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문제

[대한수학회] 대1. 육각형 채우기

2017.05.24

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

다음과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 94개를 모아서 만든 6변의 길이가 3, 4, 5, 3, 4, 5인 육각형 A와 한 변의 길이가 1인 정삼각형 2개를 모아서 만든 마름모 B가 있다.

 
 

육각형 A에 47개의 마름모 B를 겹치지 않게 전체를 채우려고 할 때 채운 모양이 서로 다른 것의 개수를 구하여라.

 

알립니다!

이 문제는 수돌이 선수가 가장 먼저 해결했습니다. 답안은 댓글로 확인하세요! 

문제를 출제한 대한수학회의 신희성 교수는 "구하는 방법이 많은 케이스를 나누어 합산하는 방식이라 조금 아쉽지만 어린 학생의 풀이이고, 정답을 구했다는 점에서 칭찬할 만 하다"는 평과 함께 다른 풀이 방법을 기다려봐도 좋겠다는 의견을 남겼습니다. 

"댓글 중에 c_____x 님께서 올려 놓으신 댓글을 힌트로 시작하면 됩니다.
[마름모가 아니라 정육면체가 쌓여있는 것을 사영시킨 것으로도 해석할수 있는데..]
이 부분을 생각해 보면, 3x4x5 상자안에 1x1x1 큐브를 원점부터 빈공간없이 임의로 채우는 방법의 수와 같아집니다. 이는 Plane Partition으로도 생각해 볼 수 있고, 심지어 이 경우에는 non-intersecting lattice paths 들과도 대응이 됩니다"가 바로 힌트!

댓글 31

  • 수학동아 2017.05.24 10:46:43

    꿈꾸는 아이 2017.01.02. 18:15

    3개?

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    • 수학동아 2017.05.24 10:47:05

      수돌이 2017.01.03. 01:11

      십만 가지가 넘던데요 ㅎㅎㅎ

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    • 수학동아 2017.05.24 10:47:25

      꿈꾸는초코우유 2017.01.04. 15:25

      ∞개일것같은

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    • 수학동아 2017.05.24 10:47:42

      수돌이 2017.01.04. 18:28

      꿈꾸는초코우유  밑에 수학자님이 말씀하신 대로 여섯 자리입니다

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  • 수학동아 2017.05.24 10:48:11

    엔곰 2017.01.02. 18:48

    체스판 형식으로 왼쪽 위부터 아래로 흑/백/흑/백..이렇게 채우면 흑 47개, 백 47개의 칸이 생기겠네요. (이 때 인접한 삼각형은 같은 색깔x) 따라서 ▷는 흑/◁는 백이네요. 도입을 그렇게 하면 조금 더 풀이가 수월해질 것 같군요

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  • 수학동아 2017.05.24 10:48:26

    sung010713 2017.01.02. 20:05

    왼쪽 위에 3과 5랑 만나는 꼭짓점에 B 모양을 그대로 넣으면 3쪽과 5쪽에 있는 삼각형들이 다 나란히 되는 하나의 가짓수밖에 없네요 근데 B 모양을 그대로 넣지 않는 경우도 생각해봐야 겠군요

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    • 수학동아 2017.05.24 10:48:46

      꿈꾸는 아이 2017.01.02. 20:08

      그 외에도 정육각형을 만드는 법도 있어요

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    • 수학동아 2017.05.24 10:49:04

      sung010713 2017.01.02. 20:09

      꿈꾸는 아이  한 변의 길이가 1인 정육각형을 만드신다는 말씀이신가요?

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    • 수학동아 2017.05.24 10:49:26

      꿈꾸는 아이 2017.01.02. 20:39

      sung010713  네

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  • 수학동아 2017.05.24 10:49:44

    엔곰 2017.01.02. 21:37

    수돌이님 이 문제도 벌써 푸셨을라나..ㄷㄷ

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    • 수학동아 2017.05.24 10:50:14

      수돌이 2017.01.02. 21:44

      풀고 있습니다!

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    • 수학동아 2017.05.24 10:50:31

      엔곰 2017.01.02. 21:45

      수돌이  동갑인거 같으신데 수준이 어마어마하시더라고요ㄷㄷ 응원합니다!

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    • 수학동아 2017.05.24 10:50:48

      수돌이 2017.01.02. 21:48

      엔곰  감사합니다! 탑 클래스랑 비교하면 저도 별거 아니랍니다 ㅎㅎ

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    • 수학동아 2017.05.24 10:51:02

      가을 2017.01.07. 18:22

      수돌이  겸손하시네요 ㄷ

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  • 수학동아 2017.05.24 10:51:17

    A파랭이 2017.01.02. 23:02

    일단 접근방법은 패리티를 사용해야될것같네요...

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  • 수학동아 2017.05.24 10:51:33

    수돌이 2017.01.02. 23:30

    풀었습니다. 어마어마하군요 계산.....

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  • 수학동아 2017.05.24 10:51:54

    blueart3917 2017.01.03. 14:01

    저는 466,560,000,000,000 나왔어여

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  • 수학동아 2017.05.24 10:52:11

    수학자 2017.01.03. 17:03

    그 정도로 많지는 않은데... 6자리 수입니다.

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  • 수학동아 2017.05.24 10:52:31

    blueart3917 2017.01.03. 20:55  

    그럼 681,600인가여?

     

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  • 수학동아 2017.05.24 10:53:03

    호두 2017.01.04. 09:20

    한칸에서 이동할 수 있는 경우의 수가 2가지니까다 곱하면 되지 않을까요?

