주메뉴바로가기.. 본문바로가기

Problems

폴리매스 문제 보기

문제

[국가수리과학연구소] 국10. 몇 개나 들어갈까?

2017.09.30

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 10월 문제입니다.

 

질문 1. 변의 길이가 1인 정육면체 안에 변의 길이가 1인 정사면체를 몇 개나 넣을 수 있을까? 이때 면이나 변이 닿는 경우를 허용한다.

 

질문 2. 변의 길이가 1인 정팔면체 안에 변의 길이가 1인 정사면체를 몇 개나 넣을 수 있을까? 넣을 수 있는 최대의 수와 넣을 수 없는 최소의 수를 같이 연구해보자.


 

출제자의 노트: 1번의 경우에는 답이 있습니다. 2번은 저도 완전한 답을 모르는데, 출제 뒤에 여러분과 같이 풀어볼 생각입니다.

 

알립니다

10월 19일 현재, 질문 2가 구머 님에 의해 풀린 것으로 확인했습니다. 

질문 2를 푼 방법은 구머 님의 16일 댓글과 18일 대댓글을 참고해 주세요.

또 알립니다

11월 3일 현재, 질문 1이 구머 님과 c언어 님에 의해 풀렸습니다. 

이로써 이 문제도 모두 해결~!

 

구머 님과 c언어 님은

비밀댓글 또는 수학동아 이메일(math@dongascience.com)

연락처를 남겨주세요. 수학동아가 기다립니다~!

댓글 38

  • 여백 패르마 2017.09.30 20:52:21

    1번의 답은 1부터 3의 수입니다.

    좋아요0 댓글수1
    • 구머 2017.09.30 21:43:32

      3이 된다고요...?

      좋아요0
  • shine 2017.10.01 09:20:24

    아마 부피비로 범위를 그렇게 잡으신 것 같습니다.

    좋아요0 댓글수0
  • 빌 힉스 2017.10.01 11:25:06

    부피로만 따지면 정육면체는 1, 정사면체는 \frac{\sqrt{2}}{12}이라서...

    1개에서 8개 사이라는 터무니없는 범위가 나오네요...

    좋아요0 댓글수0
  • 구머 2017.10.01 14:41:57

    일단 1번은 1,2개는 되는 경우가 있고, 3은 없는 것 같은데 확실한 증명은 아직 못하겠네요.

    좋아요0 댓글수0
  • 여백 패르마 2017.10.04 20:35:04

    2번에서 부피 계산 해보면  루트 2와 1/8의 비로 약 11개 나오는 것 같은 데요.....

    좋아요0 댓글수1
    • 김채현 2017.10.04 21:53:56

      2번에서 부피 계산하면 정팔면체는 3분의 루트 2, 정사면체는 12분의 루트 2라서 정확히 4배가 되지 않나요?

      다 채우는 것은 불가능하니 답은.. 1부터 3 사이가 아닐까 싶네요.

      좋아요0
  • 다크초코 2017.10.11 22:16:56

    증명은 못하겠지만 1번 답은 1, 2번 답은 2같아요.

    좋아요0 댓글수2
    • 구머 2017.10.11 22:24:57

      ㄴㄴ1번 2개까지 들어갑니다.

      좋아요0
    • 빌 힉스 2017.10.14 16:17:12

      2번답이 2개라는 결론은 어떻게 내리셨나요?

      좋아요0
  • 다크초코 2017.10.13 21:48:49

    진짜요?

    좋아요0 댓글수0
  • 다크초코 2017.10.13 22:00:14

    한 개가 들어가면 높이가 2분의 루트 

    3이 남는 부분이 없는데요.....?

    좋아요0 댓글수1
    • 구머 2017.10.14 00:54:52

      음..우선 저는 정사면체 높이가 \frac{\sqrt{6}}{3}인걸로 아는데.. 또 정육면체 양끝 꼭짓점 사이의 거리가 루트 3이라서 \frac{\sqrt{6}}{3}X2보다 크기 때문에 2개를 넣을 수 있습니다.

