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문제

[국가수리과학연구소] 국9. 꽃밭을 나누는 방법

2017.08.31

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 아홉 번째 문제입니다 

 

핑순이와 핑돌이는 직사각형 모양의 꽃밭 하나를 공유하고 있다. 꽃밭에는 로즈마리와 라벤더가 각각 짝수 개씩 피어있다.

 

  

ⒸGettyImagesBank

원래 두 사람이 함께 꽃밭을 가꿨지만, 꽃이 자라면서 역할을 반씩 분담해 꽃밭을 정기적으로 관리하기로 결정했다. 반반씩 역할을 나누기 위해 가장 먼저 할 일은 로즈마리와 라벤더의 수가 정확히 반씩 나눠질 수 있게 꽃밭에 일직선으로 울타리를 짓는 것이다. 이를테면 위의 꽃밭에는 아래와 같이 울타리를 지을 수 있다. 

 

ⒸGettyImagesBank

꽃밭의 위쪽 부분에도, 아래쪽 부분에도 로즈마리 3송이, 라벤더 2송이가 있음을 확인할 수 있다. 이 꽃밭에 울타리를 두는 방법은 이 밖에도 여러 가지다.

 

<문제>

핑순이와 핑돌이는 짝수 송이만큼 핀 로즈마리와 라벤더의 배치가 어떻든 상관없이 꽃밭에 일직선으로 울타리를 지어서 로즈마리와 라벤더가 각각 정확히 반씩 나눠지게 할 수 있을까? 만약 그렇다면, 왜 그럴까? 이때 세 꽃이 일직선 위에 있지는 않다고 가정한다.

댓글 12

  • 고은영 기자 2017.08.31 18:03:19

    이제부터는 댓글에 파일을 첨부할 수 있어요! 

    좋아요0 댓글수0
  • 수돌이 2017.08.31 20:13:01 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수1
    • 구머 2017.08.31 21:13:49

      이분..벌써 푼것 같아요..이제 문제 읽는데...

      좋아요0
  • 수돌이 2017.08.31 20:32:05 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수1
    • 여백 패르마 2017.09.02 20:43:18

      지금 막 질문 읽어서 풀기도 전에 님께서 풀어버리셨네요.. 그래도 안 푼 다른 사람도 배려하는 님은 센스 있으시네요...

       

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  • 제네릭 2017.09.12 21:33:02

    혹시 이렇게 접근해볼수 있지 않을까요?

    라벤더와 로즈마리를 각각 색깔이 다른 2n 개의 점으로 표현한다고 하면, 다음과 같은 조건에 따라 일종의 다각형으로 생각해보는겁니다.

    어차피 문제는 '배치가 어떻든 상관없이 일직선으로 울타리를 그어 로즈마리와 라벤더가 정확히 반씩 나눠지게 할 수 있는가? ', 즉 하나 이상의 해법이 있음을 보이면 되니까요.

     

    제가 생각해본 조건은 다음과 같습니다.

    - 각 색깔이 같은 점을 이어 닫힌 도형을 만들 때, 도형의 외부에 어떠한 한 점이라도 남아서는 안된다.

    - 닫힌 도형에 있는 점을 n개씩 잇는 대신, 점과 점 사이를 잇는 선분끼리는 교차해서는 안된다.

    - 도형 바깥에는 점과 점 사이를 잇는 선분을 그리면 안된다.

     

    쉽게 그림으로 예시를 든다면, 이렇게 되겠네요. 파란 점을 조건에 맞춰 그린 예시입니다.

    그리고, 이 다각형에서, 최대한 많이 점과 점 사이의 연결이 이루어질 수 있는 점을 찾습니다. 이 점은 여러개일 수 있습니다.

    쉽게 말해, '점과 점 사이를 잇는 선', 조건에 맞추어 대각선을 가장 많이 그릴 수 있는 점을 찾는 것입니다.

    이 부분이 일반적인 증명이 필요한지, 아니면 일일이 대조해서 찾아봐야하는지가 좀 걱정인데, 혹시 필요하다면 말씀해주세요. 능력은 없지만 해보겠습니다.

     

    저 점은 일단은 일일히 비교해서 찾아본겁니다. 이제 선을 그려보도록 합시다. 아래의 그림은 많은 경우 중 하나에 불과합니다.

