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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 대31. 끝없는 직사각형
수학동아 2019.06.30

모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형이 한 개씩 있다.

 

무한히 많은 이 직사각형들을 변의 길이가 1인 정사각형 내부에 겹치지 않고 모두 채울 수 있을까?

(참고로 이 직사각형들의 넓이의 합은 \frac{1}{1    imes 2}+\frac{1}{2    imes 3}+\frac{1}{3    imes 4}+\cdots=1이다.)

-출처 : Exercise 2.37, Concrete Mathematics (Graham, Knuth, and Patashnik)-

댓글 195
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  •  
    tommy Lv.1 2019.07.03

    일단 직관적으로 생각해 볼까요.

    k번째 직사각형을 \frac{1}{k} \times \frac{1}{k+1} 직사각형이라고 하면, k번째 직사각형을 놓을 차례가 되었을 때 남은 공간의 넓이는 \frac{1}{k}, 즉 놓을 직사각형의 무려 k+1배 크기입니다. 즉 직사각형을 놓으면 놓을수록 직사각형에 비해 여분의 크기가 넓어지는 것처럼 느낄 수 있겠네요. 이렇게 생각하면 저걸 채우는 건 가능하다 못해 쉬울 것 같은 생각도 들긴 하는데...

    아무래도 유한이 아닌 무한 개의 직사각형, 무한급수다 보니 수렴성에 주의해야 할 것 같긴 하네요. 다행히 절대수렴하니까 어떻게 배치하든 총 넓이가 1인 건 확실한데, 음, 수렴 속도가 어느 정도로 빠른지 한 번 느껴 봐야 할 것 같네요. ㅎㅎ

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.06

      그럼 일단 넓이로 보면 채울 수 있음이 증명된 건가요

      근데 문제는 채우는 규칙을 찾는 문제 아닌가요?

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    c언어 Lv.2 2019.07.10

    이 문제를 보니까 우리가 흔히 아는 등비급수인 1/2, 1/4, 1/8. . . 을 도형으로해서 합이 1임을 보이는 것이 생각났습니다. 그래서 이 경우와 지금 문제를 푸는 경우에 공통점과 차이점이 무었이 있는지 찾아보기로 했습니다.

     먼저 공비가 1/2은 수열은 직사각형과 정사각형으로 이루어져 있다. 변의 길이를 보면 (1, 1.2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/4), (1/4, 1/4), (1/4, 1/8), (1/8, 1/8), (1/8, 1/16) . . . 으로 공비가 1/2인 수열이 4번 반복되는 꼴이다. 즉 합은 1+4(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...)이 되어서 합은 1 + 4*1=5로 수렴을 하게 된다. 

     하지만 문제의 경우는 (1/2, 1/3), (1/3, 1/4), (1/4, 1/5). . . 으로 합을 구하면 1/2 + 2(1/3 + 1/4 + 1/5 . . .) 이 되는데 이는 발산하는 수열이다.

    by. http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=dalsapcho&logNo=20131917907&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView

    즉 변의 길이의 합이 무한하다는 것이다. 

     

    만약 1x1 정사각형안에 길이의 합이 유한하다는 것을 증명하면 직사각형이 정사각형 안에 들어갈 수 없다는 것이 되는데 잘 모르겠어서 일단 이정도 까지만 적겠습니다. 그리고 좀 참여율이 적은거 같은데 모두 많이 생각해 주세요...!

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.06

      우오오오와

      발산하는 수열인데 왜 변의 길이의 합이 무한한 건가요

      극한값이 없어서 그런가요

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  •  
    뉴_턴 Lv.8 2019.07.16

    근데 어짜피     \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}\times \frac{1}{k+1}   이1로 수렴하고, 직사각형은 무한하니까 채울수는 있는데, 이 문제가 유한시간안에 가능한지를 묻는 질문인가요????

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.07.18

      아니요. 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 있는지 묻는 문제입니다.

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    •  
      EulerD Lv.1 2019.07.27

      넓이 합이 1로 수렴한다고 반드시 채울 수 있지는 않습니다

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.06

      채울 수 있는지 알기 위해서 규칙을 찾거나 배열을 찾는 문제입니다.

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.19

      생각해보니 1로 수렴한다고 해서 꼭 채울 수 있는거는 아니네요^^

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  •  
    전자기역학 Lv.1 2019.07.26

    수학적 귀납법으로 생각해

    1) 1번째 직사각형이 들어간다는 것을 보이고(들어가죠)

    2) n번째 직사각형까지 어떻게 한 변의 길이가 1인 정사각형에 넣었다 가정하고

    3) n+1번째 직사각형이 빈 곳에 넣어진다는 것을 보이면

    계속 빈 곳에 넣을 수 있으니까 증명되지 않을까요

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    •  
      구머 Lv.4 2019.07.27

      그게 귀납법..

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    •  
      전자기역학 Lv.1 2019.08.03

      아니까 올리겠죠?

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  •  
    설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.07.27

    어렵네요.

    만약 직사각형들을 채울 수 있는 배열이 없다고 가정하고 모순을 찾아도 될 것 같은데요.(아님 반대의 경우라도)

    직사각형을 채우는 배열이 없으면 직사각형에 대한 모든 배열들이 발산하거나 극한값이 1이 아니게 되는데 그렇게 되면 '(참고로 이 직사각형들의 넓이의 합은 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots=1이다.)'라는 말에 어긋나니까 결론은 이 배열이 있을 수 밖에 없지 않나요?(근데 Undefined님 말대로 배열이 있는지 묻는 문제이면 사각형 안에 사각형을 넣을 수 있는지는 증명 안해도 될 것 같은데여)

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  •  
    설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.07.27

    사각형을 배치하다 망한 썰사각형을 배치하는 규칙을 찾으면 되는 건가요?

    어차피 배열을 찾는 문제이든 넓이를 구하는 문제이든 배열의 규칙만 찾으면 될 것 같은데요

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    •  
      비가 와 ㅠ Lv.2 2019.07.29

      그걸 증명하여 보이면 됩니다

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  •  
    happy Lv.1 2019.07.30

    사각형을 채울 때 1/2k꼴은 모두 가로를 향하도록, 1/(2K+1)꼴은 모두 세로를 향하도록 직사각형을 배열해보면 어떨까요?

    그러면 짝수쪽은 좀 더 쉽게 접근 가능할 것 같은데....

    예를 들어 1/4 옆에는 1/8이 2개 들어가고 1/6 옆에는 1/12가 2개 들어가고 이런 식으로 채울 수 있지 않을까요..?

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.01

      근데 똑같은 사각형은 없는데...

      혹시 1/4 옆에 들어가는 1/8 2개 중에 하나가 1/8보다 더 작은 1/9, 1/10...을 말씀하시는 거라면 좀더 자세히 말씀해주시면 좋을 것 같습니다.

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    •  
      KOREA Lv.1 2019.08.02

      만약 2k가 2^n의 꼴이 아니면 배열하는 방법을 찾기 어려울 것 같은데요...

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.03

      Korea님 왜죠?

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  •  
    cjmoon Lv.5 2019.08.06

    1/(1*2)+1/(2*3)=1/2+1/6=3/6+1/6=4/6=2/3,  2/3+1/(3*4)=2/3+1/12=8/12+1/12=9/12=3/4, 3/4+1/(4*5)=3/4+1/20=15/20+1/20=16/20=4/5, 4/5+1(5*6)=4/5+1/30=24/30+1/30=25/30=5/6, 5/6+1/(6*7)=5/6+1/42=35/42+1/42=36/42=6/7

    간단히 쓰면 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=\mathbf{\frac{2}{3}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=\mathbf{\frac{3}{4}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}=\mathbf{\frac{4}{5}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}=\mathbf{\frac{5}{6}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{6\times 7}=\mathbf{\frac{6}{7}}

    위에 식을 보면 답이 \frac{k}{k+1}인 것을 볼수있다.  그러므로 정사각형에 겹치지 않고 채울 수 없다. (겹쳐도 채울 수 없다) 

     

    이해를 못하신 분들을 위해 문제를 알아보기 쉽게 정리 하자면,

    이 문제는 일차적으로는 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}......가 1이 됄수 있는 지를 증명하고,

    이차적으로는 정사각형에 직사각형이 가득 채워 질수 있는 배열을 찾는 문제인데, 아무리 열심히 더해도 \frac{k}{k+1}와 같은 답이 나오기 때문에 최적의 배열을 찾자도 틈이 생겨 정사각형을 가득 채우는 것은 불가능 합니다.

    (\frac{k}{k+1}예시:  \frac{9999}{10000})  (k는 무한이 됄수 없다. 왜냐하면 k는 양의 정수라고 문제의 나오기 때문에)  (틈이 생기는 이유: 정사각형의 넚이보다 직사각형들을 더한 넚비가 더 작으니까.)

    수정:\frac{k-1}{k}를  \frac{k}{k+1}으로

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      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.06

      뭘 계산한 식인지 알 수 있을까요?

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    •  
      구머 Lv.4 2019.08.06

      ..엄청나네요

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.06

      ...그러게요

      근데 여전히 이해가 안감...

      저 바본가요

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.07

      \frac{k-1}{k}이면 넓이가 남지 않나요?

      넓이가 남으면 무슨 경우죠?

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    •  
      구머 Lv.4 2019.08.07

      문제 뜻을 잘못 이해하셨네염ㅜㅜ

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    •  
      여백 패르마 Lv.1 2019.08.07

      k가 무한으로 가면 결국 1이 됩니다만...

