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Notice Board

공지사항

[공지사항](멘토링) 사상 최초! 멘토링에서 폴리매스 문제 탄생!

2018.12.29

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스
 

참 오랜만이죠~?
폴리매스 멘토링 현장 스케치
 
 

2018년 11월, 국가수리과학연구소에서 여섯 번째 폴리매스 멘토링이 열렸어요.(무려 1년만!) ‘해결’ 가뭄에 허덕이던 폴리매스 마을에 단비를 내려준 문제는 국가수리과학연구소 19, 20, 21번 문제입니다. 9~12월 불과 4개월 사이 문제가 잇달아 풀리면서 해가 넘어가기 전에 멘토링을 할 수 있었는데요. 문제를 푼 친구가 전부 참석하지 못했지만, 수돌이 친구(19, 21번)와 수학자 친구(21번), 멘토링 기회를 묵혀뒀던 shine 친구(9.5번) 그리고 예전에 문제를 풀었는데 멘토링에 참가하지 못했던 디듀우 친구(8번)가 멘토링에 참여했어요.  
 디듀우 친구는 첫 멘토링이고 수학자 친구는 두 번째, shine 친구와 수돌이 친구는 대한수학회 멘토링까지 포함해 무려 세 번째 멘토링이었는데요! 베테랑(?)답게 김 기자보다 앞장서서 국가수리과학연구소로 향했습니다. 백진언 연구원과 커다란 칠판 앞에 모여앉아 자기가 푼 문제와 풀이, 아이디어를 발표할 준비를 마친 그들. 어떤 이야기들이 오갔는지 한번 살펴볼까요?
 
 
 
 
<1> 밝혀진 8번 문제의 정체!
첫 번째 문제는 2017년 7월 출제한 8번 ‘핑순이의 단어 놀이’(www.polymath.co.kr/math/62)입니다. 친구들이 풀이를 설명하기 전 백진언 연구원은 문제를 낸 이유에 관해 설명해줬는데요. 여기서 재밌는 사실이 밝혀졌습니다. 사실 8번 문제는 알파벳을 몇 가지 규칙에 따라 조합해 단어를 만드는 문제가 아니라 평면에 원과 곡선이 서로 만날 때 생기는 교점을 수학적으로 표현하려고 낸 문제였다는 것! 백진언 연구원이 복잡한 도형 문제를 재밌게 바꾼 것이었습니다.(배려 뿜뿜) 그렇다면 원과 곡선의 교점과 단어 만들기 사이에 어떤 관계가 있을까요? 아래 백진언 연구원의 설명을 보고 도형 문제로 바꿔 풀어보세요~.
 
     각 알파벳은 원 안에 놓인 '곡선 1개'를 나타냅니다.
원주 위를 한 방향으로 돌 때 만나는 교점이 어떤 곡선 위의 점인지 읽으면 단어가 만들어져요!
 
'단어 합치기'는 두 원을 하나로 붙여 단어를 만드는 것,
'중복인 두 글자 없애기'는 단어를 합쳤을 때 중복되는 곡선은 하나만 남기는 거예요! 
 
 
"문제를 낼 때 몇몇 친구들이 금방 해결하지 않도록 문제를 내려고 해. 그러다 보면 늘 새로운 문제를 만들어낼 순 없고 기존에 알려진 문제를 변형하거나 참고하는데 8번 문제는 100% 새로 만든 문제야~!" (백)
 
"중학생이라 아직 배우지 않았지만, 책에서 경우의 수를 계산하는 방법(조합)을 이용해 풀었어요" (디듀우)

"저녁 7시부터 8시 40분까지 풀었던 거로 기억해요. 저도 문제를 풀 때 단어의 처음과 끝을 이어 원으로 배치해서 풀었는데, 각 알파벳이 원 위의 교점들이었네요!" (수돌이)

"1시간 40분 만에? 후덜덜" (일동)
 