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  • 수학동아 2017.05.24 10:53:17

    꿈꾸는초코우유 2017.01.04. 20:03

    아까전까지 랜덤박스 기사 보고있었는데 알약 광고에 '시계 랜덤박스'가 떳다..

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  • 수학동아 2017.05.24 10:53:34

    수돌이 2017.01.05. 13:38

    음.. 단서 하나 드릴게요. 위 그림의 육각형을 오른쪽으로 60도 돌려봅시다.
    그리고 1층부터 7층까지로 나누어보세요.
    그런 다음 두 개의 층에 걸쳐 있는 마름모의 개수와 위치를 생각해보세요. 재미있는 걸 발견하실 수 있으실 겁니다.

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    • 수학동아 2017.05.24 10:57:50

      여백 2017.01.06. 16:48

      감이 안잡히네요

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    • 수학동아 2017.05.24 10:58:08

      파로 2017.01.31. 19:07

      수돌이님 실제로 정말 중2신가요.... 그렇다면 정말 대단하시네요..저와 동갑인데...

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  • 수학동아 2017.05.24 10:58:28

    여백 2017.01.06. 16:49

    어떻게 접근해야 되는지 감이 안잡히네요

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  • 수학동아 2017.05.24 10:58:43

    수학자 2017.01.07. 18:42

    문제를 푸는데 크게 관련은 없지만, 47=3*4+4*5+5*3입니다. 일반적인 모양으로 확장해도 이런 성질을 가집니다.

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  • 수학동아 2017.05.24 11:00:19

    c_____x 2017.01.14. 14:41

    원래 문제가 너무 쉬우신 분은 이것도 풀어보세요.

    1. 세 변이 3, 4, 5가 아니라 일반적으로 A, B, C라고 할 때 채울 수 있는 방법의 수는?

    2. A, B, C가 충분히 크다고 합시다. 1번을 풀었다면, 평평한 마름모 (◁▷)의 위치만 생각할 때 수직인 각 줄마다 왼쪽부터 무조건 1개, 2개, 3개, ... 씩 있어야 한다는 것을 관찰했을 겁니다. N번째 줄에서 N개의 평평한 마름모의 높이가 l_1, l_2, ... , l_N으로 주어진다고 할 때 나머지를 채우는 방법의 수는?
    -----------------------------------------------
    아래는 대학생 이상을 위한 문제입니다.


    2의 결과를 1의 결과로 나누면, 마름모를 임의로 채웠을 때 N번째 줄의 N개의 평평한 마름모의 높이가 l1, l2, ... , lN일 확률이 나옵니다. 이제 A=aL, B=bL, C=cL, N=nL로 두고 L이 무한대로 가는 극한을 생각합니다. 그러면 3. 저 확률은 어떤 고정된 확률 측도(probability measure)로 수렴하고, 4. 따라서 큰 수의 법칙(law of large number)이 성립하는데, 5. 일반적인 모양 (즉 임의로 채우면 거의 1에 가까운 확률로)은 항상 내접하는 타원 바깥이 한 종류의 마름모로만 채워져 있습니다. 이걸 증명하거나 그럴듯한 이유를 찾아보세요.

    참고 그림: http://www.mccme.ru/~vadicgor/images/505050_20av.jpg

    --------------------------------------------------------------------------------------

    [스포일러] 원래 문제는 plane partition 혹은 lozenge tiling이라 불립니다. 표현론에서 나오는 MacMahon formula (*수정 - Macdonald가 정리하긴 했는데 원래는 이 분이 발견)로 계산할 수 있습니다. 혹은 위의 2번 문제와 같은 일반적인 형태를 Gelfand–Tsetlin 대응을 이용하여 슈르 함수(Schur function)로 계산할 수 있습니다.

    일반적인 극한 모양은 오래 전에 알려졌지만 실제 계산은 최근 integrable probability의 여러 방법을 사용할 수 있는데 특정 군(group)의 표현(representation)과 연관지을 수도 있고 더 쉽게는 abstract variational principle과 복소해석학의 Nekrasov equation을 이용하면 됩니다. 경계에서의 극한은 또 다른 측도 변환에서 Tracy-Wisdom distribution을 따른다는 것을 보일 수 있습니다.

    어떤 극한 방식을 취하느냐에 따라, 가령 AC/B->t인 극한을 취하면 포물선이 나오는 등 다양한 모양이 나옵니다. 마름모가 아니라 정육면체가 쌓여있는 것을 사영시킨 것으로도 해석할 수 있는데 그렇게 되면 정육면체의 높이가 일종의 무작위적인 표면를 이룬다고 생각할 수 있습니다. 적당히 측도 변환을 해 주면 이 표면이 Gaussian free field로 수렴한다는 것이 몇몇 특수한 경우에 대해서 알려져 있고, 나머지 경우에 대해서도 그럴 것으로 믿어집니다. 그런데 실제로 이 경우에 대해 계산한 페이퍼는 아직 없으니 (그럼에도 모든 사람이 믿기 때문에 Conjecture-Theorem이라고도 합니다) 대학생 분들이 해 볼만한 프로젝트가 될 수도 있습니다.

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  • 수학동아 2017.05.24 11:00:39

    hyerin1972 2017.01.17. 01:32

    180도 회전시켰을 때는 같은 모양이라고 하나요?

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    • 수학동아 2017.05.24 11:00:51

      네, 같은 모양입니다.

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  • 수학동아 2017.05.24 11:01:03

    둥가둥가 2017.01.19. 14:18

    도형B에서 중선인 선분1개=도형 1조각으로 생각하는게 어떨까요??

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  • 수학동아 2017.05.24 11:11:22

    수학동아 편집팀 이메일로 보내준 수돌이 선수 답안!

     

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