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문제

[대한수학회] 대27. 레이저 속 광자의 개수를 세라!

2019.02.28

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

레이저는 한 방향으로 진행하는 빛입니다. 빛은 광자(photon)로 이뤄져 있는데, 광자는 생겨나기도 하고 사라지기도 하며, 레이저에 포함된 광자의 수를 실험으로 측정해도 동일한 레이저의 광자 수를 다시 측정하면 광자의 수가 바뀌기도 합니다.

특정한 상황에서 만약 광자의 수를 측정했는데 n개의 광자가 측정됐다면, 다음 번에 레이저에 포함된 광자의 수를 다시 측정했을 때 그 수가 l개일 확률 P{_{l}}l<n인 경우 다음의 공식으로 구할 수 있습니다.

P{_{l}}=\frac{e^{^{-n}}n^{^{n-l}}l!}{n!} \left ( \sum_{m=0}^{l}\binom{n}{l-m}\frac{(-1)^m n^m}{m!} \right )^{2}

여기서 l과 관련 없는 부분인 \frac{e^{-n}n^n}{n!}d_n이라는 상수로 놓고 다시 위의 식을 써 보면 다음과 같습니다.

P{_{l}}=d_nn^{-l}l! \left ( \sum_{m=0}^{l}\binom{n}{l-m}\frac{(-1)^m n^m}{m!} \right )^{2}

참고로, 스털링 공식을 사용하면 d_nn^{-\frac{1}{2}}정도의 크기임을 알 수 있습니다. 예를 들어, P_1의 값을 계산해 보면 0을 얻습니다.

 

문제 1 P_2P_3의 값을 구하시오.
 

실제로 P_2P_3의 값을 구해보면 P_3의 값이 훨씬 작게 나타납니다. 이것은 우연이 아니며, l이 크지 않은 경우 광자의 수가 홀수일 확률이 짝수일 확률보다 훨씬 작습니다. 다음 과정을 통해서 이를 증명해 보도록 합시다.

 

문제 2 P_l에 대해 성립하는 점화식을 구하시오.

 

문제 3 충분히 작은 l에 대해 (l<n^{\frac{1}{3}}이라 가정) n과 관계없는 상수 C가 존재해 (1) 만약 l이 홀수일 때는 P_l\leq Cd_n, (2) 만약 l이 짝수일 때는 P_l\leq \frac{Cl^{3}}{n} d_n임을 증명하시오.

 

위 부등식에서 알 수 있듯이, l이 크지 않을 경우 P_l의 상한이 더 작게 나타납니다. 다만 l이 짝수인 경우 성립하는 부등식에 포함돼 있는 l^{3}l이 증가함에 따라 같이 증가하므로, 위 부등식보다 더 좋은 결과를 얻는 것이 가능할 수도 있습니다.

문제 4 충분히 작은 l에 대해 (l<n^{\frac{1}{3}}이라 가정) n과 관계없는 상수 C가 존재해 만약 l이 짝수일 때는 P_l\leq \frac{Cd_n}{n}임을 증명하거나, 이런 부등식이 성립할 수 없음을 증명하시오.


 

댓글 15

  • muse 2019.02.28 11:39:50

    P_2 = \frac{e^{-n} n^n}{2 n!}

    P_3 = \frac{2 e^{-n} n^{n - 1}}{3 n!}

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    • 시그마 2019.02.28 13:13:35

      공식에 대입한 값이죠?

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    • muse 2019.02.28 14:50:45

      네.

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  • 시그마 2019.02.28 13:28:14

    왜 문제 3이 두개인가요?

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    • 김우현 기자 2019.02.28 16:05:56

      앗, 실수! 4로 수정했습니다!surprise

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  • tommy 2019.02.28 21:10:06

    2번 문제인 P_l의 점화식의 유도 과정입니다.

    P_l의 정의식에서 시그마 부분(제곱 안쪽에 있는 부분)을 s_l이라 정의한 뒤 s_l의 생성함수 f(x)를 정의하여 점화식을 유도했습니다.

     

    근데 깔끔하게 P_l에 대한 점화식이 아니라, 실제로는 \sqrt{P_l}의 점화식을 유도한 셈이라 약간 찜찜하네요... 사실 점화식이라는 게 일반적인 의미로 보면 단지 '수열의 항들 간의 관계식'이라서, P_l-P_{l-1}=(P_l의 정의식)-(P_{l-1}의 정의식)이라고 써 놓고 이걸 점화식이라고 주장해도 반박할 수는 없어서 말이죠; 어떤 형태의 점화식을 유도해야 하는지 조금 더 자세하게 적어 주시면 감사하겠습니다 :)

     

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    • 알파고zero 2019.02.28 22:56:23

      과정도 엄청 복잡하넹!

