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문제

[대한수학회] 대25. 다면체로부터 얻어지는 수열

2018.12.30

같이 풀어볼까?

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다면체(polyhedron)란 3차원 공간상에 있는 유한개의 점의 볼록포(convex hull)로 정의 된다. 가령 3차원 공간상에 네 개의 점이 한 평면 위에 있지 않으면 그 점으로 만들어지는 다면체는 사면체다. 다면체는 고대 그리스 시대부터 매우 중요하게 다뤄져 왔다.

특히 플라톤 철학에서 중요한 역할을 했던 정다면체는 ‘플라톤입방체’라 불렸고, 고대 그리스 지성의 최고의 걸작 중 하나인 ‘에우클레이데스(유클리드)의 원론’의 최종 목표 역시 정다면체가 정확히 다섯 개 뿐이라는 것을 증명하는 것이었다.

다면체에 대한 기하학적 관심은 1700년대 오일러에 이르러서 조합적인 관점으로 확대된다. 오일러는 ‘변(edge)’이라는 개념을 처음으로 고안했고, 점, 변, 면의 개수에 대한 뛰어난 고찰을 하게 된다. 

다면체의 점의 개수를 f_{0}, 변의 개수를 f_{1}, 면의 개수를 f_{2}라 하면, f_{0}-f_{1}+f_{2}=2가 항상 성립하게 되는데 이를 오일러공식(Euler’s formula)이라고 부른다. 이번 문제에서는 다면체로부터 (f_{0}, f_{1}, f_{2})와 같은 조합적인 수열을 찾아보고, 그 수열의 특징을 찾아보려 한다.
 

문제를 다소 간단하게 만들기 위해서 다면체 중에서 모든 면이 삼각형인 다면체만 생각하자. 이런 도형을 단체다면체(simplicial polyhedron)라 부른다. 단체다면체는 다면체 중에서 매우 기본적인 도형이라 할 수 있다. 다면체의 면이 삼각형이 아닌 다른 다각형이 되기 위해서는 여러 개의 점이 한 평면 위에 있어야 한다. 하지만 공간에 있는 점이 아무렇게나 주어져 있다면 대부분의 경우는 한 평면에는 많아야 세 개의 점만이 있을 수 있기에 공간 위에 아무렇게나 뿌려진 점으로부터 만들 수 있는 도형은 대부분 단체다면체라 할 수 있다. 

 

문제 단체다면체의 점의 개수를 f_{0}=m이라 하자. 이때 변, 면의 개수 f_{1}, f_{2}m에 대한 식으로 나타내라.

 

문제 에 의하면 수열 (f_{0}, f_{1}, f_{2})는 단체다면체의 모양에 상관없이 오직 f_{0}에 의해서만 결정되므로 그렇게 재미있다고 할 수 없다. 이제 단체다면체 P로부터 새로운 수열을 만들어 보자. 다면체의 f_{0}=m개의 점 중 j개의 점으로 이루어진 부분집합 T를 생각하고, 단체다면체 P로부터 유도되는 그래프 G_{T}를 생각하자.

T의 두 점이 P에서 변으로 연결돼 있다면 이 두 점은 G_{T}에서도 변으로 연결돼 있다. 이때 G_{T}는 몇 개의 연결된 조각으로 나눠지게 되는데 이 연결성분의 개수를 cc(G_{T})라 하자. 이제 수열 \left \{ b_{j} \right \}를 다음과 같이 정의한다.

b_{j}=\sum_{\left | T \right |=j}\left ( cc\left ( G_{T} \right )-1 \right )=\sum_{\left | T \right |=j}cc\left ( G_{T} \right ) -\binom{m}{j}

일반적으로 j\leq 1 혹은 j\geq m-2인 경우 b_{j}=0이 되므로 \beta \left ( P \right )=\left ( b_{2}, b_{3}, b_{4}, \cdots, b_{m-3} \right )라 하고 이를 P조각수열이라 부르자. 가령 정팔면체의 점의 개수는 6이므로, 정팔면체의 조각수열은 (3, 0)이 된다. 이 조각수열은 그 동안 다룬 적이 없을 것이므로 다소 시간을 들여서라도 이 수열을 잘 이해해 보자. 이 수열에 대해 잘 이해했는지를 확인해 보기 위해 다음을 계산해 보자.

 

문제 2-1 오각쌍뿔의 조각수열은 (6, 5, 0), 육각쌍뿔의 조각수열은 (10, 16, 9, 0)임을 보여라.

 

문제 2-2 정이십면체의 조각수열을 구하라.
 

문제 3 단체다면체 P의 점의 개수가 m일 때, 다음 성질을 만족함을 증명하라.

b_{2} = \frac{\left ( m-4 \right )\left ( m-3 \right )}{2}

문제 3 을 보다 다음과 같이 일반화 할 수 있다.

 

문제 4 단체다면체 P의 점의 개수가 m일 때, m-j> 0인 양수 j에 대해서 다음 성질을 만족함을 증명하라.

b_{j}-b_{m-j} = \frac{\left ( m-2j \right )\left ( m-j-1 \right )}{j}\binom{m-2}{j-2}

조각수열은 좋은 성질 중 하나는 조각수열 \beta \left ( P \right )로부터 P의 점, 변, 면의 수를 모두 알 수 있다는 것이다. 따라서 조각수열은 (f_{0}, f_{1}, f_{2})보다 많은 정보를 가지고 있는 수열이라 할 수 있다. 조각수열은 비교적 최근에 알려진 수열이기 때문에 아직 그 성질이 완전히 알려진 게 아니다. 우리 폴리매스 참가자들이 조각수열의 여러 성질을 찾아 정복하면 어떨까? 