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    •  
      구머 Lv.4 2019.08.10

      모든 양의 정수 k라는 말에서 k가 무한으로 발산한다는 것을 암묵적으로 내포하고 있습니다

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.10

      무한의 정의는 한없이 커지는 상태입니다. 즉 무한은 한없이 커지는 수가 아닌, 한없이 커지는 상태기 때문에 양의 정가 됄수 없습니다.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.10

      수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데, 제가 직사각형을 무한히 많은 정사각형으로 빈툼없이 채울 수 있는 예를 들어 보이겠습니다.

      가로와 세로의 비가 1:\phi인 직사각형을 생각합시다. 이 사각형에 먼저 한 변의 길이가 1인 정사각형을 집어넣고

      그 다음 한 변의 길이가 \phi^{-1}인 정사각형을 채우고 이를 반복하면 무수히 많은 정사각형으로 공간을 꽉 채울 수 있습니다.

      물론 n번째 시행 이후 에는 항상 \phi^{1-2n}의 면적만큼 남아 있습니다. 

      그런데 \phi^{1-2n}가 n \rightarrow \infty이 되면서 0에 수렴하기 때문에 무한히 많은 정사각형들을 채웠을 때 공간이 남지 않습니다.

      위의 식에서도 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1이기 때문에 면적은 다 채울 수 있습니다. 

      다만, 서로 겹치지 않으며 채울 수 있는 무한한 직사각형들의 배열이 존재하는지 묻는 문제였습니다.

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    •  
      인천 오일러 Lv.1 2019.08.12

      cjmoon님, cjmoon께서 말씀하셨던 것처럼 무한은 한없이 커지는 수가 아닌, 한없이 커지는 상태이므로 뺄셈 등의 연산을 하면 오류가 생깁니다.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.17

      cjmoon님 \frac{\infty}{\infty}를 말씀하셨으나 \infty는 숫자가 아니므로 그런 연산을 적용할 수 없습니다. \div(x,y)는 x \in \mathbb{C},~y \in \mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}일 때만 정의가 되는데 \infty \not\in \mathbb{C}이기 때문입니다.

      또, 분모와 분자에서 둘다 어떤 수를 뺀다고 해서 분수의 값이 일정하지 않습니다.(뺄셈의 나눗셈에 대한 우분배법칙은 성립하지 않습니다)

      또, \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} =0임을 증명해보겠습니다.

      극한의 정의:

      \lim_{n \rightarrow \infty} f(n)=L \Leftrightarrow 어떤 임의의 작은 양수 \epsilon에 대해 어떤 큰 수 N이 존재하여 \forall n > N(|f(n)-L|<\epsilon)을 만족합니다.

       

      따라서 f(n)=\frac{1}{n}인 경우 임의의 \epsilon에 대해 N(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}라고 하면 \forall n > \frac{1}{\epsilon}\left(\left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon\right)입니다. 

      \therefore\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} =0             Q.E.D.

       

      그리고 제가 말하고자 하는 '정(직)사각형이 무한히 많은 직(정)사각형으로 겹쳐지지 않고 채워져 있다'를 수학적으로 정의하자면 

      채우고자 하는 큰 정(직)사각형의 내부점의 집합을 I_0, 경계점의 집합을 B_0라고 하고

      채우는 직(정)사각형 각각의 내부점, 경계점의 집합을 각각 I_nB_n (n \in \mathbb{N})이라고 합시다. 또, I_k \cup B_k =J_k이라고 합시다.

      그러면 '정(직)사각형이 무한히 많은 직(정)사각형으로 겹쳐지지 않고 채워져 있다'는 다음 조건을 만족합니다.

      조건: j \in J_0 중 \exists! n \in \mathbb{N} (j \in I_n)\odot\exists n \in \mathbb{N} (j \in B_n)을 만족하는 점의 개수가 countable하다.        (여기서 \odot는 XNOR를 뜻함)(수점: 유한->countable)

       

      그러면 수학적으로 이런 조건을 만족하는 정사각형을 채우는 배열이 있는지를 구해야 합니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.18

      그런데 제가 분명히 직사각형을 더해서 넓비가 1이 됄수 없다고 증명했는데요?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.18

      그리고 이게 가능하면 A1, A2, A3, A4, A5, A6......으로 직사각형을 만들수 있다는 건데요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.18

      이해하기 쉽게 표로 설명 하면

      직사각형의 수 , a 1 2 3 4 5 ...... 100
      직사각형의 넓비의 합(cm^{2})  = \frac{a}{a+1},  b \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} ...... \frac{100}{101}
      직사각형 중 가장 작은 직사각형의 넓비(cm^{2}) = \frac{1}{a(a+1)}, c \frac{1}{2} \frac{1}{6} \frac{1}{12} \frac{1}{20} \frac{1}{30} ...... \frac{1}{10100}
      1-직사각형의 넓비의 합(cm^{2}) = 1-\frac{a}{a +1}, d \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} \frac{1}{6} ...... \frac{1}{101}

      참고로 뒤의 a, b, c, d는 변수 입니다.  d와 c는 a가 증가하면 할수록 값이 감소 하지만 c가 더 빠르게 감소한다. 그러므로 직사각형으로 정사각형을 다 채울수는 없다.

      a가 무한이면 b는 \frac{\infty }{\infty +1}\neq1 c=0  d=?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      그리고 공식이 너무 어려워요. 숫자를 대입 해서 풀어 주세요.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      1에 수렴한다는 건 1이 된다는 뜻이 아닙니다.

      1에 무한히 가까워진다는 것이죠.

      그리고 저는 극한의 정의대로 극한을 설명을 했는데, 그보다 더 쉽게 설명 할 수 없을 것 같네요.

      물론 유한 개의 직사각형을 채웠을 때에는 공간이 남죠.

      그때 다 채워지면 더 채울 수 없잖아요.

      그러니까 그 직사각형들의 무한집합에 해당하는 것을 다 채웠을 때 (무한개를 다 채운 뒤를 생각하시라고요. 유한개를 채운 뒤가 아니라)

      남는 공간이 없이 다 채워진다고요.

      거의 모든 점이 덮여 있으면 됩니다.

      (이때 특이점은 딱히 어느 사각형으로 덮여 있지 않을 수도 있습니다. 피보나치 나선에서 가운데 점처럼요)

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.25

      undefined님께 질문이 하나 있는데 직사각형을 채운다는 것의 조건을 말로 풀어서 쓰면 채워지지 않는 특이점의 개수가 유한하다는 뜻인가요?

      만약 그렇다면 제 생각에는 ‘p xnor q를 만족하는 점 j의 개수가 유한하다’가 맞는 표현 아닌가요?

      제가 잘못 이해했을 수도 있는데 p xnor q 를 만족하지 않는 점 j는 p xor q 를 만족하는 점 j와 같은 의미인데 그러면 무한히 많지 않나요?

      (제가 xor과 xnor에 대해 잘 몰라서 착각한 걸수도 있습니다. 만약 틀렸다면 틀린 부분을 알려주시면 감사하겠습니다.)

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      오류 지적해주셔서 감사합니다. 수정하였습니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.26

      직사각형이 무한개가 되면 k는 무한 되요. 

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  •  
    마이구미 Lv.1 2019.08.06

    일단 정사각형의 넓이와 채워야 할 직사각형들 넓이의 총합이 같으니까 채울때 빈공간이 나오지 않게 최대한 빽빽하게 채워야 하는건 분명하네요

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.07

      그렇겠죠?

      근데 빡빡하게 채워야 하니까 채우는 규칙이나 배열을 찾아야 할 걸요

       

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  •  
    여백 패르마 Lv.1 2019.08.07

    저는 어떤 자연수 수열의 역수의 합이 1 이 되는 정수 부정방정식을 생각해봤다만... 완전 망했어요...ㅠㅠ

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.07

      ㅜㅜ

      그래도 올려보세요

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    •  
      cube120 Lv.5 2019.08.09

      저도 그 생각을 해봤는데요...

      추측

      어떤 자연수의 수열 {a1,a2,...,an}에 대하여 모든 자연수의 역수가 1/b_1+1/b_2+...+1/b_m꼴로 나타내어질수 있다. (단, b_i \notin \left \{ a \right \}이다.)

      만약 위 추측이 성립한다면 문제의 조건을 만족하는 방법이 존재할거같습니다.

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  •  
    MATH=? Lv.1 2019.08.10

    직사각형들의 합이 1이 되어야 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가득 체울 수 있습니다.

    우선 각각의 넓이를 구해 보면, 1/2, 1/6, 1/12, 1/20 .... 1/{k(k+1)}이 되고,

    각각의 넓이를 정사각형의 넓이에서 빼보면

    1)1-1/2=1/2

    2)1/2-1/6=1/3

    3)1/3-1/12=1/4

    ...

    k)1/k가 됩니다. 따라서 k*k+1의 직사각형을 하나씩 체울때마다 1/k의 넓이가 비게되므로 직사각형을 이용하여 정사각형을 체울 수 없습니다.

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    •  
      가우수 Lv.1 2019.08.10

      맞는것 같네요.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.10

      수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데, 제가 직사각형을 무한히 많은 정사각형으로 빈툼없이 채울 수 있는 예를 들어 보이겠습니다.