 
<2> 9.5번 문제와 수돌이의 팩트 폭행(?)
9.5번 ‘제설기의 마법’(www.polymath.co.kr/math/73)는 shine 친구가 7번 문제의 핵심 아이디어였던 ‘불변량’을 이용해 가뿐히 해결했습니다. shine 친구는 직접 ‘구멍’이라는 불변량을 정의해 문제를 해결했다고 해요. shine 친구는 양쪽에 눈이 있고 그 자리에는 아무것도 없는 상태를 ‘구멍’이라고 정의한 뒤 구멍이 두 칸 연속 있을 수 없다는 사실을 증명해 문제를 해결했답니다.
 
"종종 문제가 빨리 풀리면 추가 문제를 내는데, 9.5번 문제는 9번 문제를 수돌이 친구가 금방 풀어버렸다고 해서 추가로 낸 문제란다" (백)

"제가요?" (수돌이둥절) 
 
"이 문제는 ‘이렇게 하면 풀릴 것 같네’라고 감은 오는데 설명하기는 무~척 귀찮은, 그런 문제였어요" (수학자)

"집은 무한하고 눈은 유한하니까 눈을 양쪽으로 퍼뜨리다 보면 균형을 이루는 단계가 오지 않을까요?" (디듀우)

"예스! 그걸 수학적으로 설명한 게 바로 ‘불’ to the ‘변’ to the ‘량’!" (shine)
 
 
#여기 펄.펙.트.한 설명 받으시죠!                               #수학이 얼만큼 재밌냐면 말이지~.
 
 #펜을 든 수돌이 친구! 갑자기 멋짐이 폭발한다!
 
 
 
<3> 뛰어봤자 벼루...ㄱ...ㅐ구리!
19번 ‘도망자 개구리’(www.polymath.co.kr/math/162)는 백진언 연구원이 페이스북에 올라온 소문제 1번을 보고 만든 문제예요. 개구리의 상태(처음 위치, 이동 거리)를 순서쌍으로 나타낸 뒤, 손을 뻗는 위치와 각 상태 사이의 일대일대응을 찾아야 합니다. 손을 뻗을 때마다 개구리가 계속 이동하니까 개구리가 어떤 상태이든 간에 시간이 지나면 잡을 수 있도록 손 뻗는 위치를 찾는 게 핵심이었지요. 사실 소문제 3번은 백진언 연구원도 답을 구해보지 않고 낸 문제인데, 수돌이 친구가 간단해 보이지만, 오묘한 부분을 수학적으로 잘 풀었다고 해요. 풀이에 아주 만족!
 
"중학생인 디듀우 친구도 제 풀이를 이해하도록 설명해보도록 하죠. 2번은 가산 집합과 불가산 집합을 알아야 해서 좀 어려울 수도 있을 것 같거든요. 그러니까 이 문제는 가갸거겨고교우유…" (수돌이)

"저, 가산집합이 뭔지 알아요" (영재교육원 다니는 디듀우)
 
"음!?" (일동)

"소문제 2번에서 처음 위치와 이동 거리가 정수가 아닌 ‘실수’면 잡는 게 불가능하다고 했는데, 손을 뻗을 때 점이 아닌 구간 안에 있는 개구리를 잡을 수 있다면 어떨까요?" (디듀우)

"호오오오. 괜찮은 문제가 될 것 같은데요." (일동)

그냥 하면 재미없으니 n번째 손을 뻗을 때마다 구간의 길이가 1/n로 줄면 어떨까? (백)

"앗! 아아…. " (일동 질색)
 
 
<4> 백진언 연구원의 큰 그림
21번 ‘내 맘대로 숫자 레시피’(www.polymath.co.kr/math/181)는 주어진 숫자 사이에 수학 기호를 넣어 등식을 만드는 문제에서 착안해 만든 문제예요. 문제 자체로도 의미가 있지만, 사실 더 깊은 뜻이 숨어있죠. 백진언 연구원이 프로그래밍으로 수학 문제를 풀 때 ‘교차 검증’이 필요하다는 사실을 알려주려고 만든 문제거든요. 그래서 답이 나온 뒤에도 ‘해결’ 딱지를 바로 붙이지 않고 다른 친구들이 다른 방식으로 프로그래밍했을 때도 같은 답이 나오는지 확인한 뒤 해결 딱지를 붙였답니다. 단순 프로그래밍 문제인 줄 알았는데 백진언 연구원이 큰 그림을 그리고 있었네요! 화가 뺨침!
 
