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문제

[대한수학회] 대24. 왔다 갔다, 수렴과 발산~!

2018.12.02

같이 풀어볼까?

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실수로 이뤄진 수열 \left \{ a_{n} \right \}\left ( n=1, 2, 3,\cdot \cdot \cdot \right )을 생각하자. n이 한없이 커질 때 \left \{ a_{n} \right \}이 어떤 수 a에 한없이 가까워지면 수열\left \{ a_{n} \right \}a로 수렴한다고 부르고, 그렇지 않으면 발산한다고 부른다.

 

발산하는 수열 중에는 1, 2, 3, 4, \cdot \cdot \cdot처럼 양의 무한대로 무한히 커지거나, 비슷하게 음의 무한대로 무한히 커지는 수열도 있고, 1, 0, 1, 0, \cdot \cdot \cdot이나 1, -2, 3, -4, 5, -6, \cdot \cdot \cdot처럼 진동하는 수열도 있다. 그런데 발산하는 수열을 묶어서 생각하면 수렴하는 경우가 있다.

 

예를 들어 홀수 항이 모두 1, 짝수 항은 모두 0인 수열 \left \{ a_{n} \right \}은 일반항이 1, 0, 1, 0, \cdot \cdot \cdot이므로 발산한다. 하지만 이 수열을 이용해 새롭게 만든 수열 a_{n}{}'= \frac{1}{n}\left (a_{1}+a_{2}+\cdot \cdot \cdot +a_{n} \right )a_{1}{}'= 1, a_{2}{}'=\frac{ 1}{2}, a_{3}{}'=\frac{2}{3}, a_{4}{}'=\frac{1}{2}, a_{5}{}'=\frac{3}{5},\cdot \cdot \cdot므로 일반항이 \frac{1}{2}로 수렴한다.

 

이렇게 각 자연수 n에 대해 수열 \left \{ a_{n} \right \}의 첫 n항 평균을 값으로 하는 수열 a_{n}{}'= \frac{1}{n}\left (a_{1}+a_{2}+\cdot \cdot \cdot +a_{n} \right )이 수렴하면 \left \{ a_{n} \right \}을 ‘1-평균수렴한다고 하자. 예를 들어 a_{_{n}}=\left ( -1 \right )^{n}은 수렴하지 않지만 1-평균수렴하고, 수렴값은 0이 된다.

 

이제 일반항이 b_{_{n}}=\left ( -1 \right )^{n}\left ( 2n-1 \right )인 수열, 즉 일반항이 -1, 3, -5, 7, -9, 11,\cdot \cdot \cdot로 나타나는 수열을 생각해 보자. 이 수열로 \left \{ b_{n}{}' \right \}을 만들어 보면, -1, 1, -1, 1, \cdot \cdot \cdot이 나와서 수렴하지 않는다.  그런데 이 수열 \left \{ b_{n}{}' \right \}의 평균으로 만든 수열 \left \{ b_{n}{}'' \right \}\left \{ b_{n}{}'' \right \}=\frac{1}{n}\left ( b_{1}{}'+\cdot \cdot \cdot b_{n}{}' \right )은 0으로 수렴한다. 이때 수열 \left \{ b_{n} \right \}‘2-평균수렴’한다고 부르자.

 

이렇게 원래 수열에 위와 같은 작업을 k번 해서 나온 수열이 수렴하면 원래 수열을 ‘k-평균수렴’한다고 부를 수 있다.

 

- 문   제-

 

1 주어진 자연수 k에 대해 \left ( k+1 \right )-평균수렴하지만, ‘k-평균수렴하지 않는 실수 수열을 찾아라.

 

2 수열이 수렴하면, 모든 자연수 k에 대해 그 수열은 ‘k-평균수렴함을 보여라.

 

3 어떤 수열 \left \{ a_{n} \right \}이 발산하지만, 어떤 자연수 k에 대해 k-평균수렴한다고 하자. 이 수열은 항상 진동하는 수열일까? 즉,\lim_{n \to \infty }a_{n}=\infty\lim_{n \to \infty }a_{n}=-\infty가 아니어야 할까?

 

4 이제 위 지문에서 \left \{ a_{n} \right \}의 처음 n항 평균을 사용해 수열을 만들 때, 가중치를 똑같이 주지 말고 다르게 해 보자.

