 등을 조금 더 자세히 설명해주시면 더 좋을 것 같습니다!

      감사합니다~

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  •  
    이찬욱 Lv.1 2019.07.05

    문제2.

    x^{v}-1/(x^{v})=k라고 하자 그러면 x는(이차방정식의 근:2개)

    
    
    x^{v}+1/(x^{v})=k라고 하자 그러면 x는 (이차방정식의 근:2개)
    
    

    k값에 자연수를 넣고 계산하면 자연수가 됨.

     

     

     

     

    1번 풀때 참고,x^{v}+1/(x^{v})=k에서 x에 황금비를 넣으면(이차방정식의 근:2개)

     
    그러므로 v에 모든 짝수를 넣었을 때,k가 항상 자연수임을 증명해야함,
     
     
    x^{v}-1/(x^{v})=k에서 x에 황금비를 넣으면,(이차방정식의 근:2개)

    그러므로 v에 모든 홀수를 넣었을 때,k가 항상 자연수임을 증명해야함,

     
     
     
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    •  
      주니어멘토 Lv.1 2019.07.15

      안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다.

      수학 문제를 풀 때, 주어진 문제를 동치인 다른 문제로 바꾸어 생각하는 것은 매우 중요하고 좋은 접근법입니다!

      이번 문제를 동치인 다른 문제로 잘 변형해주셨습니다!

      다만, 변형된 문제도 해결하기 쉽지 않아보인다는 문제가 있네요.

      더 간단한 문제로 잘 변형시키는 것을 노력해보면 좋을 것 같습니다.

      감사합니다!

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  •  
    이찬욱 Lv.1 2019.07.16

    문제 2번은 정답인가요?

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  •  
    MATH=? Lv.1 2019.08.10

    문제 1은 못풀었지만 문제 2는 해결하여 올려봅니다. 

    문제2

    n이 홀수일때의 자연수는 

    1,4,11,29,76...이 나오고, 

    n이 짝수일때의 자연수는(0 포함)

    2,3,7,18,47...이 나온다. 

    둘을 합치면

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,76가 된다. (n에 넣는 수 순서대로 나열하였다.)

    n번째 수=(n-2)번째 수+(n-1)번째 수이다. 

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  •  
    HLT Lv.1 2019.08.10

    다시 회원가입하게되어 다시 올립니다(원래 math=?입니다)

    문제 2

    문제 1은 어려워 문제 2부터 올립니다.

    우선, n에 짝수, 홀수를 넣어 구해보면

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,73 이 나와 피보나치수열과 동일한 규칙의 수열이 됩니다. 제일 앞의 수가 2라는 차이점밖에 없습니다.

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