      가로와 세로의 비가 1:\phi인 직사각형을 생각합시다. 이 사각형에 먼저 한 변의 길이가 1인 정사각형을 집어넣고

      그 다음 한 변의 길이가 \phi^{-1}인 정사각형을 채우고 이를 반복하면 무수히 많은 정사각형으로 공간을 꽉 채울 수 있습니다.

      물론 n번째 시행 이후 에는 항상 \phi^{1-2n}의 면적만큼 남아 있습니다. 

      그런데 \phi^{1-2n}가 n \rightarrow \infty이 되면서 0에 수렴하기 때문에 무한히 많은 정사각형들을 채웠을 때 공간이 남지 않습니다.

      위의 식에서도 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0이기 때문에 면적은 다 채울 수 있습니다. 

      다만, 서로 겹치지 않으며 채울 수 있는 무한한 직사각형들의 배열이 존재하는지 묻는 문제였습니다.

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  •  
    피타고라수 Lv.2 2019.08.10

    다시 회원가입하게되어 올립니다.(원래 저는 math=?입니다)

    작은직사각형으로 한 변의 길이가 1인 정사각형을 채울 수 있다.->작은 직사각형의 넓이의 합이 1이다

    남은 넓이를 구하면

    1)1/2

    2)1/3

    3)1/3

    ...

    k)1/k

    이렇게 되어 k가 무한이 되지 않으면 이는 불가능합니다.

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    •  
      c언어 Lv.2 2019.08.16

      이 문제에서는넓이의 합이 1이되는 것은 이미 증명이 된 사실이니까 넓이에 관해서는 더 이상 생각하지 않아도 될거 같아요!

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.16

      제 생각에도 넓이보다는 어떻게 채울 수 있는지 규칙이나 배열을 찾아야 할 것 같아요!

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.18

      그리고 무한이 돼도 불가능 합니다. 왜냐하면 \frac{\infty }{\infty +1}\neq 1이거든요.(고등학교 미적분 책에 나와 있습니다. 이유는 무한은 숫자가 아니기 때문에)

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      1/k 생각 하면 안돼요 1-\frac{k}{k+1}라고 생각해야해요.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      cjmoon님 무한대의 개념에 대해 생각해 보신 것 같네요.

      님이 언급하신 것처럼 무한은 숫자가 아닙니다.

      그런데 \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L이라는 것은 x가 점점 커질수록 f(x)의 값이 L에 점점 가까워진다는 뜻입니다.

      즉, 여기 정의에서는 무한이 사용되지 않았죠.

      무한은 수가 아니기 때문에 f(x)에 대입하지 못합니다. 원래 극한은 그 값을 대입하는 것이 아닌 주변 값들의 경향성으로 정의를 합니다.

      다만 점점 큰 수를 대입하였을 때 가까워지는지 보는 것 뿐이죠. 여기서 무한 기호는 그 경향성을 나타내기 위해 나타낸 기호에 불과합니다.

       

      그리고 \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty라는 거는 이 함수가 x가 a에 가까워질수록 어떤 실수값에 점점 가까워지지 않아

      극한이 정의되지 않는데(이걸 '발산'한다고 하죠), x가 a에 가까워질수록 x가 점점 커지기에 그 함수의 값을 경향성을 나타내는 기호 \infty 로 표현하기로 약속한 겁니다.

      설명이 잘 됬는지 모르겠네요.

      구체적인 예시를 들자면 

      \lim_{x\rightarrow\0}\frac{x}{x}=1이라는건 당연하죠. x에 0을 대입하지 않고 0에 점점 가까운 수를 대입했을 때 1이 되니까요.

      \frac{\infty}{\infty}의 값은 모르지만 \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{x+1}=1을 알 수 있습니다. x에 점점 큰 수를 대입해나가다 보아도 항상 그 값이 1이니까요.

      지금 생각하고 있는 극한은 \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+1/x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+0}=\frac{1}{1}으로 생각해 보세요.

      이해가 되시면 좋겠습니다....

      극한 식에 무한을 대입하는 것도 아니고 유한한 값을 대입한 결과의 특성을 보는 게 아닙니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      해석하면 엑스가 무한에 가까워지면 질수록 값이 커지다가 직사각형이 무한개가 되면 0이 됀다. 말이 안 됀다  

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      제가 0이라고 한 부분은 분명 \lim_{x \rightarrow\infty}1/x인데요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.26

      제가 말한건 \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n+1}\times n이요.

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  •  
    올리비아 Lv.1 2019.08.18

    정답: 겹치지 않고 모두 채울 수 있다.

     

    풀이:

    만약 겹치지 않고 채울수 있다면, 만들수 있는 모든 직사각형의 넓이의 합이 1 이 되면 된다.

    그렇기에 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 이라면, 직사각형들을 겹치지 않고 모두 채울수 있다.

    "모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형이 한 개씩 있다." 라는건 그 직사각형들의 넓이가 \frac{1}{k(k+1)} 이다. 

    이때 \frac{1}{k(k+1)}  를  \frac{1}{a(b)} = \frac{1}{a-b} ( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} ) 을 이용해 부분분수로 변형할수있다.

    그래서 \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k-k+1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}) = 1(\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)})= (\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}) 이다.   

    이걸 써서 수열의 합을 쉽게 구할수 있다. 

    \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) 

    그리고 수들을 대입 했을때, 

    첫째항부터 제 \infty항까지의 합은 

    (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) +(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+ . . . + (\frac{1}{\infty }-\frac{1}{\infty +1})

    = (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty +1}) 이다. 

     

     \infty 은 수가 한없이 커지는 상태를 나타내는 시호이지 하나의 수를 가르키는 것이 아니기에,  \infty+1 =  \infty 라고 할수있다. 

    그리고 \frac{1}{k(k+1)} 에서 k값이 한없이 커지면 \frac{1}{k(k+1)} 의 값은 0에 한없이 가까워지므로

    \underset{k \rightarrow \infty }{\lim } \frac{1}{k} = 0이다. 그래서 \frac{1}{\infty } = 0이라고 정의 한다. 

     

     

    그럼 (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty +1}) = (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty}) = \frac{1}{1} - 0= 1 이 된다.

     

     이제 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 이 진실이라고 증명 되었기에

    모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형들 모두를 겹치지 않고 변의 길이가 1인 정사각형에 채울 수 있다.

     

     

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.18

      ...!!

      넙이가 딱 맞는다고 해도 채우지 못할 수도 있지 않을까요?

      예를 들어서 넓이가 같더라도 변의 길이에 따라 채우지 못한다던지...

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      오류가 있습니다. (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/\infty -1/\infty+1)=1/2+1/6+1/12+1/20+...+0인데  \frac{1}{k}\times \frac{1}{k+1} =0이라는 것은 k가 무한이라는 건데 무한은 실수가 아닌니다.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      k가 무한에 가까워질수록(커질수록) 0에 가까워진다는 소리입니다.

      극한의 정의 자체가 그래요.

      엡실론-델타 좀 공부하시고 오시면 안될까요?

      그리고 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 은 \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)} \right )=1을 줄여놓은 겁니다.

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  •  
    cjmoon Lv.5 2019.08.18

    여러분 k가 무한이 됄수 없음을 간단하게 증명하겠습니다. 무한대는 실수가 아닙니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수25
    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.19

      무한대는 실수가 아니지만, k를 끝없이 커지는 수로 증가시켰을 떄의 얘기를 말하는 것입니다.(리미트, 시그마 등에서는 '끝없이 증가시켰을때~ '라는 의미를 같습니다.그리고 수렴과 발산의 이해를 잘못하시고 계시는 것 같네요..)

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      k가 수면 결국 다 채울 수 없습니다

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.19

      k를 수로 보는게 아니라 '끝없이 했을떄의 결과를 보자'라는 뜻입니다angryangryangry 예를 들어서 이 문제의 수렴값 \lim_{k\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{k}\frac{1}{k(k+1)}의 극한값을 구하면, 우선 k=1인 경우부터 시작하니까 k=1이면  \frac{1}{2}, k=2이면 \frac{1}{6}.....이 되서 다 더해보면 점점 1에가까워지다가, k가 끝없이 커지니까(무한대로 가니까) 1이 되서 1로 수렴합니다. 그리고 참고로  cjmoon님께서 말씀하신 말중에서 a가 무한으로 갈때  \frac{a}{a+1}+0\neq 0이라고 하셨는데, a가 끝없이 커지기 때문에 a+1에서 1쯤은 무시할 수도 있어서(a가 무한이니까 무한에서 1은 무시해도 됨) \frac{a}{a}=1이 됩니다.     (참고로 cjmoon님께서 말씀하신거는 수렴과 발산에 대해서 조금만 공부를 하면 쉽게 알 수 있는 것들입니다)  +  (이 문제에서 채울 수 있느냐, 없느냐 묻고 있기는 한데, 채우기 위해서는 채울 수 있는 배열이 필요합니다. (배열이 있어야지 채울 수 있어요!!!!))

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.20

      무한은 무한은 숫자가 아니어서 \frac{\infty }{\infty }\neq1입니다. 무한 분의 무한을 1이라고 생각하는 건 무한을 숫자로 보는 오류입니다. 

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.20

      무한의 대해서 공부를 조금하면 알수 있을 거예요.

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.20

      cjmoon님 말씀대로 \frac{\infty }{\infty }는 계산할 수 없습니다. 하지만, 리미트는 극한값을 보는것이고, 분모와 분자가 a로 같이때문에 a로 나누어서 극한값이 1이 됩니다.(참고로 위의 문제에 보면 \frac{1 }{1\times 2 }+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+.....=1이라고 나와있습니다만.......)