\hat{a_{1}}=a_{1}, \hat{a_{2}}=\frac{a_{1}+2a_{2}}{1+2}, \hat{a_{3}}=\frac{a_{1}+2a_{2}+3a_{3}}{1+2+3}, \hat{a_{n}}=\frac{2}{n\left ( n+1 \right )}\sum_{i=1}^{n}ia_{i}

이 때 수열 \left \{ a_{n} \right \}이 수렴하면, 그 수열로 만든 \left \{ \hat{a}_{n} \right \}도 수렴할까?

 

5 \left \{ a_{n} \right \}은 수렴하지 않지만, 4 에서 만든 수열 \left \{ \hat{a}_{n} \right \}이 수렴하는 실수 수열이 있을까?

댓글 32

  • 수학장 2018.12.02 22:58:41

    평균수렴하는 실수 수열을 찾는 과정을 역으로 해봅시다.

    1-평균수렴하고 수렴하지 않는 어떤 수열 하나(예: 1,0,1,0,1,0,1,0,.....)를 골라 a_{n}^{1}이라고 합시다. a_n^2a_1^1, (2a_2^1-a_1^1), (3a_3^1-2a_2^1), .....이라고 하면, (a_n^2)'=a_n^1이 됩니다.

     

    같은 방법으로 a_n^3a_1^2, (2a_2^2-a_1^2), (3a_3^2-2a_2^2), .....로 정의하면, (a_n^3)'=a_n^2가 됩니다.

     

    이 시행을 k+1번 반복했을 때 나오는 a_n^{k+1}은 평균수렴 과정을 k번 시행했을 때 처음에 골랐던 a_n^1이 되고, k+1번 시행했을 때 수렴하므로,

    1번 문제의 '(k+1)-평균수렴'하지만, 'k-평균수렴'하지 않게 됩니다.

     

    이렇게 하면 되는 거나요? 아니면 정확하게 식 또는 수로 표현해야 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.12.03 16:03:35

      주정훈 멘토가 잘 풀었다는 의견을 보내주었습니다. 문제를 출제해주신 정의진 교수님께 최종 검토 부탁드릴게요!laugh

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    • 최기자 2018.12.03 16:52:25

      교수님께서는 이렇게 증명을 해도 괜찮다고 하셨어요. 다만 수학장 님의 풀이에서는 이렇게 만든 수열이 더 작은 m에 대해서 "m-평균수렴" 하지 않는다는 것을 증명하지 않았으므로, 아직 완전한 풀이는 아니고 그것을 증명해야 한다고 하셨습니다. 그럼 계속 파이팅이에요!

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    • 수학장 2018.12.03 21:22:17

      그런 말은 문제에 없었는데요    문제 수정해주시면 감사하겠습니다.

      열심히 해보겠습니다...!

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    • 수학장 2018.12.03 21:36:12

      일단 2번이 사실이라는 전제 하에 증명하겠습니다.(2번이 증명되면 같이 증명되겠죠)

       

      k보다 작은 수 m에 대해 a_n^{k+1}이 m-평균수렴한다고 하자. 그러면 a_n^{k-m+1}은 수렴한다. 수열이 수렴하면, 모든 자연수 c에 대해 그 수열은 c-평균수렴하므로, a_n^{k-m+1}은 (k-m)-평균수렴하고, 즉, a_n^{1}은 수렴한다. 정의에 의해 a_n^{1}은 수렴하지 않고 1-평균수렴하는 수열이므로, 가정은 모순이 된다.

      k-평균수렴하지 않는다는 건 이미 앞에서 증명했습니다.

       

      \therefore a_n^{k+1}은 k보다 작거나 같은 수 m에 대해 m-평균수렴하지 않는다.

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  • YEElight 2018.12.03 17:36:04

    3번은

    양의 무한이나 음의 무한으로 발산하는 수열에다가 저 작업을 몇 번을 하든 그 결과는 원래 수열과 같이 양의 무한이나 음의 무한으로 발산하는 것 같아요

    그러니까 진동해야만 한다

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    • 깜냥 2018.12.03 18:40:41

      수열이 항상 증가한다고 해서 항상 발산하는 것은 아닙니다.

      a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}}      과 같은 반례가 있죠.

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    • 리프 2018.12.04 13:13:18

      양의 무한으로 발산하는 수열 a_n이 a_1< a_2< ...< a_n< ...이라고 하셨는데

      a_n=(n-2)^2인 수열을 생각해보면

      a_1=1, a_2=0, a_3=1, a_4=4, a_5=9, ...이 되서 양의 무한으로 발산하지만 a_1> a_2가 되지 않나요?