"명령어 순서 하나만 바꿔도 오류가 나는 게 바로 프로그래밍이야. 프로그래밍으로 푼 수학 난제 ‘4색 문제’도 모든 경우를 다 고려했음에도 검증 단계에서 오류가 발견됐었지" (백)
 
"맞아요. 문제를 프로그래밍으로 풀 때 가장 중요한 건 ‘모든 경우를 다루고 있는지’ 확인하는 거예요. 비슷하게 프로그래밍 문제를 만들 때도 마찬가지고요!(수학자)

비록 답이 맞았어도 다른 친구도 풀어서 교차 검증을 하길 바라는 마음에서 바로 ‘해결’ 딱지를 붙이지 않았어. 문제를 푼 수돌이, 수학자 친구 심지어 나도 틀렸을지 모르잖아?" (백)
 
(일동 강한 긍정의 끄덕임)
 
 
 
쉬라니깐! 2.5번 문제에 관해 토론하는 멘티들.                     #국가수리과학연구소 너무나 신기방기!
 
        
오랜만에 열린 멘토링 현장, 재밌었나요? 열정을 다해 폴리매스 문제, 수학에 관해 대화를 나눈 4명의 멘티는 저녁 식사 자리에서도 대화를 그칠 줄 몰랐답니다. 과학고 및 대학 입시에 관한 것부터 수학 공부 방법, 최근 폴리매스 문제 관한 얘기 등 재밌는 이야기가 많이 오갔는데요. 특히 교내 프로그래밍 경시대회에서 문제 출제진으로 참여했다는 수학자 친구는 폴리매스배 프로그래밍 대회를 열자는 제안을 하기도 했어요.
이번 멘토링이 열리고 난 직후 대한수학회 2번과 21번 문제, 국가수리과학연구소 24번 문제가 풀리면서 곧 다음 멘토링이 열릴 예정이랍니다. 정답을 찾지 않아도 괜찮아요. 엉뚱하고 기발한 아이디어만으로도 정답자가 될 수 있으니 열심히 도전해보세요!
 
 

 
< 멘토링 후기! >
 
과연 형들은 정말 대단했다. 열심히 공부해서 저 형들처럼 되고 싶다! 앞으로 더 많은 사람들과 멘토링을 했으면 좋겠다.
-디듀우
 
‘모두가 힘을 합쳐 문제를 푼다’는 건 항상 흥미롭다. 문제를 푸는 것 자체도 즐겁지만, 다른 사람의 의견을 들어볼 수 있다는 건 더 즐겁다.
-shine
 
폴리매스 문제를 풀 때 앞서 올라온 댓글을 읽고 시작한다. 친구들의 아이디어를 보고 쉽게 푼 문제도 많고 반대로 내 아이디어로 다른 사람이 풀이를 완성하기도 했다. 함께 연구한다는 것, 여러 사람의 힘을 합친다는 건 정말 대단한 것 같다. 문제도 참신해서 연구에 활용하기 좋다.
-수돌이
 
중·고등학생 친구를 보니 ‘늙었다’는 생각도 들었다. 수학 문제를 열심히 푸는 친구들과 함께 수학 이야기를 하면서 앞으로 더 많은 사람이 폴리매스 프로젝트에 참여했으면 좋겠다는 생각이 들었다.
-수학자
 
-끝-
 

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