주메뉴바로가기.. 본문바로가기

Problems

폴리매스 문제 보기

문제

[국가수리과학연구소] 국6. 레오나르도 돔 짓기(문제를 수정했어요)

2017.06.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

레오나르도 돔 짓기 동영상을 보고 싶다면 여기로 GO! 

레오나르도 돔 동영상 바로가기

 

국가수리과학연구소의 폴리매스 여섯 번째 문제입니다. 

 

천재적인 예술가이자 발명가인 레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519)가 디자인한 ‘돔’이 있습니다. 다 빈치는 생전에 똑같이 생긴 나무 막대만 엮어서 만들 수 있는 돔을 스케치했어요. 막대는 접착제나 노끈으로 붙이지 않아도 중력에 의해 서로 얽힌 모습을 유지합니다. 물론 이 돔을 아주 크게 만들려면 중력만으로는 부족하겠지만요. 무척 안정적인 구조입니다.

 

스페인 수학박물관 MMACA에서 재현한 레오나르도 돔.

 

“위, 아래 규칙이 핵심”

MMACA는 다양한 돔 구조를 만들 수 있는 방법에 대해서도 소개했습니다. 아래 그림 속 직선은 모두 돔을 이루는 막대를 나타냅니다. 막대끼리 엇갈리는 부분은 ‘막대가 서로 연결된 지점’입니다. 모든 패턴은 규칙적입니다.

막대를 엇갈리게 연결하는 방법에 대해 좀 더 자세히 소개하겠습니다. MMACA가 준비한 그림에서 패턴은 쉽게 알 수 있지만 연결된 두 막대 가운데 어느 것이 위 또는 아래에 있는지는 알 수 없습니다. 이를 정하려면 제가 ‘위-아래-아래-위’ 규칙이라고 부르는 규칙만 기억하면 됩니다. 세 가지 규칙만 지키면 막대를 연결해 패턴을 만들 때 막대의 위-아래를 정할 수 있습니다. 과정이 손에 익으면 돔의 전체적인 모양도 어렵지 않게 만들 수 있고요.

 

위-아래-아래-위

1. 모든 막대는 다른 막대 4개와 연결돼 있어야 한다.

2. 막대의 바깥쪽 연결지점(1번째, 4번째)은

다른 막대의 안쪽 연결지점(2번째, 3번째)과 이어져야 한다.

3. 두 막대가 만나면 바깥쪽 연결지점이 항상 위로 간다.

 

MMACA

 

“평면 대신 돔이 되는 이유”

막대를 위-아래로 쌓으면 왜 평면이 아니라 돔을 이룰까요? 만약 홈이 막대 중간까지 파였다면 막대를 엮었을 때 어느 것도 위나 아래에 있지 않고 평면을 이룰 겁니다. 하지만 실제 막대의 홈은 그렇게 깊게 파이지 않았습니다. 그래서 막대 두 개만 엮어도 위-아래가 생깁니다. 위-아래가 생기면 생기는 대로 막대를 엮어나가다 보면 전체적인 모양이 기울어지고,점점 돔처럼 둥글게 됩니다.

 

다섯 번째 패턴으로 돔의 일부를 만들어 봤어요. 레오나르도 돔 체험키트는 막대끼리 잘 얽기 위해 막대 중간에 작은 홈을 파 놓았습니다. 홈은 막대기의 절반보다 짧은 깊이이고, 서로 얽었을 때 아래에 있는 막대가 아래로 오게 돼 있습니다.

 

드디어 문제 나갑니다!

 

1. MMACA가 소개한 11가지 패턴 중 하나를 골라서 아래와 같은 막대로 돔을 만든다고 가정합시다. 초록색 원기둥 막대끼리 빨간색 점이 찍힌 부분마다 엮거나, 파란색 막대끼리 노란색 홈에 끼워 돔을 만드는 겁니다. 이때 a, b, h를 써서 돔의 반지름을 계산하는 식을 만들어 보세요. 막대에 파인 노란 홈의 너비는 0이라고 가정합니다.