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.20

      그리고 무한에 대해서 공부를 하면 알 수 있다고 하셨는데, 무한의 개념은 저도 알고, 리미트, 시그마등은 무한의 개념을 조금 다르게 봐야합니다

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      그러면 A1, A2, A3, A4......을 이용 해서 완벽한 직사각형을 만들수 있겠네요. A1을 1로 지정하고, A2는 \frac{1}{2}, A3는 \frac{1}{4}등으로 했을때 자연수가 나오면, 완벽한 직사각형이 나오니까,

      \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1=2

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    •  
      바람개비 Lv.1 2019.08.21

      저도 k는 실수가 아닌 무한이 될 수 없다고 봅니다. 애초에 그렇게 정의된 값은 수학적 의미가 없으니까요.

      님께서는 제논의 역설 ('화살의 패러독스')이나 '선은 점으로 이루어져 있다.'라는 명제에 대해 어떻게 이해하고 있나요?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      헉, 이 시간에...... 잠시만 생각을...... 

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      (화살의 속도는 일정하다 치고)화살은 일만큼 움지기고, 그 사이에는 무한대가 준재한다해도 화살은 같은 시간동안 일만큼 움지기기 때문에 무한대는 무시댄다. 라고 생각합니다.

        

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      만약에 k가 수로 보는게 아니라 무한을 끝없이 했다면, 이미 양의 정수, 즉 자연수의 법위를 너머 갔다는 건데 그러면 이미 문제의 조건에 안 맞고, 이런게 만 쓰면 불랍불라 할테니 다른 예를 들면 리미트에서  \frac{\infty }{\infty +1}에 무한을 수로 본다면, 그것은 더 이상 무한이 아닌 수기 때문에 더 이상 무한 더하기 1은 무한이 아니다. 그러니 리미트에서 \frac{\infty }{\infty +1}은 약분이 불 가능 하다. 그리고 1도 아니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      이해가 안 돼시면 여기에 설명이...https://namu.wiki/w/극한#s-1.1.3.에서 1.1.3. 참고하세요.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.23

      1.1.3이 없는데 어떻게 하죠?

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    •  
      바람개비 Lv.1 2019.08.24

      바로 답하셨군요. 제 대답을 계속 기다리셨다면 사과드릴게요sad(그랬을 리는 없겠지만....)

      화살이 과녁까지 이동하기 위해서는 '일'과 '시간'이 필요하다는 것이네요. 다만 '화살과 과녁 사이에 있는 무한대'가 무엇이고 그걸 어떻게 무시하는지에 관해 설명을 보충해주실 수 있나요?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      2.3으로 수정 돼었내요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      2와 3사이에는 2.5가 있고, 2.5와 3사이에는 2.75가있고, 2.75와 3사이에는 2.875가 있는데, 이걸을 다 세보면 무한개가 넘지만 한번에 일만큼 움직이니까, 사이에 무한개의 수는 무시할수있다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      그리고 저는 모든 사람의 답글을 기다림니다.

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    •  
      바람개비 Lv.1 2019.08.25

      제가 이해한 바로는 무한대란 화살과 과녁 사이에 있는 임의 지점의 집합이고 화살의 이동은 집합의 원소(지점 간) 일부를 일의 양만큼 '무시' 즉 뛰어넘는 것인데 맞나요?

       

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      cjmoon : "그러면 A1, A2, A3, A4......을 이용 해서 완벽한 직사각형을 만들수 있겠네요. A1을 1로 지정하고, A2는 \frac{1}{2}, A3는 \frac{1}{4}등으로 했을때 자연수가 나오면, 완벽한 직사각형이 나오니까,

      \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1=2"

      네 맞습니다. 만들 수 있어요

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 미끼를 던졌는데 물줄이야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1은 n이 자연수 일때는 계속 늘지만 무한이돼는 순간0이 됀니다. 이유는 \frac{1}{\infty }\times (\infty -1)=0 영 곱하기 몇을 해도영이다. 이걸 해석하면 n이 무한에 가까워지면 값이커지다가, 무한히 종이가 많아지면 갑자기 값이 떨어진다. 이런 경우는 부정극한이라고하며 쳐울수없고, \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a}{a+1}도  부정극한입니다. 그러므로 무한개에 직사각형이 있으면 넚이는 0입니다.  

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.30

      누가 미끼를 물었다는 건지는 모르겠네요.

      설마 본인이 본인의 미끼에 걸리진 않으셨겠죠?

      An 용지에 대한 토론은 매스펀 질문으로 옮겨갑니다.

      http://www.polymath.co.kr/puzzle/1363

      cjmoon 님이 한 질문입니다.

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.08.30

      맞나요?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      \lim_{n \to \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1에서 n이 무한이 돼면 1이 됀니다. (2^{\infty }-1)\times \frac{1}{2^{\infty }}+1=1, 그리고 여러분 수렴한다고 다채워지는게 아님니다. \lim_{n \to \infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}에서 n이 무한까지 간다라는 내용은 없고, n이 계속 커진다는 내용입니다. 이런 문제에서 가장 잘 속아 넘어가는게 1로 수렴한다가 다쳐워지는거라고 생각하는거에요. 이 공식에서 1로 수렴한다는 것은 n이 무한에 가까워지면 \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}이 1과 가까워지는 거지 \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}=1이 아님니다. 다르게 생각하서 무한번째 수열을 생각하면 1이 맞는데 무한번째 수열이 있다는 것은 직사각형이 무한개라는건데 k와 직사각형의 수는 같습니다. 즉 직사각형의 수=\infty이라는 것은 k=\infty이라는 건데 무한은 실수가 아닙니다.      

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.08.31

      로피탈의 정리를 쓰면 2가 나오는데요? (맨 첫 줄)

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    리프 Lv.6 2019.08.18

    댓글을 읽다가 문제를 제대로 이해하지 못하는 사람들이 너무 많아서 적습니다.

     

    이 문제의 의도는 '주어진 직사각형들로 1*1짜리 정사각형을 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 존재하는가?' 입니다.

    주어진 직사각형들의 넓이의 합이 1이거나 1이 아님을 증명하는 것이 아닙니다.

    (넓이의 합이 1인 것과 문제는 필요충분조건이 아니기 때문입니다.)

     

    그리고 cjmoon님의 댓글에서 정사각형의 빈틈의 크기가 줄어드는 속도가 직사각형의 크기가 줄어드는 속도보다 느려서 반드시 채울 수 없다고 하셨는데

    무한히 많은 직사각형으로 채운다면 얘기가 조금 달라집니다. (문제에 무한히 많은 직사각형으로 채운다고 적혀 있습니다.)

    왜냐하면 속도가 더 느려도 결국 정사각형의 빈틈의 크기와 직사각형의 크기는 둘 다 0에 수렴하게 되기 때문에 직사각형의 넓이의 합은 반드시 1이 되기 때문입니다.

     

    다시 한 번 강조하지만 이 문제는 주어진 직사각형들의 넓이의 합이 1이거나 1이 아님을 증명하는 것이 아닙니다.

    문제의 의도는 '주어진 직사각형들로 1*1짜리 정사각형을 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 존재하는가?' 입니다.

     

     

    참고: 주어진 직사각형들의 넓이의 합은 1입니다.

    증명:

    \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{k\left ( k+1 \right )} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{n} \right )=1

    (1/n이 0으로 수렴한다는 것에 대한 증명은 Undefined님이 하셨기 때문에 생략하도록 하겠습니다.)

     

    잘못된 부분 있으면 댓글로 알려주시기 바랍니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      무한 분에 일이면 0인데 그럼 앞에 있는 분수끼리 더해서 1이 만들어 졌다는 것데,  분수끼리 더하면 \frac{k}{k+1} 꼴로 답이 나와요.  

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      리프 Lv.6 2019.08.19

      무한을 숫자로 생각해서 k에 대입하면 안되고 극한의 개념으로 생각하셔야 합니다. 문제에서도 무한히 많은 직사각형으로 채운다고 했고 무한은 실수가 아니기 때문에 k의 값이 될 수가 없다는 주장은 옳지 않다고 생각합니다.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      수정 했는데......ㅋ

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      리프 Lv.6 2019.08.19

      값이  \frac{k}{k+1}  형태로 나와도 극한을 취하면 1이 됩니다.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      극한? 무한이요?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      \frac{\infty }{\infty }\neq1인데요?  왜냐하면 무한은 숫자로 생각 하면 안되 거든요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      못 채운다는 걸 이해하기 쉽게 표로 설명 하면

      직사각형의 수 , a 1 2 3 4 5 ...... 100
      직사각형의 넓비의 합(cm^{2})  = \frac{a}{a+1},  b \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} ...... \frac{100}{101}
      직사각형 중 가장 작은 직사각형의 넓비(cm^{2}) = \frac{1}{a(a+1)}, c \frac{1}{2} \frac{1}{6} \frac{1}{12} \frac{1}{20} \frac{1}{30} ...... \frac{1}{10100}
      1-직사각형의 넓비의 합(cm^{2}) = 1-\frac{a}{a +1}, d \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} \frac{1}{6} ...... \frac{1}{101}

      참고로 뒤의 a, b, c, d는 변수 입니다.  d와 c는 a가 증가하면 할수록 값이 감소 하지만 c가 더 빠르게 감소한다. 그러므로 직사각형으로 정사각형을 다 채울수는 없다.

      a가 무한이면 b는 \frac{\infty }{\infty +1}\neq1 c=0  d=?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      이 문제에서는 채울수 있는냐, 없느냐 묻고 있지, 다 채올 수 있는 배열이 준재 하냐고는 묻고 있지는 않고 있습니다.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      그리고 이 문제는 미국 스탠퍼드대학교 컴퓨터공학과 수학 강의에서 쓰는 책에 있는 미해결 문제입니다. 그러므로 아직 답이 없기 때문에 처음 의도랑 다른 답으로 채울수 없다고 증명 됄수있습니다. 

