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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[폴리매스 문제] 대28. 수와 집합의 세계로 풍덩~!
수학동아 2019.03.29

서로소이면서 0이 아닌 세 정수 p, q, r에 대해,

S_{p, q, r}= \left \{ (x, y, z) \in \mathbb{Z}^{3} : px^2 + qy^2 + rz^2 = 0, gcd(x, y, z)=1 \right \}

이라 정의하자. (단, gcd(0, 0, 0) = 0으로 정의한다.)

 

문제 1 세 정수 p, q, r을 p=p_1p_{2}^{2}, q=q_1q_{2}^{2}, r=r_1r_{2}^{2} (단, p_1, q_1, r_1은 무승수)라 할 때

p_3=\frac{gcd(q_1, r_1)\cdot p_1}{gcd(p_1, q_1)gcd(p_1, r_1)}, q_3=\frac{gcd(r_1, p_1)\cdot q_1}{gcd(q_1, r_1)gcd(q_1, p_1)}, r_3=\frac{gcd(p_1, q_1)\cdot r_1}{gcd(r_1, p_1)gcd(r_1, q_1)}

 

이라 정의하자. 그러면 세 수의 곱 p_3q_3r_3는 무승수이고 S_{p, q, r} \neq \varnothing \Leftrightarrow S_{p_3, q_3, r_3} \neq \varnothing 임을 보여라.

 

문제 2 집합 S_{p, q, r}이 공집합이 아니면 언제나 무한집합임을 보여라.

 

문제 3 세 정수 p, q, r을 모두 곱한 정수 pqr은 0이 아닌 무승수이고 S_{p, q, r} \neq \varnothing을 만족한다. 그러면

\left | px^2 \right |+ \left | qy^2 \right |+ \left | rz^2 \right |\leq 2\left | pqr \right |

을 만족하는 정수해 (x, y, z)\in S_{p, q, r}이 반드시 존재함을 보여라.

 

문제 4 조건 d=pq=rs를 만족시키는 네 양의 정수 p, q, r, s에 대해

S_{p, q, r, s}= \left \{ (x, y, z, w) \in \mathbb{Z}^{4} : px^2 + qy^2 = rz^2+sw^2 \right \}

라 정의하자. 만약 S_{p, q, r, s} \neq \varnothing이면, 다음 조건을 만족하는 d와 무관한 양의 상수 C가 존재하는가?

 

조건 : (x, y, z, w)\in S_{p, q, r, s}가 존재해 px^2 + qy^2 = rz^2+sw^2 \leq Cd

 

 

 

<알립니다>

 

누군가 친구가 소문제 1번을 해결했어요!

 

  •  
    수학장 Lv.3 2019.04.01

    무승수가 뭐예요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.04.01

      '무승수'는 어떠한 소수의 제곱으로도 나누어지지 않는 수를 말합니다.smiley

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  •  
    누군가 Lv.1 2019.04.05

    편의상 gcd(p_{1},q_{1})=a,gcd(p_{1},r_{1})=b,gcd(q_{1},r_{1})=c라 하자

    p_1=p'ab,q_1=q'ca,r_1=r'bc,gcd(p',q',r')=1

    문제1 p3q3r3을 정리하면

    p_{3}q_{3}r_{3}= \frac{p_{1}q_{1}r_{1}}{abc}=p'q'r'abc이다. p_{1},q_{1},r_{1}은 무승수 이므로p',q',r',a,b,c는 모두 무승수이고 gcd(p,q,r)=1이므로gcd(p',q',r',a,b,c)=1이다. 따라서 p_{3}q_{3}r_{3}은 무승수 이다.

    p,q,r 이 서로소일 때 S_{p_3,q_3,r_3}\neq \varnothing이면 p_3x^2+q_3y^2+r_3z^2=0을 만족하는 x,y,z가 존재한다. 양변에  abcp_2^2q_2^2r_2^2를 곱하면p_1p_2^2c^2x^2q_2^2r_2^2+q_1q_2^2b^2y^2p_2^2r_2^2+r_1r_2^2a^2z^2p_2^2q_2^2=0

    양변을 (gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2))^2 로 나누면p_1(\frac{cxq_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)})^2+q_1(\frac{byp_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)})^2+r_1(\frac{azp_2q_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)})^2=0 gcd(\frac{cxq_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)},\frac{byp_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)},\frac{azp_2q_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)})=1이다. 따라서 S_{p,q,r}는 (\frac{cxq_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)},\frac{byp_2r_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)},\frac{azp_2q_2}{gcd(cxq_2r_2,byp_2r_2,azp_2q_2)})를 원소로 가지고 S_{p,q,r}\neq \varnothing이다. 

