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Junior Polymath

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문제

[방승진 교수의 수학 퍼즐] 방3. 진짜 금화 찾기 퍼즐

2018.10.01

같이 풀어볼까?

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주니어 폴리매스를 시작하면서 아주대 수학과 방승진 교수님은 다음과 같은 조언을 해주셨습니다. 앞으로 교수님의 의견에 따라 문제를 풀어 보세요!

요즘 수학 문제는 일회용 물수건처럼 쓰고 버리는 것이라는 인상을 지울 수 없습니다. 학생들은 셀 수 없을 정도로 많은 수학 문제를 풀고 또 풀지만 수학 실력은 늘어나지 않습니다. 왜 일까요? 머리가 나빠서 일까요? 연구에 따르면 학생들은 누구나 잠재력이 있다고 합니다. 수학도 마찬가지 아닐까요?

제 경험에 의하면 수학 문제를 마치 껌 씹듯이 생각에 생각을 거듭하면 다양한 생각을 하게 되고 어느 덧 그 수학 문제는 영원히 잊지 않을 정도로 친숙하게 됩니다. 좀 더 정확하게 "어떤 문제를 푸는가도 중요하지만 문제를 어떻게 푸는가?" 가 더 중요합니다. 결국 문제를 풀고 난 뒤에 '어떤 창의적인 산출물을 만들었는가?' 가 중요합니다.

앞으로 게재하는 문제들은 주로 다양하게 생각하도록 유도하는 문제 즉, 개방형 문제(open-ended problem)로서 여러분들이 좀 더 창의적인 태도를 가질 수 있도록 안내할 겁니다.

모든 문제는 주어진 질문에 국한하지 말고 될 수 있는 한 일반화 시키고, 남들과는 다르게 생각하려고 노력해야 좋습니다. 수학 논문을 쓰면 더욱 좋습니다.




문제 금화가 200개 정도씩 쌓여 있는 무더기가 5개 있다. 이 중에서 진짜는 하나뿐이고 나머지는 모두 가짜 금화다. 각 무더기에 쌓인 금화 1개의 무게는 1g, 2g, 3g, 4g, 5g이다. 무게가 5g인 무더기가 진짜 금화일 때, 저울을 한 번만 사용해 각 무더기의 금화 무게가 몇 g인지 알아보아라.



댓글 21

  • muse 2018.10.01 21:39:28 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수2
    • 바람개비 2018.10.04 19:30:45

      비댓이니 해답일 듯 한데, 문제 일반화도 같이 한건가요?

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    • muse 2018.10.04 19:34:37

      아뇨.

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  • 21세기오일러 2018.10.02 19:14:21

    그냥 추측인데 1번에서a개 2번에서 b개 3번에서c개 4번에서d개 5번에서e개를 꺼내서 쟀을때 모두 수가 겹치지 않게 나오도록 하면 될것 깉습니다.

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    • 수학장 2018.10.02 22:43:05

      그 a,b,c,d,e의 값을 구하는 게 이 문제라고 볼 수 있죠.

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    • ㄴ토끼 2018.10.03 22:54:20

      200개 한정이니까 a를 1이라 뒀을 때 다른 수는 최소 6은 되어야 a가 1인 경우랑 겹치지 않겠네요 그렇게 해나가면 되지 않을까요?

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    • muse 2018.10.04 07:53:25

      a를 0이라고 둘 수도 있다는 점을 고려해 보세요.

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  • 수학장 2018.10.04 20:43:31

    a=0, b=1, c=6, d=31, e=156이면 될 것 같아요.

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    • muse 2018.10.04 21:31:31

      더 작게 할 수 있습니다.

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    • 수학장 2018.10.08 20:39:00

      굳이 더 작게 할 필요는 없을 것 같은데요

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  • 알파김 2018.12.13 21:11:52

    간단하게 a=1, b=2, c=3, d=4, e=5 이렇게 꺼내서 재 보세요^^

    그럼 답이 나오는 것 같은데요??