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.19

      그리고 이 문제의 의도는 이 문제가 써저 있는 책을 쓴 3명의 저자 만 압니다.

       

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.22

      제가 문제의 의도라고 적어놓은 것은 주어진 문제와 동치인 명제이기 때문에 문제의 의도라고 적은 것입니다. 물론 문제의 의도는 조금 다를 수 있지만 넓이가 1인지 묻는 문제는 아닙니다. (문제에 넓이의 합이 1이라고 이미 주어져 있습니다.) 그리고 극한에 대해 잘 모르신다면 공부를 하고 오시는 것을 추천드립니다. 지금 수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데 직사각형들의 넓이의 합이 1이 되는 것은 아주 간단하게 알 수 있습니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.23

      리미트에서 무한은 x와 같은 변수가 되요. \frac{a }{a+1}여기서 a가 무한이면 1이 아닌 기약분수에요. 여기에서 a+1이 a면 무한 분의 무한도 1이 아니에요.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.23

      극한에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데 x가 a로 갈 때의 극한값은 x=a일때의 함숫값과 관련이 없습니다. (본질적으로 그렇다는 겁니다. 연속함수라는 조건이 있으면 같겠죠)

      x가 무한대로 갈 때도 마찬가지로 x가 무한대의 값을 가질 때의 함숫값을 의미하는 것이 아닌 x를 무한대로 가깝게 보낼 때 함숫값이 어디에 가까워지는지를 관찰해야 합니다. (이를 수학적으로 엄밀하게 정의한 것이 엡실론-델타 논법입니다. 위키백과에 들어가서 참고하시면 좋을 것 같습니다.)

      따라서, a/a+1에서 a가 무한으로 갈 때의 극한값은 a에 무한을 대입해서 계산하는 것이 아니라 a를 점점 크게하면 1에 가까워지기 때문에 1이 되는 것입니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      아니 제말뜻은 리미트에서는 무한이 정의 돼기 때문에 무한을 변수로 보면 됀다고요.  그러니까\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n+1}

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      쉽게 설명하면 리미트에서는 무한을 수로 생각한다는 거에요.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      저 사이트를 믿을수 없는데다. \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+1} 은 부정극한인데요

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+1%2F%28x%2B1%29

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+x

      을 보면 \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x+1}=0이고, \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty, 0\times \infty=0, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}\times x=0네 참이 돼었다. 거짓이 돼었다가, 이게 부정극한이라는 증거 입니다.  

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  •  
    구머 Lv.4 2019.08.21

    오랜만에 접속했는데 댓글 상태 완전 개판이네옄ㅋㅋㅋ 진짜 실망 많이 했습니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      삭제 부탁드립니다.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      풀리매스 첫번째 규칙의 정답이 아니어도 괜찮으니 댓글로 자유롭게 의견을 단다라고 써져 있어요 

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      리프 Lv.6 2019.08.22

      댓글을 달아도 되지만 댓글로 이미 증명된 내용을 아니라고 우기는 건 좀...

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.23

      증명 됐다고 생각 돼는 문제를 틀렸다고 증명하면 틀린거죠, 제논의 역설도 한때는 질실이었습니다. 히지만 틀렸다고 증명을 했자나요. 틀렸다고 증명을 하면 틀린게 되는게 수학입니다. 

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.23

      cjmoon님, 제논의 역설은 그때는 진실로 믿고 있었다는것이 참입니다. 하지만 진실로 믿고 있었던 이유는 그때의 수학 수준이 거기에만 미쳤기 떄문이고, 지금 우리가 다루는 수렴과 발산은 현재 우리의 수학수준으로는 진실이고, 수학은 새로운 것이 발견되지, 수렴과 발산을 깨버리는 그런 새로운 수학 지식이 나오기는 쉽지 않기 때문에 cjmoon님이 새로운 틀렸다는 증명 방법을 찾으시지 않은 이상 더 이상 맞지 않는 내용은 말하지 않아주셨으면 좋겠습니다.smiley

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.23

      만약 x/x+1에서 x가 무한으로 갈 때의 극한값이 1이 아니라는 것을 증명하려면 극한에 대한 정의를 다 바꿔야 가능할 것 같은데요..

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      리미트에서 무한은 x와 같은 수로 정의 돼요.

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      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      그리고 리미트에서 무한을 \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty라고 생각하면 문제를 확장할수 있습니다. 해석 \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n}{n}\frac{\frac{1}{0}}{\frac{1}{0}}=\frac{1}{0}\times \frac{0}{1}=0 

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      뉴_턴 Lv.8 2019.08.24

      cjmoon님, 참고로 \lim_{n\rightarrow 0}\frac{1}{n}\neq +\infty입니다.(+\infty이거나 -\infty임)

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.25

      뉴_턴 님 +\infty,~-\infty 둘 다 아니고, 뭐 이미 알고 계시겠지만

      \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty,        \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty 이므로 극한의 정의에 따라 좌극한과 우극한이 다르므로

      \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}는 정의되지 않으며 +\infty,~-\infty 둘 다 아닙니다.

      즉, 어떤 값 중 하나이다 또는 어떤 값이다 라고 말할 수 없다고요.

      (cjmoon 님의 \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty는 맞습니다)

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      cjmoon Lv.5 2019.08.25
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    구머 Lv.4 2019.08.21

    To cjmoon.

    님 그러면 'k'는 어디까지 커지는걸로 생각하고 계시는지요

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      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      계속 커지겠죠? 

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      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      그러다보면 그러다보면 무한과 가까워 지겠지만 결국 무한에는 도달 못하조

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      1씩 더한다고 그 숫자가 무한이 됄수는 없자나요.  

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.21

      왜냐하면 1은 자연수고 무한은 실수가 아니니까 범위 자체가 다르자나요. 자연수안에서 아무리 더해도 자연수라는 울타리 밖으로 나올수 없자나요.

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    •  
      뉴_턴 Lv.8 2019.08.24

      하지만 \sum_{k=1}^{\infty }k는 발산합니다만....

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      \sum_{n=1}^{\infty }k=\infty 아님니까? 1+2+3...+\infty이니까......

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.30

      그리고 발산한다고 무한이 아니라 계속 커지고 있는 수 입니다.

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    리프 Lv.6 2019.08.23

    cjmoon님께 질문이 하나 있습니다.

    0.9999999999...의 값은 얼마라고 생각하십니까?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.24

      1이요. 하지만 0.9999999999......=\frac{9}{9}임으로  \frac{a}{a+1}이 아님니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.24

      x=10^n-1이라고 할때 0.9999999...=x/(x+1) 꼴이 되는데요..

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      n=1, 10^n-1=1, 1/2=0.5

      n=2, 10^n-1=10, 10/11=0.909009090909.........

      n=3, 10^n-1=100 100/101=0.990099009900......

      n=4, 10^n-1=1000 1000/1001=0.999000999........

      n=\infty 10^n-1=\infty \infty /\infty +1=?

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.25

      x=10^(n-1)이 아니라 x=(10^n)-1입니다.

      n=1: 0.9

      n=2: 0.99

      n=3: 0.999

      n->inf: x/(x+1)=0.999...=1

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.26

      n=\infty x=(10^n)-1=\infty-1=\infty\frac{\infty }{\infty +1}=\frac{\infty }{\infty }=? 

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  •  
    cjmoon Lv.5 2019.08.24

    그러면 여러분. 배열을 찾아보세요. 배열을 찾아야 한다면서 안 찾고있자나요!!!

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    •  
      리프 Lv.6 2019.08.24

      배열을 찾는 시도는 문제를 올렸을 때부터 진행되었고 난이도가 높기 때문에 배열을 못 찾거나 배열이 없음을 증명을 하지 못한 상태입니다. 그리고 지금 님이 넓이의 합이 1이 아니라고 주장하시는데 만약 님의 풀이가 맞다면 배열을 찾는 것은 무의미하기 때문에 님의 풀이가 틀렸다는 것을 보이고 있는 상태인데요..

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      근데 저도 배열을 찾아보았는데 님들에 풀이데로 직사각형이 무한개면 배열을 어떻게 찾아요. k가 왜 양의 정수여야 돼는지 무한이 왜 안돼는 왜 제가 강조한지 알아요? 왜냐하면 넚이는 다채울수 있지만 무한개에 직사각형의 위치를 어떻게 일일이 다 계산해요. 그러니까 k를 무한개에 직사각형을 일일이 다 계산을 다못하니까 무한은 안됀다고고요!!!!!! (무한개의 직사각형을 다 계산하면 저도 인정하겠지만 그런일은 없습니다) 답 : 직사각형이 계속 작아지니까 배열은 있지만 배열을 찾지못한다.(그런데 직사각형이 무한개가 되면 k는 무한이다. )     

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    •  
      아인수타인 Lv.10 2019.08.26

      그러니 불가능하다는 걸 증명하든지, 아니면 배열이 존재할 경우에는 직사각형을 채우는 규칙 같은 게 있겠죠.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.30

      가설을 증명하려면 1억개 정도에 직사각형을 배치해 바야할걸요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.30

      그리고 1/2사이즈에 직사각형을 배치하는 방법도 k가 1억이 돼면 눈금이 가로 1억 세로 1억이 돼면 1/2사이즈 직사각형을 배치하는 방법만 2억개 되요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.30

      그리고 직사각형이 무한개면? 그건 여러분도 알거에요.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.30

      1억개로는 부족합니다. 