 

추가 문제 어느 수열이 계속 증가하다가 어느 시점부터는 감소하는 수열을 유니모달(unimodal) 수열이라 부른다. 단체다면체의 조각수열이 유니모달임을 증명 혹은 반증하라.

댓글 15

  • math 2019.01.01 13:41:09

    문제1

    단체다면체의 점의 개수를  f_{0}=m이고, 변의 개수와 면의 개수의 관계는 단체다면체에서는 모든 면이 삼각형이므로, 면의 개수에 3을 곱한뒤, 한 변에 두 면이 맞닿아 있으므로 2로 나누면 변의 개수가 되므로, 식으로 나타내면f_{1}=\frac{3}{2}f_{2}라는 등식이 성립하고, 이 값을 f_{0}-f_{1}+f_{2}=2에 대입을 하면, m-\frac{3}{2}f_{2}+f_{2}=2, m-\frac{1}{2}f_{2}=2, f_{2}=2m-4, f_{1}=3m-6이다.

    \therefore f_{0}=m, f_{1}=3m-6, f_{2}=2m-4

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    • 김우현 기자 2019.01.07 09:58:40

      주정훈 멘토가 확인한 결과, 특별한 오류가 없다고 해요!
      아래 2-1번 문제의 검토가 끝나면 최종 확인을 요청할게요.laugh

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  • EulerD 2019.01.01 20:32:21

    1,2 번은 너무 쉬우니 3번부터 하겠습니다.

     

    그래프에서 degree를 생각하면, 간단하게 풀 수 있습니다.

     

    b_{2}는 단체다면체의 두 꼭짓점을 선택했을 때 이웃하지 않은 경우 ( = 연결 성분이 2개) 를 Counting합니다.

    그러면, \frac { \sum_{v\in V}^{ } (m-1-d(v)) }{2}을 계산하면 되겠습니다.

    이때, 변의 개수 lEl은 3m-6이므로, Handshaking Lemma에 의해서,

    \sum_{v \in V}^{ } d(v) = 2 \left | E \right |   ,

    즉, b_2 = \frac{m(m-1)-2(3m-6)}{2}=\frac{m^2-7m+12}{2}=\frac{(m-3)(m-4)}{2}

     

    증명 완료

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    • 김우현 기자 2019.01.07 10:00:22

      EulerD 친구의 풀이 역시 특별한 오류가 없다고 해요!
      아래 2-1번 문제의 검토가 끝나면 최종 확인을 요청할게요.laugh​​​​​​​

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  • 여백 패르마 2019.01.03 11:35:31

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    • 여백 패르마 2019.01.03 11:35:53

      2.1풀이입니다.

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    • 인천 오일러 2019.01.03 16:45:31

       오각쌍뿔의 d_2를 구할 때 하나하나 확인하는 것 보다 가운데 오각형의 대각선 개수 \frac{5\times 2}{2}와 A_1 ~ A_2 1개를 합쳐 6개라 해도 간단하지 않나요?

      d_3도 A_1 ~ A_2중 하나라도 포함되면 안 되고, 오각형에서 이웃한 두 점을 고르고 그 두 점과 연결되지 않은 1점을 골라야 하니 변의 개수인 5개라 쉽게 구할 수 있을 것 같아요.

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    • 인천 오일러 2019.01.03 17:03:06

      그리고 이런 방식으로 하면 n각쌍뿔의 조각수열을 일반화 할 수 있을 것 같아요. \beta (P)=\left \{ 1+\frac{n(n-3)}{2} ,n(n-4) +( \frac{n(n-1)(n-2)}{6}-n(n-3) )\times 2.. \right \} 이런 식으로요. 

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  • 김우현 기자 2019.01.07 09:36:19

    주정훈 멘토가 소문제 2-1번 여백 패르마 친구의 풀이를 검토하는 중!

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  • 김우현 기자 2019.01.07 09:38:39

    문제에는 없지만, 인천 오일러 친구가 구한 n각쌍뿔의 조각수열을 구하는 식도 함께 검토 중이에요!smiley

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    • 여백 패르마 2019.01.08 15:52:23

      음...근데 n-각쌍뿔의 조각수열 공식 틀린 것 같은 듯... 그렇게 간단하게 일반화가 되는 것이 아닐 텐데...

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  • Gauss_J 2019.01.07 20:43:17

    4번이 옳다고 가정하면 추가문제에 돌파구가 생기지 않을까요?

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    • EulerD 2019.01.12 18:16:21

      근데 실제로 Unimodal임을 확인하려면,b_{i}-b_{i+1}을 고려해야해요..

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  • 신월초 송수진 2019.01.10 21:43:32

    f_{0}=m

    f_{1}=3m-6f_{2}=2m-4

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  • EulerD 2019.01.12 18:17:19

    문제 자체에서 Double Counting의 느낌은 나는데..

    4번은 조금 어렵네요..

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