    만약 무게를 잰 값이 55g이면, a=1g, b=2g, c=3g, d=4g, e=5g이 되는 거죠^^

    제가 그 외에도 한번 풀어 봤어요^^heart   ________________________________< 초5학년 우리 아이가 쓴 답입니다^^;>

     

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    • 알파김 2018.12.13 21:28:03

      아 그리고 또,

      a=0, b=1, c=2, d=3, e=4 도 나올 수 있어요^^

      muse 님 감사해요 heartyes

       

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    • muse 2018.12.25 20:02:33

      무게를 잰 값은 무조건 자연수여야 합니다.

      a, b, c, d, e에 배정되는 무게의 경우의 수는 5! = 120가지입니다.

      그런데 a=0, b=1, c=2, d=3, e=4에서 나올 수 있는 무게의 최댓값은 1*0+2*1+3*2+4*3+5*4=40입니다.

      그렇기 때문에 무게가 주어졌을 때 나올 수 있는 경우가 상당히 많을 겁니다.

       

      쉽게 말해서, 주어진 a~e값으로는 문제를 해결할 수 없습니다.

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    • 아인수타인 2018.12.26 11:43:46

      여기서 진짜가 6g이고, 가짜가 5g식이라면(즉, 무게 종류가 2가지고, 가짜가 1무더기라면) 그렇게 할 수 있겠지만, 문제에서는 모두 다 다른 1,2,3,4,5g입니다. 그렇기 때문에 그렇게 간단한 답으로는 확실히 알 수가 없습니다.

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  • 얼토메석궁 2019.01.02 23:22:14

    문제 이해가 잘 되지 않는데

    한 무더기의 모든 금화의 무게는 같은 건가요?

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    • 아인수타인 2019.01.04 00:50:58

      네.

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  • codename 2019.01.13 21:42:51

    답은 어느 무더기든 1개, 다음은 6개, 7개, 11개, 13개 로 가져가면 되겠네요.

    이문제는 결국 이렇게 가져간 뒤에 총합이 같은 경우가 나오면 안됩니다.

    그냥 아무 무더기에서 1개를 꺼내간다고 가정하면,

    뒤에서 2-5개를 꺼낼 경우 겹치게됩니다.

    6개를 꺼낼경우는 괜찮습니다.

    이런 방식으로 하게되면 그 뒤로는 어느 소수가 와도 상관 없습니다.

    즉, 이외에도 답은 더 많을 수있습니다.

    ** 여기서 고려해야 할점은 총합이라는 부분입니다.

    각각은 겹치지 않을지 몰라도,

    합은 같게 되면 답이 틀릴 수있습니다. **

    (이걸 증명 하려고 노력해보았는데 잘안되네요. 이미해결하신분의 도움을 조금 받고싶습니다)

     

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  • Cantor 2019.02.14 13:24:31

    무더기에 번호를 메긴다.1번 무더기에는 1개,2번은 2개,n번은 n개의 무더기를 저울에 올려놓는다.

    1번 무더기에 있었던 금화 1개를 덜어내서 1번 무더기에 있는 금화의 무게를 알 수 있다.

    같은 방법으로 줄어든 무게를 덜어낸 금화의 수로 나누면 그 무더기의 금화가 몄 g인지 알 수 있다.

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  • 김태이 2019.03.01 09:38:15

    ;그렇다면 각각에서 소수개씩 꺼내면 어떤것에서 어떤것이 몇 g인지 알 수 있지 않을 까요??

    ex)a:a1개 b:b1개b c:c1개 d:d1개 e:e1개 로 놓았을때 (a1,b1,c1,d1,e1는 모두 서로소)

    나온 값을 x라 할때  

    a+b+c+d+e=15

    a*a1+b*b1+c*c1+d*d1+e*e1=x

    이런 식으로 계속하면 될 것 같네요

     

    전 모르겠습니다ㅠㅠ

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    • 수학오리 2019.03.12 00:36:29

      소수 개 씩 하더라도 2, 3, 5가 소수이므로 소수×소수인 수가 나올수 있습니다. 그럴 때는 이 방법이 무의미하네요ㅠㅠ 위의 수학장님의 방법이 정답인것 같은데 더 줄일수 있어서 정답 표시가 안뜨는건가요..?

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  • 유클이드 2019.03.15 20:18:49

    근데  저울이 양팔저울이에요? 아니면 그냥 전자 저울이나 용수철 저울이에요?

    양팔저울이랑 그냥 저울이랑 풀이의 차이가 있을 것 같아서요.

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