      리만가설도, 골드바흐의 추측도 모두 1억 까지는 컴퓨터로 밝혀냈죠.

      하지만 그것을 증명이라고 받아들이는 사람은 아무도 없습니다.

      그러니 수학적인 증명을 해야겠지요.

      어느 시점에 반드시 못 채우도록 여백이 흩어져 있다던가

      어떤 알고리즘을 이용하여 무한히 반복하면 꽉 채워진다는 가설을요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      과연 가로 눈금무한에 세로 눈금무한이 있는 정사각형에 직사각형 무한개에 배열을 컵퓨터로 찾을수 있을가요? 

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  •  
    리프 Lv.6 2019.08.24

    넓이의 합은 1입니다.

    증거: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+x%2F%28x%2B1%29

    +undefined님이 이 값이 1이라는 것에 대한 엡실론-델타 논법의 증명을 이미 올려놓았습니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      그건 0^{0}을 1이라고 답하는 계산기와 같은 오류 입니다. 오류가 생기는 이유는 그 계산기가 부정극한을 구분하는 프로그램이 없어서 그런검니다. (알파는 0^0을 1이라고 답하지 않네요.)

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.25

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+1%2F%28x%2B1%29

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+x

      을 보면 \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x+1}=0이고, \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty, 0\times \infty=0, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}\times x=0네 참이 돼었다. 거짓이 돼었다가, 이게 부정극한이라는 증거 입니다.  

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.30

      0 \times \infty는 정의되지 않으므로 위의 논증은 성립하지 않습니다.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      그러면 0이 무한개 있으면 1이나 다른수 돼나요? 초등학교 저학년 수준으로 생각하면 직선이 0개가 있다. 직선에 길이는? 그리고 0을 끝없이 더했다. 그 값은? 

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      왜 제가 직선으로 했을까요. 직선은 끝이 없다고 배우거든요. 

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    마이구미 Lv.1 2019.08.25

    댓글을 보다보니 이야기가 이상한데로 샜네요...... 직사각형들의 넓이의 총합이 1임을 증명했다고 문제가 증명된건 아닙니다. 간단한 예를 들어 보이겠습니다.

    문제: 8×8크기의 체스판을 2×1크기의 도미노로 빈틈없이 채울 수 있는가?

    갑ㅡ도미노 하나가 체스판의 검정칸 1개와 흰칸 1개를 덮으므로 도미노 32개면 체스판의 힌칸과 검은칸을 빠짐없이 덮을수 있으므로 가능하다.

    을ㅡ그럼 '어떻게' 덮으면 되는데?

    갑ㅡ그걸 증명할 필요가 있나? 저걸로 충분하잖아?

    문제: 8×8크기의 체스판을 2×2크기의 도미노 15개와 1×4크기의 도미노 1개로 빈틈없이 채울수  있는가?

    갑ㅡ이번에도 위 문제랑 같은 이유로 가능하겠네.

    을ㅡ어떻게 덮어야 하냐고!

    갑ㅡ그건 증명 안해도 된다니까!

    이 예들과 비슷합니다. 넓이의 합이 1이라는 것을 보이는 것으로는 부족합니다. 채울 알고리즘을 제시해야만 문제가 완전히 증명되었다고 할 수 있습니다. 알고리즘을 제시하기 힘들면 다른 방법으로(귀류법을 쓴다던가) 증명을 시도해야죠. 분명한건 넓이의 합이 1이라는 것만으로는 충분하지 않다는 것입니다. 그러니까 어려운 극한과 무한 얘기는 그만하고 알른 문제를 풀자고요!

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    •  
      마이구미 Lv.1 2019.08.25

      아 한마디만 더 할게요. 무한개의 직사각형을 배열하는 방법을 찾는 것은 귀납법을 이용해야 합니다. 예를 들어서 모든 자연수 n에 대해, 크기가 1/1×2인 직사각형부터 1/n(n+1)인 직사각형까지 모두 채워졌다고 했을때, 1/(n+1)(n+2)인 직사각형을 넣을 공간이 반드시 존재한다는 것을 증명하면 위 문제는 증명된 것이겠죠.

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    cjmoon Lv.5 2019.08.26

    여러분 문제에 왜 모든 양의 정수라고 써져있게요? 왜냐하면 끝없이나오는 직사각형에 모든 위치를 다 계산할수 없으니까 저자가 k는 양의 정수라고 쓴거에요. 이걸풀수있어요? 그리고 직사각형의 수는 항상 유한개에요. 이유는 \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}......\frac{9999999999999999999999999999}{10000000000000000000000000000}까지 가도 무한개가 아니라 유한개의 울타리 갇쳐있어요. \lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}=1을 해석하면 n이 계속 커지면 커진수록 1과 가까워지지만 결국 올타리는 넘지 못하고, 무한히 커지기만하고 자연수의 장벽은 넘지 못해요. 여기에서 n \to \infty은 n이 무한히 커진다는 거지 n이 무한까지 간다는게아니에요. 계속커지고 있는거죠. \lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}에 극한값이 1인거지(이것도 정확하지않다.) \lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}가 1인건 아니에요. (\lim_{n \to \infty }\frac{n}{n+1}에서 0.9999999......9가 존재하지만 결국에는 끝이있다.)       

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.30

      '무한히 가까워진다'는 게 리미트의 정의입니다.

      실제로 \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{(x-1)x}=1입니다.

      리미트의 정의를 풀어 설명하자면 '그 수와 근접하지만 그 수는 아닌' 수들의 함숫값이 수렴하는 수입니다.

      위의 함수에 실제로 1을 대입 할 수는 없죠. \frac{0}{0} 꼴이 되니까요.

      극한은 이 값이 어디에 수렴하는지에 대한 것입니다.

      즉, x=1.1,~1.001,~1.00001... 그렇게 1이 아닌 1에 점점 근접해지는 값들이 어떤 수로 수렴하는지를 구하는 겁니다.

      그렇게 되면 당연히 저 함수의 극한값은 1이지요.

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      이 문제에서는 극한값을 구하면 안돼요. 왜냐하면 극한값을 구하면 이 문제에 조건을 위배하거든요. 증명할게요. 

      (k=양의 정수, k\geq 1, k=직사각형의 수=n, k=양의 정수\neq \infty, 즉 1\leq k=n=양의 정수\neq \infty)  \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}에서 n이 무한이 됄수없다. 

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      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      추가 설명하면 극한값을 구한다는건 무한번째수열을 구한다는 거에요. 

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      cjmoon Lv.5 2019.08.31

      그리고 여기서 무한번째수열을 구한다는 것은 직사각형이 무한이라는거고, k가 무한이라는 건데, 무한은 실수가 아닙니다,

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    뉴_턴 Lv.8 2019.08.28

    정말 방법이 있을 것 같은데.. 못찾겠네요ㅠㅠ

    혹시 "나는 사각형들을 배치할 수 있는 경이로운 방법을 발견했지만 여백이 좁아 적지는 않겠다"라고 하면 풀릴려나??ㅋㅋ

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      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.28

      여백of 페르마...ㅋㅋㅋ

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      아인수타인 Lv.10 2019.08.28

      ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

      장난으로 쓰는 건 알긴 하지만 그렇게 써서 해결되면 해결 안된 문제가 없을듯요^^

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      쪼민이 Lv.7 2019.11.10

      ㅋㅋㅋㅋㅋ

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    cjmoon Lv.5 2019.08.30

    \lim_{n \to x}\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)}에서 n은 직사각형이라는 것을 여러분은 알수있을거에요.(라고 믿습니다.) 그리고 이 문제를 보면 직사각형에 개수가 k와 같다는 것도 알수있을거에요.(라고 믿습니다.) 그러다면 n=k라는 것도 알수있을거에요. 그러면 n은 양의 정수라는 것도알수있을거에요.(라고 믿습니다.) 그리고 이 공식을 잘살피면 x가 5면  \frac{5}{6}로 수렴한다는것도 알수있을 거에요.(라고 믿습니다.) 그리고 k=x=직사각형에 개수라는 것도 알수있을 거에요. (그러니까 x가 100이면 직사각형에 개수가 100개 k는 100) 그러면 x가 무한이면? k도 무한. 즉 문제에 조건에 안 맞자요. 그리고 \lim_{n \to \infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}=1이면 1로 수렴한다 해야지, n \to \infty에서 n이 무한으로 발산한다하면 않돼요. 발산은 \lim_{n \to 0+ }\frac{1}{n}이거나 \lim_{n \to 0- }\frac{1}{n}이거나 \lim_{n \to\infty }(-1)^{n}처럼 양의 무한대(무한대)로 발산하거나, 음의 무한대(무한소)로 발산하거나, 진동할때 발산이라고 하는거에요. 그러니까 여기서는 수렴이라고 해야하요. \lim_{n \to\infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}은 \sum_{k=1}^{k}\frac{1}{k(k+1)}라고 해도돼요.