      좋아요0
  • 다크초코 2017.10.14 08:52:54

    죄송합니다. 그렇지만 정육면체의 양 끝 꼭짓점 사이의 거리가 루트 3이라도 정사면체가 들어가지 않기 때문에 1개만 들어갑니다.

    좋아요0 댓글수0
  • 구머 2017.10.14 17:22:28

    요렇게 2개(살짝 과장해서 그렸어요)

    좋아요0 댓글수1
    • 다크초코 2017.10.14 20:23:19

      아하 그렇군요.

      좋아요0
  • 다크초코 2017.10.15 17:29:24

    아무래도 2번의 답은 1개 인가 봐요. 정사면체의 높이는 3분의 루트 6인데, 이 정팔면체의 높이는 루트 2니까 말이에요. 루트 2가 3분의 루트6*2보다 크니까요.

    좋아요0 댓글수0
  • 구머 2017.10.15 18:35:49

    2번 아이디어: 정팔면체 안에 어떻게 정사면체를 넣어도 정팔면체의 무게중심을 꼭 지난다. 를 보이면 정팔면체에 정사면체를 한 개밖에 못 넣는다 라는 사실이 증명될 것 같습니다. 아직 충분히 실험을 안 해봐서 2개를 넣을 수 있는 방법을 못 찾았는데 혹시 그런 방법이 있다면 알려주세요~

    좋아요0 댓글수1
    • 디듀우 2017.10.15 20:45:03

      정삼각형의 높이가 정사가뿔보다 높지 않나요?

      좋아요0
  • 다크초코 2017.10.15 21:25:34

    무게중심을 지날 것 같습니다. 왜냐하면 제가 앞에서 말했듯이 정사면체의 높이가 정팔면체를 반으로 나눈 정사각뿔보다 더 높기 때문입니다.

    좋아요0 댓글수0
  • 다크초코 2017.10.15 21:26:23

    안 그런가요?

    좋아요0 댓글수0
  • 구머 2017.10.16 23:50:26

    3-2

     lemma) 어떤 점이 위 정사면체(한 변의 길이가 1)의 바깥쪽에 있다면, 그 점과 4개의 점들 사이의 거리 중 적어도 1개는 \frac{\sqrt{6}}{3} 이상이다.

    pf) WLOG 어떤 점 P가 삼각형 BCD 아래쪽에 있다고 가정하자. 이때, 삼각형 BCD의 무게중심을 G라 하고, G를 원점으로 하고 xy축이 삼각형 BCD를 포함하는 평면 위에 있으며 z축이 \bar{GA}인 좌표평면을 생각하자. 이때, P의 좌표는 (x1,y1,z1)이고, z1은 0보다 작다.(\becauseP가 삼각형 BCD의 아래쪽에 있으므로) 이때 \bar{PA}=\sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+(-z_{1}+\frac{\sqrt{6}}{3}})^2 이고, 이 값은 \frac{\sqrt{6}}{3} 이상이다.

     

    본 문제) 정팔면체에 정사면체를 어떻게 넣어도 정팔면체의 무게중심을 지남을 보이자.

    pf) 무게중심을 지나지 않게 정사면체를 넣을 수 있다고 가정하자. 이때, Lemma)에 의해 무게중심과 거리가 \frac{\sqrt{6}}{3} 이상인 점이 존재해야 하는데, 그런 점은 정팔면체 안에 없으므로 모순이다.(이 부분을 엄밀하게 증명하라고 요청하신다면 증명을 하겠지만, 귀찮기 때문에  거의 당연한 사실인 것 같아서 여기에 증명을 넣지는 않았습니다) 

    따라서 어떻게 정사면체를 넣어도 무게중심을 지나고, 따라서 만약 2개 이상을 넣을려면 두 정사면체가 무조건 겹치게 되므로 정팔면체에는 오직 1개의 정사면체밖에 넣지 못한다.