▲ a, b, a 순서대로 연결부분 4개 또는 홈 4개 사이의 거리.

▲ h 막대 두께의 절반 또는 홈의 시작점과 막대 중심 사이의 거리.

 

2. 반지름을 근사하는 식을 만들어 보세요. 여기서는 h가 충분히 작고, ab의 길이는 비슷하다(\frac{1}{3}< \frac{a}{b}< 3)고 가정합니다. 1의 식을 바탕으로 해도 되고, 그렇지 않아도 됩니다. 어떤 패턴에서든 올바른 근사식은 (ab에 대한 식)\times(h^{c}) 꼴로 나올 것입니다. c의 값은 얼마인가요?

 

3. 돔을 반구모양까지 만드는 데 드는 막대기의 개수를 어림하는 식을 세워 보세요. 2번 문제의 근사식을 이용할 수도 있습니다.

 

<1번 문제를 다음과 같이 수정합니다>

1. 연구소에서 구입한 소형 막대(a=b=4cm, h=0.2cm)와 사진에 보이는 MMACA의 거대 막대 (a=b=14cm, h=4.5cm) 크기에 대해, 패턴을 하나 정해서 만들었을 때의 돔의 반지름을 계산해 보세요. 막대에 파인 노란 홈의 너비는 0이라고 가정합니다.

 

smiley 출제자의 한마디 

이번 문제에 정확한 답이 있지는 않습니다. 레오나르도 돔으로 모든 곳이 완벽히 대칭인 반구를 만드는 것은 불가능하고, 막대들이 이루는 각도와 모양은 위치마다 약간 차이가 있겠지요.

따라서 100% 엄밀하게 수학적으로 접근하기보다는 배치에 대해서 약간의 가정을 하거나 작은 부분만을 살펴보고, 전체에 대해서는 대략적인 추정이 필요할 것입니다. 모형을 세워서 현실 문제를 풀어 보는 신선한 경험을 하는 기회가 되길 바랍니다.

 

yes 도전!

 

댓글 4

  • c언어 2017.06.16 22:05:19

    홈이 딱 맞추어서 들어가는 거면 해석기하 형식으로 3차원 좌표를 잡아 구의 방정식 꼴로 만들고 반지름을 구하면 되지 않을까요?

    좋아요1 댓글수0
  • 좀정 2017.07.23 10:27:00

    일단 다섯 번째 패턴의 경우에는 이런 각도로 되지 않을까요? 돔을 만들기 시작할 때 세 막대의 홈이 같은 높이에 있어야 하니까 그림상에서 확대한 원 안의 모습과 같은 각도로 세 막대가 있어야 할 것 같아요

    좋아요1 댓글수0
  • 좀정 2017.07.23 11:51:22

    문제에서 주어진 정보를 이용해서 각도를 구해보면 cos값이 \frac{1}{\sqrt{1.01}}이 되고 약 cos 5.7도와 유사한 값이 되고

    이렇게 수평과 막대가 이루는 각을 구했으니 지름상에서 그런 각이 몇 개 있어야 각들의 합이 180도혹은 360도가 되는지 구하면 되는데요

    지름과 막대가 정확히 각을 이루는 부분도 있지만, 빨간 동그라미 친 곳과 같이 막대가 60도 비틀려 있는 곳이 있기 때문에 또 그 곳의 각을 구해야 할 것 같아요

    입체도형을 그려서 생각해보면 비틀린 부분과 지름(노란 칠) 사이의 각을 구할 수가 있는데요, 약 \frac{1}{\sqrt{1.04}}가 되고 이는 약 cos11.3도가 됩니다

    둘이 합하면 약 17도 정도 되고, 지름 한 바퀴를 돌려면 360도가 되어야 하므로 지름을 지나는 세로 막대기가 약 10~11개가 필요할 것 같습니다

    이 각도를 이용해서 반지름의 길이를 구하면 되지 않을까요...

    좋아요0 댓글수0
  • shine 2017.09.21 00:56:12

    <묻힌 문제 살리기 프로젝트>

    좋아요0 댓글수0