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    Undefined Lv.1 2019.08.30

    저는 문제를 풀고 싶은 사람입니다.

    (조금 스트레스를 받은 상태인 이유는 위의 특정 댓글들을 보세요)

    그래서 다음과 같은 가설을 증명하거나 반증하면 도움이 될 것 같아 올립니다.

    "모든 직사각형의 변은 큰 정사각형의 변과 평행해야 한다."

    이 가설은 어디까지나 제 개인적인 추측에 불과합니다.

    (수정: 틀린 것 같네요)

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.08.30

      왜죠?

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      Undefined Lv.1 2019.08.30

      가설입니다.

      증명된 명제가 아니고요.

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      아인수타인 Lv.10 2019.08.31

      근데 만약 직사각형이 조금이라도 삐뚤어지면 그 직사각형은 가운데에 있어야 하고, 큰 직사각형과 변을 공유하는 직사각형들은 당연히 변들이 평행해야 하잖아요. 그러면 그 둘 사이는 사다리꼴이 있어야 하지 직사각형으론 절대 메울 수가 없으니까 당연히 모든 변이 전체 직사각형의 변과 평행해야 하지 않나요?

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    인간의 이중성 Lv.1 2019.08.31

    angry답답해서 댓글 올립니다.

    지금 얘기하고 있는 극한값이니 수렴하니 뭐니 그래서 넓이가 1이니 아니니 이런 내용에 대한 얘기는 전부 소득 없는 논쟁입니다.

    이 문제는 그걸 논하는게 아니라 직사각형이 들어갈 기하학적 배열을 찾으라는 문제잖아요.

    넓이가 1이 아니라 1에 수렴하는 것이어서 불가능하다? 아닙니다.

    넓이로만 보았을 때는 1에 수렴하기에 무한히 작아지는 무한한 개수의 도형을 넣는 것이 가능해지는 것입니다.

    간단한 얘를 들면, A1 종이를 A2, A3, A4, A5, ...... 으로 채운다고 합시다. 이렇게 채울 때 넓이는 전체 넓이에 수렴하지만 그렇다고 채울 수 없는 것입니까?

    이 예시가 불가능하다고 생각하시는 분들은 생각을 바꾸셔야 합니다. 얼마나 넣든 남는 공간은 존재해야 합니다. 왜냐하면 무한한 도형을 채워야 하기 때문입니다.

    어떤 양의 정수 k에 대해 k번째에 완벽하게 채우게 되었다면, 그 뒤는 어떻게 채우겠습니까?

    즉, 이 문제는 넓이만 보았을 때 1로 수렴하므로 그 값이 1이든 아니든 가능하다고 하고 해결해야 합니다.

    다시 말하지만, 이 문제는 기하학적 배열에 관련된 문제라는 것을 생각하셔야 합니다.

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  •  
    수돌이 Lv.2 2019.09.01

    오랜만에 접속한 수돌이입니다.
    댓글창에서 무한에 관련하여 열띤 토론이 벌어지고 있었군요.

    제가 쭉 정리해드리겠습니다. 친구한테 설명하는 느낌처럼 반말조로 하겠습니다. 양해 부탁드립니다.

     

    1) 문제의 정확한 해석, 무한에 관하여

    편의를 위해 가로가 1/k이고 세로가 1/(k+1)인 직사각형을 k번 조각 사각형이라고 할거임. 1번 조각 사각형부터 100번 조각 사각형까지 넓이를 다 더하면 넓이의 합은 100/101이지, 그리고 1번 조각 사각형부터 10000번 조각 사각형까지 다 더하면 넓이의 합은 10000/10001이지. 이렇게 항상 1보다 조금 모자라다는 사실을 알 수 있는데 이렇다고 무한개의 조각 사각형의 넓이의 합이 1이 아니라고 착각하면 안 되는 거야.

    1번부터 무한번 조각 사각형까지 다 더하는 것도 엄밀하게는 아니야. 무한은 특정한 수가 아니기 때문에 '무한'번 조각 사각형처럼 번이라는 글자 앞에 붙기에는 좀 곤란해. 이렇게 쓰면 마치 (무한번 조각 사각형까지) 그러니까 어디까지 더한다는 한계를 두는 것 같잖아. 이렇게 무한을 특정한 수로 취급해서 변수 안에 넣어버리면 \frac{\infty}{\infty+1}=\frac{\infty}{\infty}\neq 1이지 않느냐??와 같은 결론이 나오게 되는거지.

    정확하게 문제를 해석하면, 모든 양의 정수 k에 대해서 k번 조각 사각형이 있어. k가 무한이 될 수 있는것도 아니고 어디'까지' 더하는것도 아니야. 너가 어떤 양의 정수를 생각하든 그 번호를 가진 조각 사각형이 있고. 이 "한없이 많은 무한 개"의 조각 사각형으로 단위 정사각형을 채우는거지. 이렇게 무한은 개수를 셀 때 쓰는 말이야.

     

    2) 그래서, 넓이의 합이 왜 1일까?

    수렴에 관해서 대학교에 가면 엡실론 델타 논법이라는 걸 배우는데, 고등학교 미적분 과정에서 배웠던 내용들을 엄밀하게, 그러니까 오해가 생기지 않게 새로 정의하는거지. 이걸 알기 쉽게 전달하도록 노력해볼게. 잘 들어봐. 아니 읽는거구나

    "한없이 많은 무한 개"의 조각 사각형의 넓이를 다 더하면 어떤 실수가 돼. 이건 실수의 완비성이라는 성질(공리)이라 불러. 쨋든, 그 실수를 X라 하자고. 아직 우리는 X가 1인지 몰라. 섣불리 단정지을 수 없지. 그런데 생각해보면 X가 실수니까 이 세 개 중 딱 하나가 맞는 말이겠지?

    X가 1보다 크다.

    X가 1보다 작다.

    X가 1이다.

    우선, X가 1보다 크지는 않을거야. 모두들 이렇게 생각하지? 설마 저걸 다 더해서 1보다 넓어지겠어. 정확한 증명이 궁금하면 댓글로 "나 궁금해!" 하고 달아줘. 증명해줌ㅇㅇ 그럼 이제 첫 번째 문장은 틀린거로 하자고.

    두 번째 문장을 보자. 몇몇 사람들이 X가 1보다 작다고 주장하더라고. 1보다 작은 실수를 생각해봐. 0.94, 0.9975. 다 1과의 차이가 존재하지? 0.94=1-0.06이고, 0.9975는 1-0.0025고. X도 1보다 작다면 1과의 차이가 있을거야. X=1-Y라고 하자. 이렇게 말야. 여기서 Y는 실수겠지? 그러면 이제 조각 사각형들 중에 일부의 넓이를 더해볼 거야. 계산하기 쉽게 1번부터 k번까지라고 하자고. 예를 들어 k가 100이면 더한 결과는 100/101이니까, 1-\frac{1}{101}이라고 할 수 있어. 1과 차이가 1/101만큼 나. 그래서 일반적으로는 k번까지 더하면 더한 결과는 1-\frac{1}{k+1}이 되는거임. k가 점점 커질수록 더한 결과와 1과의 차이는 점점 작아지겠지. 그러다가 그 차이가 Y보다 작아지는 순간이 올거야. 가령 k를 \frac{1}{Y}보다 큰 양의 정수라고 하면 k>\frac{1}{Y}이니까 Y>\frac{1}{k}이고 그러니까Y>\frac{1}{k+1}이겠지. 따라서 이걸 이용하면 1-\frac{1}{k+1}>1-Y=X라는 결과가 나오지. 어? 조각 사각형 중 일부를 더했는데 벌써 X보다 넓어졌네? 그러면 한없이 많은 무한 개의 조각 사각형을 다 더했을 때는 X가 될 수 없겠지. 그런데 다 더했을 때 넓이가 X라며. 말이 안되는 상황(모순)이잖아. 그래서 두 번째 문장은 틀린거야. X는 1보다 작지 않아. (혹시 위 경우에서 실수 Y가 무한소일 수 있지 않나요? 라고 생각이 들 수도 있는데, 무한이 실수가 아닌 것처럼 무한소는 실수가 아니야.)

    자 그러면 세 가지 문장 중에 단 하나만 참인데 첫 번째와 두 번째 문장이 틀렸어. 그러면 맞는 건? 세 번째 문장. X는 1이겠네. ㅇㅈ?

    이런 방식으로도 증명할 수 있어. 이제 넓이의 합이 1인 걸 알았으니, 문제에 대해 더 접근해보자. (아래 댓글에 계속)

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.09.01

      공식으로 요약해주세요.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.09.03

      제가 엡델로 증명 한거 보세요.

      그게 공식입니다.

      위에 설명이 엡델 풀어 쓴 거고요.

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  •  
    수돌이 Lv.2 2019.09.01

    3) 직사각형이 무한하면 배열이 존재해도 찾을 수 없잖아! 어떻게 무한한 직사각형의 위치를 일일히 계산할 건데?