    좋아요0 댓글수3
    • 수학동아 2017.10.17 20:37:33

      안녕하세요, 구머 님! 
      출제자가 구머 님이 생략하신 부분, 즉 무게중심과 거리가 \frac{\sqrt{6}}{3} 이상인 점이 정팔면체 안에 없는 이유를 적어주셔야 한다고 전했습니다. 귀찮아도(!) 끝까지 증명 완료해 주세요yes

      좋아요0
    • 구머 2017.10.18 00:04:44

      이 정팔면체의 중심을 G라 하고, 한 변의 길이를 1이라 합시다. 이때, 중심과 거리가 \frac{\sqrt{6}}{3} 이상인 점이 정팔면체 안에 있다고 가정하고, 그 점을 P라고 하자. 이때, 선분 GP를 P쪽으로 연장해서 정팔면체와 만나는 점을 Q라 하고, WLOG Q가 삼각형 ABE위에 있다고 하자. 이때, 선분 GP보다 GQ가 더 길기 때문에, 선분 GQ는  \frac{\sqrt{6}}{3} 이상이다. 이제 G에서 삼각형 ABE 위에 내린 수선의 발을 H라 하면, \bar{GQ}=\sqrt{\bar{GH}^2+\bar{HQ}^2}가 성립한다. 그런데 GH는 고정된 값이므로, 선분 HQ가 최대가 되면 선분 GQ도 최대가 된다. 그런데 H는 삼각형 ABE의 외심이므로, 선분 HQ는 Q=A일 때 최댓값을 갖고, 즉 선분 GQ의 길이의 최댓값은 GA의 길이와 같다. 그런데 우리는 GA=\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{6}}{3}임을 알고 있고, 따라서 \bar{GP}\leq \bar{GQ}\leq \bar{GA}< \frac{\sqrt{6}}{3} 가 성립한다. 이는 GP가  \frac{\sqrt{6}}{3} 이상이라는 가정에 모순이므로, 무게중심과의 거리가  \frac{\sqrt{6}}{3} 이상인 점은 정팔면체 안에 없다.

      좋아요0
    • 수학동아 2017.10.19 13:48:11

      구머 님, 질문 2를 잘 푸셨습니다^^ 이제 질문 1만 풀면 10번 문제도 완벽 해결이네요! 

      좋아요0
  • 구머 2017.10.26 19:02:11

    에잇..큰 성과가 없네요 우선 다음 그림은 3개를 넣는 경우입니다. https://math.stackexchange.com/questions/1669559/tetrahedron-packing-in-cube 풀이가 적힌 사이트입니다 개선하는 것 좀 도와주세요!

    A tales of three tetrahedra

    좋아요0 댓글수1
    • 구머 2017.10.26 23:54:43

      보완할 점: 1. 두 정사면체에 대해, 거리가 \frac{2\sqrt{6}}{3} 이상인 두 점이 존재한다.(해결)

                    2. 위 풀이에는 모서리가 꼭짓점에 가깝기 때문에 꼭짓점에 두 모서리가 들어갈 수 없다고 했는데, 이 부분을 좀 더 엄밀하게 다루고 싶습니다.(미해결)

      좋아요0
  • c언어 2017.10.28 13:55:13

    구머님이 말한 사이트의 내용을 해석해 본다면 

    1. 두 정사면체에서 각각 한점을 뽑았을때 그 거리가\frac{\sqrt{6}}{3}이상이 되는 두점이 존재한다.

    2. \frac{\sqrt{6}}{3}의 길이는 정육면체의 대각선 길이\sqrt{3}과 매우 비슷하다.

    3. 2.에서의 내용으로 두 정사면체의 한 쌍은 정육면체의 대간선과 "일대일"대응을 시킬 수 있다.

    4. n개의 정사면체가 있을때 쌍을 이루는 2개의 정사면체를 뽑는 가짓수는 \frac{n(n-1)}{2}이고 정육면체 대각선의 개수는 4개로 다음의 부등식이 성립한다.

    \frac{n(n-1)}{2}\leq 4그러므로 n은 3이하인데 3인 경우는 가능하므로 정육면체에 정사면체는 최대 3개가 들어갈 수 있다.