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  • 리프 2018.12.03 19:15:02

    2번 문제는 모든 수렴하는 수열이 1-평균수렴한다는 것만 보이면 k가 2 이상의 자연수일때도 자명하게 k-평균수렴하게 되네요.

    일단 제 생각에는 x에 수렴하는 수열은 1-평균수렴할때 수렴값이 x가 될 것 같은데 증명은 좀 더 생각해봐야 할 것 같네요.

    반례가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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    • 리프 2018.12.03 19:45:02

      5번 문제 답 찾은것 같아서 올려봅니다.

      홀수번째 항이 1이고 짝수번째 항이 0인 수열 a_n을 생각하자.

      \hat{a}_n의 일반항을 구해보면

      n이 홀수일 때

      \hat{a}_n=\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i=1}^{n}ia_i=\tfrac{2\cdot (\tfrac{n+1}{2})^2}{n(n+1)}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}

      n이 짝수일 때

      \hat{a}_n=\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i=1}^{n}ia_i=\tfrac{2\cdot (\tfrac{n}{2})^2}{n(n+1)}=\frac{n}{2n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}

      이렇게 되므로 a_n은 수렴하지 않지만 \hat{a}_n은 \frac{1}{2} 에 수렴하게 됩니다.

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    • 수학장 2018.12.03 21:19:12

      틀렸습니다. 홀수일 때 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n(n+1)}(1+3+5+...+n)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2}{n^2+n}=2

      짝수일 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n(n+1)}(1+3+5+...+(n-1))=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2-4n+2}{n^2+n}=2

      음.... 아무튼 같네요

      정답인 듯

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    • 리프 2018.12.03 21:29:46

      1+3+5+...+n이 왜 n^2이 되는거죠? \frac{(n-1)^2}{2}아닌가요?

      1+3+...+2k-1이 k^2이 되는 것 같은데요

      그리고 짝수일때도 1+3+...+(n-1) 이 (n-1)^2이 아니라 (n^2)/2가 되는 것 같습니다.

      그리고 제가 직접 \hat{a}_n의 값을 구해봤는데 차례대로 1, 1/3, 2/3, 2/5, 3/5,...이 되고 1/2에 수렴하는 것 같네요.

      혹시 틀린점이 있으면 지적해주시기 바랍니다.

      그리고 제가 아직 lim에 대해서 자세히 공부하지 않아서 그러는데 lim에서 계산 방식이 달라지는건가요?

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    • 리프 2018.12.03 23:42:28

      5번문제에서 좀 더 일반화한 수열을 찾아서 올려봅니다.

       

      홀수 번째 항이 a, 짝수 번째 항이 b 인 수열 a_n을 생각하자.

      n=2k-1(k는 자연수)일때

      \hat{a}_n=\frac{2[a(\frac{n+1}{2})^2+b(\frac{n^2-1}{4})]}{n(n+1)}=\frac{a+b}{2}+\frac{a}{2n}-\frac{b}{2n}

      가 되므로

      \therefore \lim_{n\to \infty}\hat{a}_n=\frac{a+b}{2}

      n=2k(k는 자연수)일때

      \hat{a}_n=\frac{2[a(\frac{n}{2})^2+b\frac{n(n+2)}{4}]}{n(n+1)}=\frac{a+b}{2}-\frac{a}{2(n+1)}+\frac{b}{2(n+1)}

      \therefore \lim_{n\to \infty}\hat{a}_n=\frac{a+b}{2}

      혹시 틀린 부분이 있다면 알려주시기 바랍니다.

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    • 수학장 2018.12.04 07:49:07

      아 제가 급하게 보다 보니까 실수했네요.... 죄송합니다....

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    • 리프 2018.12.09 19:53:24

      풀이 검토해 주시면 감사하겠습니다.

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  • 여백 패르마 2018.12.03 20:42:08

    /resources/comment/2018/12/0e8e5446bad9f7da533b16aba6883d5d.jpeg2번 문제 풀이입니다. 

    좋아요0 댓글수8
    • 여백 패르마 2018.12.03 20:44:45

      잘 안 보일 것이지만... 죄송합니다. 시간이 있으면 수식으로 나타내겠습니다. 

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    • 여백 패르마 2018.12.04 07:52:33

      오류가 있는 부분이 있다면 말해주시길 바랍니다. 

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    • 프로벤젠 2018.12.04 17:45:19

      여백 패르마님 증명과정입니다.

      읽기 편하게 텍스트로 올립니다. 수학 고수님들 확인부탁드립니다.

       

      sol.

