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Junior Polymath

주니어 폴리매스 문제 보기

문제

[방승진 교수의 수학 퍼즐] 방6. 알쏭달쏭 종이접기

2019.01.02

같이 풀어볼까?

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주니어 폴리매스를 시작하면서 아주대 수학과 방승진 교수님은 다음과 같은 조언을 해주셨습니다. 앞으로 교수님의 의견에 따라 문제를 풀어 보세요!

요즘 수학 문제는 일회용 물수건처럼 쓰고 버리는 것이라는 인상을 지울 수 없습니다. 학생들은 셀 수 없을 정도로 많은 수학 문제를 풀고 또 풀지만 수학 실력은 늘어나지 않습니다. 왜 일까요? 머리가 나빠서 일까요? 연구에 따르면 학생들은 누구나 잠재력이 있다고 합니다. 수학도 마찬가지 아닐까요?

제 경험에 의하면 수학 문제를 마치 껌 씹듯이 생각에 생각을 거듭하면 다양한 생각을 하게 되고 어느 덧 그 수학 문제는 영원히 잊지 않을 정도로 친숙하게 됩니다. 좀 더 정확하게 "어떤 문제를 푸는가도 중요하지만 문제를 어떻게 푸는가?" 가 더 중요합니다. 결국 문제를 풀고 난 뒤에 '어떤 창의적인 산출물을 만들었는가?' 가 중요합니다.

앞으로 게재하는 문제들은 주로 다양하게 생각하도록 유도하는 문제 즉, 개방형 문제(open-ended problem)로서 여러분들이 좀 더 창의적인 태도를 가질 수 있도록 안내할 겁니다.

모든 문제는 주어진 질문에 국한하지 말고 될 수 있는 한 일반화 시키고, 남들과는 다르게 생각하려고 노력해야 좋습니다. 수학 논문을 쓰면 더욱 좋습니다.




문제1

정사각형 종이로 가장 큰 정삼각형을 접고 방법을 말해보자.


문제2

큰 직사각형 종이를 접어 정삼각형부터 정육각형까지 만들어 보자.



댓글 9

  • sammy 2019.01.03 13:58:49 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수0
  • 디듀우 2019.01.04 22:36:24

    각도기나 자, 펜 같은 도구를 써도 되나요?

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    • zxcvbnm 2019.01.06 11:46:47

      근데 되면 너무 쉽지 않을까요?(제 생각)

      좋아요0
  • codename 2019.01.08 21:44:20

    이 문제는 정사각형안에 존재하는 정삼각형중 가장 큰정삼각형을 구하라는 문제입니다.

    정사각형에 정삼각형이 존재하는 경우는 총 3가지로 나눌 수 있습니다.

    -정사각형의 한변과 정삼각형의 한 변이 맞닿는 경우

    -정사각형의 한 꼭짓점과 정삼각형의 한 꼭짓점과 닿는경우

    -이 이외의 경우

    첫번째의 경우 정사각형 한 변의 길이를 a라 할때,

    정삼각형의 한변의 길이는 a입니다.

    두번쨰의경우 정사각형 한변의 길이가 a이고,

    꼭짓점이 아닌 변과 맞닿는 정삼각형이 한점에서,

    가까운 정사각형의 꼭짓점까지의 거리를 b, c라합시다.

    그러나 피타고라스의 정리에 의해 a2+b2=a2 +c2 이므로 b=c입니다(단, b>0, c>0)

    그러면 정삼각형의 한변과 정사각형의 한변의 이루는 각은 15가 되겠네요.

    a2+b2   이 정삼각형의 한변의 길이가되므로,

    b>0이니까 어쨌든 위의 경우보다는 큽니다.

    이외의 경우를 보겠습니다.

    최대한 변의 길이가 길어야 하니,

    어쨌든 3점이 모두 변 위에 있어야 합니다.

    앞의 경우에서 꼭짓점과 닿는 경우를 보았으므로,

    변에만 닿는 경우를 보도록 하겠습니다.

    만약 3점이 모두 정사각형 변위에 있다면,

    정삼각형이 되냐 안되냐를 떠나서,

    결국 어떠한 2점은 정사각형의 변을 기준으로 이웃하지 않습니다.

    그러한 한점에서 반대편점이 있는 변으로 수선의 발을 내려보겠습니다.

    그 모양은 한 꼭짓점에 닿아있는 정삼각형의 모양을 안으로 땡긴 모양을 하고있습니다.

    즉, 위의 경우에비해 더 변의 길이가 짧을 수 밖에 없다는 것입니다.

    저 모양은 먼저, 대각선방향으로 한점을 기준으로 삼등분합니다.

    그후 좌우에서 그선을 따라 한번더 접게되면 모양은 완성됩니다.(이루는 각이 15,60,15이므로)

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    • 오지랖 2019.01.26 22:20:48

      근데 b가 마이너스, c가 마이너스면?

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    • code 2019.01.26 22:58:39

      b<0 또는 c<0인 상황은 나올수 없습니다. b와 c는 어느 한 길이를 나타내고 있는것으로 음수일 수 없습니다.

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  • 21세기오일러 2019.01.14 12:14:16

    ~~%+$-책에 정답이 나오는 문제네요

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  • hoho 2019.01.16 13:07:28 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수0
  • 퍼즐&Scratch 2019.03.02 22:49:23

    큰 직사각형 종이로 정사각형을 만드는 것은 쉽습니다. (한쪽 끝에 직각이등변삼각형을 만들고 계속 접어나가면 됨)

    정사각형을 접은 다음 codename님의 방법으로 정삼각형을 접습니다.

    그 다음 정삼각형의 무게중심을 접어서 찾고 세 꼭짓점을 무게중심에 모으면 정육각형이 됩니다. 

    이제 정오각형만 접으면 되죠. 황금비를 가진 황금 직사각형을 접을 수 있으므로 잘 이용하면 될 것 같습니다. 

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