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    • tommy 2019.03.02 11:57:44

      흠... 계산해 보니 s_l은 계속 양수와 음수를 오락가락하는 반면 P_l은 s_l의 제곱 항이 곱해지니까 단순히 s_l=\sqrt{\frac{P_l n^l}{d_n l!}}으로는 s_l의 부호를 결정할 수가 없겠네요... ㅠ

      그렇다면 아무래도 항상 양수인 P_l 자체에 대해 생성함수를 만들려고 노력해 봐야겠군요ㅎㅎ 상계를 구하기에도 그게 더 편할 테니 말입니다

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  • 알파고zero 2019.03.04 23:35:23

    대한수학회문제는 매번 진짜 어렵네요.

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  • gg 2019.03.21 01:38:26

    문제 2 점화식 유도과정입니다.

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    • tommy 2019.03.24 18:14:45

      제가 조금 이상한 현상을 목격했습니다.

      gg님의 최종 결론은 P_l이 다음과 같은 점화식을 만족한다는 것입니다.

      n^2 l^2 {P_l}^2 - 2nl(l-1)(n P_{l-2} + (l-1) P_{l-1}) P_l + {(l-1)}^2 {((l-1) P_{l-1} - n P_{l-2})}^2 = 0

      그래서, 저는 이 점화식을 검증해 보았습니다.

      먼저, P_l = d_n p_l로 두고 식을 정리하니, p_l도 P_l과 정확히 동일한 점화식을 만족함을 알 수 있었습니다. 무리수인 d_n을 제거했기 때문에, p_l은 언제나 유리수가 되어 p_l을 이용하면 점화식 검증이 좀 더 정밀해진다는 장점이 있습니다.

       

      <1차 시도>

      n=30, l=8을 대입합니다.

      p_8=\frac{7}{250}

      p_7=\frac{3}{14}

      p_6=\frac{81}{500}

      이라는 데이터를 점화식에 대입하면, 좌변이 한 치의 오차도 없이 0이 됨을 알 수 있습니다.

       

      <2차 시도>

      n=50, l=40을 대입합니다.

      이 경우, 값을 유리수로 나타내면 분자, 분모의 값이 너무 커져서, 저는 어쩔 수 없이 근사치(소수점 아래 26번째 자리에서 버림)를 이용했습니다.

      p_{40} \approx 0.0930180955528234136681137

      p_{39} \approx 0.1096216772594511794545495

      p_{38} \approx 0.0002709915378830135998897

      그런데, 이번에는 좌변의 값이 대략 35 정도가 나왔습니다.

       

      이 두 실험 후, 저는 혼란스러웠습니다. 저는 세 가지 가능성이 있다고 생각합니다.

      1. 제가 2차 시도에서 실제 유리수를 사용해 계산을 진행하면 0이 나오거나,

      2. gg님의 점화식에 오류가 있거나,

      3. 점화식이 특정 범위(예를 들어 l < \frac{n}{2})에서만 성립하는 것입니다.

      저는 이 점화식을 이용하면 3번 문제도 풀 수 있을 것 같다는 생각이 조금씩 드는데, 그전에 이 점화식이 확실한지 한번 두드려 보고 싶네요. gg님이나 다른 분들께서 혹시라도 제 실험, 또는 점화식 유도 과정에 오류가 있는지 검토해 주시면 감사하겠습니다.

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    • gg 2019.03.24 18:55:05

      저는 n=50, l=40인 경우를 계산하니 좌변의 값이 거의 0에 가깝게 나옵니다.

      계산 과정에 실수가 있었을 수도 있으므로 한번만 더 계산해주시면 안될까요?

       

       

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    • tommy 2019.03.26 02:12:53

      아아ㅎㅎ 죄송합니다ㅎㅎ 제가 식 계산을 잘못했었네요ㅋㅋ 그냥 n B_l=-(l-1)(B_{l-1}+B_{l-2})을 이용해 검산하면 되는 거였는데 복잡한 마지막 식에 넣느라 계산 실수가 나버렸네요ㅋㅋㅋ

      그렇다면 저는 이제 gg님의 점화식을 바탕으로 하여 3번 문제에 도전해 보겠습니다!

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  • 수학장 2019.03.28 22:11:47

    수학동아에 이지운 교수님이 말씀을 남겨주셨습니다!

    "늘 쉽게 내려고 고민하는데 이번에도 어려운 모양이군요! 친구들에게 두 가지 힌트를 주레요. 우선 \sqrt{P_l}의 점화식을 구해보세요ㅔ. 항 3개의 관계를 나타내는 점화식으로요. 두 번째는 홀수인 경우와 짝수인 경우를 나눠서 생각해 보라는 겁니다. 다들 힘내세요!"

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  • 김우현 기자 2019.04.17 17:56:54

    현재까지 올라온 풀이를 주정훈 멘토가 검토 중입니다!

    조금만 기다려 주세요!smiley

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