     

    라는 내용인데 1번은 구머님이 증명하신 것  같고 3번내용에서 엄밀한 증명이 필요 한 것 같습니다.

    좋아요0 댓글수2
    • 구머 2017.10.28 15:06:43

      흠 정확하게는 계산 안해봤는데 대충 풀린 것 같아요.

      좋아요0
    • c언어 2017.10.29 00:04:51

      1번은 구머님에 해결하신 것 같고 3번을 보겠습니다.

       만약 정사면체의 가장 긴변이 정육면체와 일대일 대응이 되지 않고 1개의 대각선에 정사면체의 긴 변이 2개 존재한다고 하자. 그러면 1개의 정사면체의 반대쪽에 2개의 정사면체가 있는 꼴이 된다.

      아래 그림에서 G쪽에 정사면체가 1개 있고 A쪽에 정사면체가 2개 있어야 한다. 만약 다른 2개의 정사면체가 A를 제외한 B,C,D,E,F,H쪽에 있는다면 G쪽에 있는 정사면체와의 거리가 \sqrt{2}, 1이 되기 때문에 1번에 의해서 불가능 하다. A쪽에 2개의 정사면체가 있게 되는데 최대의 길이로 점 A에2개의 정사면체가 있다고 하자. 변AP의 길이가 1이되는 변AF위의 점 P를 잡는다고 하자.

      A쪽에 있는 두 정사면체의 최대 길이는 D점과 P점 사이의 거리라고 할 수 있는데 이 거리는 \sqrt{2}이므로 두 정사면체 사이에 길이가 2\sqrt{\frac{2}{3}}이상이 되는 두 점이 존재하지 않게 된다. 이는 1번에 대하여 모순이니 한 대각선이 2개의 정사면체의 긴변과 존재하는 일은 없다는 것을 뜻하니 정육면체 1개의 대각선과 2개의 정사면체는 일대일 대응으로 정사면체는 최대 3개가 된다.

       

      좋아요0
  • 구머 2017.10.28 18:34:31

    질문 1 : Lemma 1) 정사면체 2개가 있으면 두 정사면체 안에 있는 두 점 중 거리가 \frac{2\sqrt{6}}{3} 이상인 두 점이 존재한다.

    증명) 두 정사면체를 가로지르는 평면이 존재하므로, 그 평면을 xy평면이라고 하면, 무게중심의 z좌표는 WLOG \frac{\sqrt{6}}{12} 이상이다. 그런데 무게중심은 정사면체의 네 꼭짓점의 좌표의 평균이고 네 꼭짓점의 Z 좌표는 0보다 크므로 네 꼭짓점 중 z좌표가 \frac{\sqrt{6}}{3}이상인 점이 존재, 이는 반대쪽의 다른 정사면체와 마찬가지이므로  거리가 \frac{2\sqrt{6}}{3}이상인 두 점이 존재.><

     

    Lemma 2) 왼쪽 그림에 대한 설명: A를 중심으로 반지름이 \frac{2\sqrt{6}}{3}인 구를 그려서 정육면체의 변과 만나는 점을 P,Q,R이라 하고, 곡면(?) PRQ는 구면의 일부이다. 피타고라스의 정리를 통해 \bar{PH}=\frac{\sqrt{6}}{3} 임을 알 수 있다. (R, Q쪽도 마찬가지) 또, 구는 볼록하기 때문에 지금 그림에서 색칠한 부분은 사면체 PQR-G에 포함된다.

    오른쪽 그림에 대한 설명: 왼쪽 그림의 P,Q,R,G 사면체를 모든 모서리에 적용함. 이때, 8개의 사면체의 이름을 각 사면체가 포함한 꼭짓점의 이름으로 정하자.(예를 들자면, A를 포함한 사면체는 A-사면체)

    이때, 정육면체에 정사면체 2개를 넣으면 두개의 점은 A,G-사면체 or B,H-사면체 or C,E-사면체 or, D,F-사면체에 각각 하나씩 들어간다.

    pf) (귀류법) 두 점중 적어도 하나의 점 M이 위 8개의 구역에 들어가지 않게 정사면체를 넣을 수 있다고 가정하자. 이때, Lemma 1에 의해 정사면체 2개가 있으면 거리가 \frac{2\sqrt{6}}{3}이상인 두 점이 존재한다. 그 두점을 이은 선분을 l=\vec{MN}이라고 하자. 또, G를 원점, \vec{GH}를 x축, \vec{GF}를 y축, \vec{GC}를 z축이라고 하면, WLOG M이 N보다 x,y,z 좌표가 작다고 할 수 있다. 