    이렇게 그리면 n개씩 나눌 수 있는 울타리를 그을 수 있는 영역이 나오게 됩니다.

    저는 여기서부터 규칙을 찾지 못해서, 일단 영역(주황색 색칠) 중 하나를 구한 그림만 올려놓으려고 합니다.. 실력이 없는 관계로 아이디어밖에 제시를 못하겠네요.. ㄷㄷ;

    다른 꽃에 대해서도 같은 과정을 반복하며, 울타리를 그을 수 있는 공통적인 영역이 항상 존재함을 보이면 됩니다.

    그런데 이걸 증명 못하겠네요.. ㅜㅜ;

     

    이것보다 더 좋은 아이디어가 있으면 알려주셨으면 좋겠습니다.

    아니면 더 좋게 만들어주셨으면 감사하겠습니다.

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  • 여백 패르마 2017.09.30 20:46:16

    수돌이님 께서 풀으셨는데 왜 해결사인이 없죠?

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    • 고은영 기자 2017.10.17 21:03:45

      수정했습니다. 감사합니다:) 

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  • 수학동아 2017.10.17 21:02:44

    수돌이 님이 이 문제를 푼 방법을 공개합니다. 출제자도 잘 푼 답안이라고 전했습니다. 다른 분들이 문제를 풀어볼 수 있게 배려해 준 수돌이 님께 감사드립니다. 

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    • 구머 2017.10.17 23:41:51

      아놔.. 저 알고리즘과 시계 방향으로 돌리는 것까진 했는데 180도 돌리면 빨간 선이 파란 선이 반대 방향으로 간다는 것까지 미치지는 못했군...

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  • Mathlinker 2018.06.21 21:53:24

    안녕하세요, Mathlinkers입니다.

    위에 풀이를 이해하는 과정에서 화살표의 방향을 바꾸는 방식으로 180도를 회전시키게 된다면 왼쪽과 오른쪽에 있어야 할 점의 수가 맞지 않아 이해하는데 어려움이 있었습니다.

    "i가 180도 돌아갔을 때, 아래 그림과 같이 m이 직선 k의 왼쪽으로 d만큼 떨어져 있게 되고" 부분에서 이러한 i의 존재성에 대한 증명이 필요할 것이라고 생각합니다.

    도움을 주실 수 있을까요?

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    • 출제자 2018.06.24 16:13:12

      Mathlinker님,

      말씀하신 대로 점의 개수가 잘 맞지 않네요. j를 움직일 때 두 직선 m과 k를 정확히 r+1번째 (또는 b+1번째) 점을 지나게 하는 게 아니라, r과  r+1번째 (b와 b+1번째) 점 사이를 지나도록 연속적으로 잡으면 될 거 같습니다. 대신, j를 회전하다가 m 또는 k를 정의할 수 없는 경우 (r과 r+1번째 빨간 점 또는 b와 b+1번째 파란 점을 이은 선이 j와 평행할 때) 는 r과 r+1번째 빨간점 (또는 파란점) 을 이은 선분을 j로 잡아 연속성이 깨지지 않도록 하면 될 것 같습니다. 설명이 부족한 거 같은데 궁금한 게 있으시면 다시 질문해주세요.

      이와 별개로, 원래 풀이는 이렇게 합니다: j를 총 2r+2b개 점을 반으로 가르는 선분으로 아무거나 잡습니다. 이때 j의 왼쪽 방향에 있는 빨간색 점의 개수 빼기 오른쪽 방향에 있는 빨간색 점을 v라고 합시다. 그리고 j를 회전하는데, 만약 j가 더 이상 회전을 하지 못하면 j의 양쪽 끝에서 걸리는 점이 하나씩 있을 것입니다. 이 점 두개를 서로 반대되는 영역으로 동시에 넘겨주면, j는 회전하고 v의 값은 점을 넘기는 방식 때문에 많아야 원래 값과 1 차이가 납니다. j를 180도 회전하면 v의 값이 -v가 되고, v의 값이 딱 1씩 바뀌므로 어떤 지점에서 v의 값은 0이 될 것이고, 그때 잡은 j가 우리가 원하는 직선이 됩니다.

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