    잠깐 다른 예시를 보자고. 문제에서 등장한 조각 사각형(한 변이 길이가 1/k와 1/k+1)이 아니라, 막대기처럼 생긴 사각형을 생각할 거야. 한 변의 길이가 1이고, 다른 한 변의 길이가 \frac{1}{k(k+1)}인 길쭉한 거 말이지. 이 경우도 넓이들이 \frac{1}{1(1+1)}, \frac{1}{2(2+1)}, \frac{1}{3(3+1)},...로 조각 사각형의 경우와 동일한 수열이지. 그러나 이 경우는 단위정사각형을 채울 수 있는 배치가 존재해. 아주 간단하지. 한 변의 길이가 항상 1이니까 왼쪽부터 차례로 붙이면 되지. 넓이의 합이 1이니까 알맞게 채울 수 있어. 이렇게 단위정사각형을 채우는 규칙을 찾거나, 아래 5)에 내가 쓸 내용과 같이 증명하면 무한한 직사각형의 위치를 일일이 계산하지 않아도 그 배열을 알 수 있게 되지.

    그리고, 단위정사각형을 한 변의 길이가 0.6인 정사각형 두 개로 채운다고 생각해봐. 넓이의 합은 2*0.6*0.6=0.72로 1보다 한참 모자란데, 이 두 개를 겹치지 않게 정사각형 안에 넣을 수 없어. 그러니까 이 문제는 단순히 넓이의 합이 1이다 1보다 작다로 판단할 수 있는게 아니야. 사각형들의 기하학적 구조를 반드시 관찰해야 해.

     

    4) 모든 직사각형의 변은 큰 직사각형의 변과 평행해야 할까?

    음.. 좋은 추측이고 나도 이것에 대해 생각해봤는데, 아직 맞는 것 같다는 확신을 못하겠어.

    왼쪽 그림과 같은 도형 P를 오른쪽에 그려진 큰 정사각형 하나와, 한 변의 길이가 절반으로 줄어드는 무한히 많은 정사각형으로 채우는건데, 모든 정사각형의 변이 도형의 변과 평행하다면, 가장 큰 정사각형이 P에 들어갈 수가 없어. 해결책은 아래와 같이 하나를 살짝 돌리는거야.

    돌려야만 하는 경우가 있기 때문에 그 가설은.. 글쎄....

     

    5) 그러는 넌 뭘 생각했는데?

    나? 나도 적지 않은 시간을 (적어도 2시간 이상) 생각해 봤는데, 정말 어려운 문제인거 같아. 다만 채울 수 있다면 이런 식으로 증명해야할 것 같아.

    자, 둥글둥글하게 생긴 도형을 아무거나 그려봐. 막 찌그러진거 말고 원에 그나마 가까운거. 그 도형의 넓이의 1/10정도 되는 조각은 도형 안에 들어갈 수 있다는 사실을 알 수 있지? 1번 조각 직사각형부터 차례로, 기존의 직사각형과 겹치치 않도록 단위정사각형 안에 넣는 알고리즘을 만들 건데, K번 조각 직사각형까지 넣었을 때, K가 커질수록 남은 영역 대비 다음 조각 직사각형의 비가 작아진다는 사실을 알 수 있지. 그러니까 어느 정도까지 채우고 난 뒤, 남은 영역을 둥글둥글하게 유지만 시켜 준다면 계속해서 다음 조각 직사각형을 넣을 수 있을 거란 추측이야. 그래서 뭐가 필요하냐면,

     

    A. 둥글다의 수학적 정의 세우기. 척도의 형태로 나타나야 함

    B. 일정 이상 둥근 영역 P에 대해서, P의 넓이의 "일정 비율" 이하의 넓이를 가지는 조각 직사각형은 P에 항상 포함될 수 있음을 보이기.

    C. B처럼 하면서도 둥근 척도가 유지되게 할 수 있음을 보이기.

    D. 1부터 M번까지 유한 개의 직사각형을 직접 넣고, 남은 영역의 둥근 척도가 일정 이상임을 보이고, 앞으로의 조각 직사각형은 모두 남은 영역의 일정 비율 이하의 넓이를 가진다는 것을 보이기.

    그런데 더 진전은 되지 않고 있어. A,B,C,D단계 모두 아주 어려울 것 같아. 다른 방법을 물색하는게 나을지도.... 친구들도 함께 도전해보자.

    문제가 풀리는 그날까지! 화이팅!!!

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  •  
    김우현 기자 Lv.4 2019.09.02

    안녕하세요, 김우현 기자입니다.smiley

    최근 댓글에서 벌어지는 논쟁에 관해 친구들에게 한 가지 부탁을 드리려고 해요.

     

    논쟁의 화두인 '무한'은 수학에서 매우 중요한 개념이고 그만큼 이해하기 어렵기 때문에 정의를 잘못 이해하거나 다양한 질문이 생길 수 있습니다. 하지만 그럴수록 여러 사람의 설명과 해석을 듣고 깊이 생각하는 과정을 거쳐야 이해하는 데 도움이 된다고 생각합니다. 자기 의견만 내세우면 도움이 되지 않을 뿐 아니라 자칫 건강한 '토론'이 소모적인 '다툼'으로 바뀔 수도 있지요. 

    서로서로 교통 규칙을 지킴으로서 수십대의 자동차가 부딪치지 않고 자유롭게 달릴 수 있듯, 상대방을 존중하고 배려한다는 '교통 규칙'을 지켜야 자유롭게 질문하고 논의할 수 있습니다. 폴리매스는 수학으로 소통하는 곳이니까 감정을 앞세우기보다 수학 개념과 논리적인 체계를 가지고 논의하면 어떨까요?wink
     

    문제 풀이에 가능한 개입하지 않으려고 했으나 계속해서 소모적인 댓글이 양산되는 것 같아 폴리매스 출제자 일부와 멘토님께 의견을 여쭤본 뒤 불가피하게 글을 남깁니다. 지식을 쌓는 것과 더불어 고민하고 생각을 나누는 자세와 방법을 배우는 것이 폴리매스의 목적이므로 불편하게  생각하지 말고 소통하는 방법에 관해 고민해 보는 계기가 됐으면 합니다.

     

    옛말에 '알기만 하는 사람은 좋아하는 사람만 못하고, 좋아하는 사람은 즐기는 사람보다 못하다'는 말이 있습니다.

    폴리매스는 수학을 즐기는 공간입니다. 앞으로도 즐겁게 토론하면서 함께 수학 실력을 길렀으면 합니다. :)

     

    감사합니다.laugh 

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2019.10.03

    그러면, 통분을하면1+ 2 / 2*3+ 2/3*4+2/4*5+.........+2/(∞+1)*∞   = 2가성립해야되는데.....

    이러면1에 수렴해야되요 0.99999999999999999999999999999.............정도가 되면되겠죠

    근데이게 이렇게 어떻게 되는지는 의문이네요 극한값배울때 1에수렴하지않는다고 배웠는데

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    •  
      디듀우 Lv.6 2019.10.05

      문제에 1이라 나와있지 않나요

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.10.06

      일이라고 나와요.

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    •  
      피타고라수 Lv.2 2019.10.10

      이렇게 하면 안될까요?

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  •  
    ★휠릭시스★ Lv.10 2019.11.10

    제가 무한에 대하여 잘 몰라서 하는 말일수도 있으나,

    얼마나 넣든 나머지 공간이 생기게됩니다.

    그 공간이 항상 남기때문에 채울 수 없지 않나요?

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.11.10

      채울 수 있을 거라는 추측은 이미 많습니다.

      문제는 어떻게 채울지 배열을 찾거나 실제로 제시를 해야 한다는 겁니다.

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    •  
      설날 기념 닉네임 Lv.9 2019.11.10

      오늘 폴리매스 온라인 데이 참가자 분들은 이 문제를 논의해주십시오.

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    •  
      피타고라수 Lv.2 2019.11.13

      황금사각형을 채울려면 계속 빈 공간이 생기지 않나요?

      하지만 황금직사각형은 채울 수 있다고 말자지 않나요?

      제가 한 말에 오류가 있다면 지적해도 감사합니다.

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2019.11.13

      \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}...은 1이므로 방법이 존재하다면 가능합니다.

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  •  
    cjmoon Lv.5 2019.11.17

    이 문제에 이름을 보니 채울수 있내요.^^

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    •  
      ★휠릭시스★ Lv.10 2019.11.17

      네?무슨말이죠?

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.11.22

      끝없는 직사가형이자나요. 

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    •  
      cjmoon Lv.5 2019.11.23

      다시 말해서 배열을 찾는 문제인거죠.

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  •  
    비가 와 ㅠ Lv.2 2019.11.21

    모든 직사각형들의 넓이의 합이 1이라고 나와있긴 하지만 변의 길이가 1인 정사각형 내부에 겹치지 않고 모두 채울려면 직사각형들을 배열해서 정사각형의 변을 다 채워야 하는데 가능한가요?

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  •  
    ★휠릭시스★ Lv.10 2019.11.23

    전 다 채울 수 있다고 생각합니다.

    큰 것들을 아무렇게나 막 채워도 

    끝이 없으니 무수히 작은 직사각형들(넓이가 거의 0인것들)로 그 빈틈을 항상 매꿔줄 수 있다고 생각합니다.

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  •  
    Lukas Lv.3 2019.12.12 비밀댓글
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    Lukas Lv.3 2019.12.12 비밀댓글
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    •  
      리프 Lv.6 2019.12.12

      문제 해결한건가요? 만약 그렇다면 공댓으로 전환해주시면 감사하겠습니다. (풀이를 보고 싶네요)

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    •  
      ★휠릭시스★ Lv.10 2019.12.12

      해결 요청 후에는 전환할 수 없습니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2019.12.14

      복사해서 공댓으로 다시 올려달라는 뜻이였는데 표현이 애매했네요 ㅋㅋ

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