       먼저, 수열 a_{n}이 a로 수렴한다고 가정한다.

      그러면,

      / 정의, 적당한 수 N에 대해, N<n이면,

      \left | a_{n}-a \right |<\varepsilon./

      적당한 수 N을 잡자. 그러면 정의에 의해, n>N이면,

      a_{n}<a\pm \varepsilon 이다.

      그리고, { a_{n}}'=\frac{1}{n}(a_{1}+a_2+ ... +a_n)이라고 정의하자.

      Lemma. (1) 수열 a_{n}이 a로 수렴한다면 { a_{n}}'도 a로 수렴한다.

      pf(1) { a_{n}}'=\frac{1}{n}(a_{1}+a_2+ ... +a_n)=\frac{1}{n}[{(a_1+a_2+...+a_N)+(a_{N+1}+...+a_n)}]

      n->\infty

      { a_{n}}'=\frac{1}{n}{(a_1+a_2+...+a_N)+(a(n-N-1)+\varepsilon_1+ \varepsilon_2 ...)}

      유한한 a_1+a_2+...+a_N은 무시한다.

      \lim n \to \infty , \frac{UHAN}{n}=0(UHAN=유한) 이기 때문이다.

      또, n-N-1 \to n

      \lim n \to \infty , \frac{n-N-1}{n}=1이기 때문이다.

       또, \varepsilon_1+ \varepsilon_2+...+ \varepsilon_n\rightarrow 0

      \therefore {a_n}'\approx \frac{1}{n}((a_1+a_2+...+a_N)+a(n-N-1)+\epsilon _1+\epsilon_2+...+\varepsilon_n )

      n이 무한대로 가면,

      {a_n}'\approx \frac{1}{n}(na)=a

      \therefore {a_n}'\xrightarrow[]{n\rightarrow\infty } a

      <본 증명> a_n은 수렴하므로, Lemma (1)에 의해,

      수학적 귀납법의 원리로, 모든 k에 대해

      a_n은 k-평균 수렴한다.

      \large Q . E . D

      사진을 받아쓴 것이라서 원본과 다른 부분이 있으면 말해주시기를 부탁드립니다.

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    • 프로벤젠 2018.12.04 17:50:54

      그리고 엡실론 정의하는 부분 다시 한 번 설명해주실 수 있나요?

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    • 리프 2018.12.04 18:27:52

      엡실론 정의부분에서 적당한 수 N에 대해 N<n입니다. 오타수정해주세요.

       

      그리고 왜 \epsilon _1+\epsilon _2+...+\epsilon_n =0이 되는지 이해가 잘 안되네요. 설명 조금만 더 해주시면 감사하겠습니다.

       

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    • 프로벤젠 2018.12.04 19:32:01

      오타 수정했습니다.

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    • 여백 패르마 2018.12.08 15:30:19

      아 여기에서 \epsilon이 필요없는 이유는 \epsilon _1+\epsilon _2+...+\epsilon _n을 n으로 나누면( n\rightarrow \infty일 때) 0에 가까워지기 때문입니다. 

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    • 리프 2018.12.09 19:39:36

      제 생각에는 틀린 부분이 없는 것 같네요 맞으신듯

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  • Simon 2018.12.05 18:59:20

    3번 풀이입니다.

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  • 수학장 2018.12.07 22:19:13

    확인 중인가요? 많은 답이 난무하는데 정리를 좀 해주셨으면 좋겠습니다.

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    • 김우현 기자 2018.12.08 15:10:10

      증명이 필요한 문제의 경우 다른 친구들의 의견을 들어본 뒤, 어느 정도 '맞았다'는 의견이 모이면 검토 요청하겠습니다~. blush

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  • 여백 패르마 2018.12.08 14:20:36

    /resources/comment/2018/12/47bbb78dc6a3245f039e349981071a17.hwp

    4번 풀이입니다. 

    P.S) 방학식이 크리스마스 이브...ㅠㅠ 너무 멀었어요...

    방학 벌써 하신 분 계시나요??

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  • 여백 패르마 2018.12.08 19:37:54

    아 그리고 제가 복소해석학을 공부중 이여서 복소수열을 이용해 봤습니다.

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    • 여백 패르마 2018.12.08 19:38:52

      2번 풀이입니다.

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    • 여백 패르마 2018.12.09 14:44:03

      확인해주시길 바랍니다. 

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  • 김우현 기자 2018.12.10 20:17:13

    현재 별다른 이견이 없는 풀이는 주정훈 멘토가 검토 중!surprise

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