    그런데 N의 x,y,z 좌표는 전부 A보다 작기 때문에, 피타고라스 정리에 의해 \vec{MA}는 \frac{2\sqrt{6}}{3}보다 길이가 크다. 그런데 \vec{MA}가 \frac{2\sqrt{6}}{3}보다 길기 위해서는 A가 G-사면체에 있어야 하는데, 이는 가정에 의해 모순이다. 따라서 두 점은 8개의 구역 중 하나에 들어가고, 만약 한 점이 G사면체에 들어갔다고 가정하면, 거리가 \frac{2\sqrt{6}}{3}이상이 되려면 다른 점은 A사면체에 들어가야먄 한다.><

     

    Lemma 3) 두 개의 정사면체는 하나의 구역에 들어갈 수 없다. (Lemma 2에서 쓴 그림을 그대로 사용합시다.)

    pf) (귀류법) WLOG G-사면체에 두개의 정사면체가 들어간다고 하자.(즉, 두 꼭짓점이 들어간다고 하자) 이때, 그 두 정사면체의 꼭짓점들은 전부 G구역과의 거리가 1 이하이다. 그런데 G구역 내에서 G와 가장 멀리 떨어져있는 점이 P, Q, R이고, \bar{GP}=1-\frac{\sqrt{6}}{3}이므로, 삼각부등식에 의해 두 정사면체의 꼭짓점들은 G와의 거리가 2-\frac{\sqrt{6}}{3}이하이다. 즉, G를 중심으로 반지름이 2-\frac{\sqrt{6}}{3}인 구를 그렸을 때, 두 정사면체의 꼭짓점들은 전부 그 구 안에 들어간다. 그런데 그 구가 포함하는 사면체(또는 사면체의 일부)는 G,C,H,F-사면체밖에 없고, 이는 Lemma 2)에 의해 모순이다.><

     

    본문제 증명) 우선 위 댓글에 언급했듯이 3개의 정사면체는 넣는 게 가능하다. 이제 만약 4개 이상의 정사면체가 들어간다고 가정하면, 임의의 두 정사면체를 잡을 때, Lemma 2)에 의해 A-G, B-H, C-E, D-F 사면체 순서쌍 중 하나를 차지(?)하게 되고, Lemma 3)에 의해 한 순서쌍을 차지하는 두 정사면체의 쌍은 유일하다. 그런데 4C2=6이므로 4보다 크기 때문에, Lemma 2와 3에 의해 모순이다. 따라서 한 변의 길이가 1인 정육면체에는 최대 3개의 한 변의 길이가 1인 정사면체만을 넣을 수 있다. ><

     

    좋아요1 댓글수3
    • 구머 2017.10.28 18:34:58

      나중에 수정하겠습니다

       

      좋아요0
    • 구머 2017.10.30 01:14:39

      생각보다 풀이가 길어졌네요! c언어님 도움 감사드립니다!

      좋아요0
    • 수학동아 2017.11.03 11:13:41

      축하합니다! 구머 님과 c언어 님이 질문 1을 푸셨습니다. 이로써 국가수리과학연구소의 10번째 문제도 완벽 해결! 

      좋아요1
  • 여백 패르마 2017.11.03 15:01:21

    구머님   완전 천재이시네요....

    좋아요0 댓글수1
    • 구머 2017.11.03 18:31:04

      ㅋㅋ 과찬이십니다 1번은 제가 했다기 보단 위 사이트랑 c언어님이 거의 다 한거라..

      좋아요0
  • 구머 2017.11.03 16:18:06 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수0