    따라서S_{p_3,q_3,r_3}\neq \varnothing이면 S_{p,q,r}\neq \varnothing이다.

    p,q,r 이 서로소일 때 S_{p,q,r}\neq \varnothing이 존재하면 p_1p_{2}^{2}x^2+q_1q_{2}^{2}y^2+r_1r_{2}^{2}z^2=0을 만족하는 x,y,z가 존재한다.p_1(p_{2}^{2}x^2)+q_1(q_{2}^{2}y^2)+r_1(r_{2}^{2}z^2)=p_1(p_{2}x)^2+q_1(q_2y)^2+r_1(r_{2}z)^2=0 

    양변에 \frac{a^2b^2c^2}{abc}를 곱하고 정리하면

    \frac{p_1c(p_{2}xab)^2}{ab}+\frac{q_1(q_2yca)^2}{ca}+\frac{r_1(r_{2}zbc)^2}{bc}=p_3(p_{2}xab)^2+q_3(q_2yca)^2+r_3(r_2zbc)^2=p_3(\frac{p_{2}xab}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)})^2+q_3(\frac{q_2yca}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)})^2+r_3(\frac{r_2zbc}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)})^2=0

    S_{p_3,q_3,r_3}(\frac{p_{2}xab}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)},\frac{q_2yca}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)},\frac{r_2zbc}{gcd(p_2xab,q_2yca,r_2zbc)})를 원소로 가지고S_{p_3,q_3,r_3}\neq \varnothing이다.

    따라서S_{p,q,r}\neq \varnothing이면 S_{p_3,q_3,r_3}\neq \varnothing이다.

     

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.04.17

      소문제 1번의 양방향 모두 증명해줬네요. 주정훈 멘토가 검토 중!!frown

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.05.02

      멘토 확인이 끝났습니다! 잘 푼 것 같다는 의견이므로 교수님께 최종 검토를 요청드릴게요!

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.05.08

      누군가 친구의 풀이가 최종 정답으로 확인됐습니다.

      '모범 답안'이라는 교수님의 의견!laugh

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    •  
      모두다같이 Lv.1 2019.09.15

      마지막부분  ... = 0, ...= 1 에서 왜 =1 이 되는지 잘 모르겠어요..

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  •  
    여백 패르마 Lv.1 2019.04.06

    문제 2번은 펠의 방정식을 사용합니다. 뭐, 주어진 식을 펠의 방정식의 꼴로 변형하는 것은 쉽습니다.(z를 상수취급히면 됩니다.) 

    그러면, 알려진 펠의 방정식의 정리를 사용하면, 2번을 풀 수 있습니다.

    (간략한 풀이 설명)

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    •  
      여백 패르마 Lv.1 2019.04.06

      정확한 풀이는 시간이 남을 때 올리겠습니다. 

      p.s. 저는 이제 가끔씩 여기로 오기로 했습니닷!!

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    •  
      우리집고양이 Lv.1 2019.04.29

      소문제 1번에 의해 문제의 식은 Spqr은 (p3,q3,r3는 무승수이고 p3,q3,r3,x,y,z는 모두 서로소인) S p3q3r3와 사실상 같은데,  x^2- (q_3/p_3) y^2 =r_3 z^2의 첫 해 x1 y1 z1에 대해 z1을 상수취급하고 펠의 방정식의 해법과 같이 추가해를 구하려고 하면 처음의 조건 'p3,q3,r3는 무승수이고 p3,q3,r3,x,y,z는 모두 서로소임' 때문에 x2 y2가 정수일 수가 없습니다. 혹 이와 다르게 응용하여 해결했다면 알려주세요.

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  •  
    우리집고양이 Lv.1 2019.04.16

    1. 무승수이고 모든 쌍이 서로소인 k1,k2,k3,k12,k23,k13에 대해  p,q,r은 각각 1,2,3에 대응하여 X1은 X에 대응하는 수를 포함하는 k들의 곱. 하면 p3q3r3= 모든 k의 곱 =무승수.

    그리고 p2 는 x에 포함시키고(식이 성립하는 경우 1대1대응) 나머지도 이와 같게 한다. 어차피 p1 q1 r1 중 하나의 부호가 나머지 둘과 다를 것이므로 임의로 k1 을 -k1으로 바꾸고(k1>0) 나머지 k는 양수라 한다. px^2=qy^2혹은 rz^2일 수 없으므로 S p1,q1,r1 의 원소인 (x,y,z) 는 각각 k23,k13,k12를 인수로 갖는다. x=k23 x'과 같이 표현한 후 약분하면(x',y',z')은 S p3,q3,r3의 원소이다. 쌍방 1대1대응되니 필요충분조건

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.05.02

      멘토 확인이 끝났습니다! 잘 푼 것 같다는 의견이므로 교수님께 최종 검토를 요청드릴게요~.

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2019.05.08

      교수님 검토 결과 대략적으로 서술하긴 했지만, 원칙적으로 맞는 풀이라고 해요. 잘 풀었어요!laugh

      (아쉽게도 누군가 친구가 먼저 풀이를 올렸으니 원칙상 소문제 1번은 누군가 친구가 푼 것으로 하겠습니다.)

       

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