주메뉴바로가기.. 본문바로가기

Problems

폴리매스 문제 보기

문제

[국가수리과학연구소] 국22. 까다로운 원 그리기

2018.10.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 22번째 문제입니다.

 

문제

끝없이 펼쳐진 평면 위에 원을 여러 개 그린다. 이때 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까? 단, 원의 개수는 제한이 없다.

 

 

댓글 105

  • Kid Milli 2018.11.18 23:21:00

    오랜만에 접속하네요ㅎ. 제 느낌으로는 이 문제는 '원은 무한해야 한다'(자명) +'원이 무한하면 어떤 직선은 무한개의 원을 지날 수 있다'의 논리로 접근하는게 좋을 듯 합니다

    좋아요0 댓글수3
    • ৡ신수 2018.11.20 23:35:37

      "평면이 무한하므로 고를 수 있는 어떠한 직선은 무수히 많다"

      라는 전제 하에서 원이 한정적으로 사용되면, 원을 지나지 않는 직선이 무한한 평면 속에 존재하므로 "적어도 하나의 원과 만나야 된다"라는 문제의 조건과 일치하지 못하므로 모순.

      즉, 원을 무수히 많이 사용해야 모든 직선은 적어도 하나의 원을 지나게 된다는 것을 알 수 있습니다.

      그러나, 원을 무수히 많이 사용하는데에 있어서 배치, 배열, 규칙에 관계없이 원이 무수히 많이 사용되다보면 언젠가는 한 직선에 만나게 되는 원의 개수가 100개 이상이 될 것입니다.

       

      다시 말해, 평면 위의 어떠한 직선을 골라도 문제의 조건을 만족하도록 원을 그리는 것은 불가능하다고 봐야되지 않을까요?

       

      좋아요0
    • 수학장 2018.11.22 21:13:57

      신수님이 푸는 것과 같이 풀면 될 것 같긴 합니다만, 신수님의 풀이는 너무 직관적이라서 조금 구체적인 증명이 필요할 것 같습니다.

      좋아요0
    • ৡ신수 2018.11.22 23:23:11

      좋은 말씀 감사합니다! >.<

      좋아요0
  • Q 2018.12.19 03:14:01

    모자란 부분은 지적해주시면 감사히 배우겠습니다ㅠㅠ

    좋아요1 댓글수6
    • Q 2018.12.21 17:32:21

      여기 규칙을 잘 모르는데 기간이 지나면 피드백이 없는 건가요??ㅠㅠ 아니면 혹시 너무 당연히 틀려보이면 딱히 틀렸다고 피드백을 안해주시나요ㅠㅠ

      좋아요0
    • 구머 2018.12.23 18:52:58

      기다려주세요^^

      좋아요0
    • 아인수타인 2018.12.23 22:05:29

      기간의 차이는 있다만 언젠가는 피드백 달아주십니다.

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.12.24 15:58:00

      모든 풀이는 실시간으로 확인해서 멘토 혹은 출제자에게 검토를 요청합니다.

      다만, 다른 친구들의 의견을 먼저 들어보고 특별히 오류가 없는 경우 검토를 요청하고 있어요!smiley

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.12.26 09:48:48

      문제를 출제한 백진언 연구원이 곧 피드백을 줄 예정! 풀이 과정 중 물어볼 사항이 있다고 하시네요.frown

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.12.26 11:36:40

      백진언 연구원의 코멘트 전달!

      기울기와 y절편을 알면 직선 1개가 결정된다는 사실을 이용해, 직선 1개를 (기울기, y절편)인 순서쌍으로 나타낸 아이디어가 좋았습니다. 다만, 마지막 문단에서 영역의 개수가 무한한 것만으로는 무한히 많이 덮히는 점이 존재하지 않을 수 있다는 점에 주목하세요. 

      ★수학에서는 이렇게 만든 공간을 Moduli space라고 해요!

      예를 들어 위 그림처럼 영역 3개가 공통된 영역이 없도록 그릴 수 있는데(4번째 영역은 더욱 y축에 가깝게, 5번째 영역은 더더욱 y축에 가깝게...) 이렇게 반복해서 그리면 영역 3개에 동시에 포함되는 점이 없도록 할 수 있거든요!laugh

      좋아요0
  • 김우현 기자 2018.12.26 11:41:59

    추가로, "좋은 코멘트를 주기 위해 친구들이 올린 풀이를 여러 번 읽어보고 풀이의 의도를 이해하려고 하니, 시간이 조금 걸려도 이해해달라"는 백진언 연구원의 말을 전합니다!!laugh
     

    좋아요1 댓글수0
  • tommy 2018.12.28 21:49:19

    도움이 될지는 모르겠지만... "끝없이 펼쳐진 평면"이라고 해서 좀 문제가 어려워 보이는데, 이 평면을 '수축하고 변형시켜서' 모습을 바꿔 놓은 뒤 풀어 보면 어떨까요? 평면을 복소평면이라고 생각하는 겁니다!

    예를 들어, 복소평면 위의 원을 원으로 사상시켜 주는 복소함수인 f(z)=1/z를 고려합니다. 이 함수는 직선도 원으로 사상시켜 주기 때문에, 사상 후 문제를 고려해도 문제가 크게 어려워지지는 않습니다. 다만 평면 위의 모든 원으로 문제가 바뀔 뿐이죠(정확히 말해서는, f(z)는 직선과 원을 다음과 같이 사상시킵니다. [원점을 지나는 직선→원점을 지나는 직선] [원점을 지나지 않는 직선→원점을 지나는 원] [원점을 지나는 원→원점을 지나지 않는 직선] [원점을 지나지 않는 원→원점을 지나지 않는 원]). 이때, 만약 닫힌 단위원판 위에서 문제를 풀었다고 가정합시다. 그렇다면 이 원판을 f(z)=1/z를 통해 사상시킴으로써 원판을 무한한 평면으로 바꿀 수 있습니다(가운데 열린 단위원판만큼만 제외하고). 만약 이 사상을 따라 원들을 다 복소평면 위로 잘 사상시켰다면, 음, 아무래도 원들을 무한한 평면 위에 배치하는 멋진 방법을 찾을 수 있지 않을까요(?).

     

    음... 아이디어가 조금 뜬구름이 잡히긴 했지만, 결론은 '복소함수와 같은 사상을 이용해 무한의 평면을 유한으로 바꿔 생각하고 문제를 풀어 보자'입니다. ㅎㅎ

    +만약 유한한 평면 위에 원들을 배치해야 한다면, 제 생각엔 이런 식으로 프랙탈 구조를 가지도록 원들을 배치해야 할 것 같습니다.

    https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%ED%8F%B4%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%88_%EA%B0%9C%EC%8A%A4%ED%82%B7

    https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

    좋아요0 댓글수1
    • 출제자(국) 2019.04.23 09:23:21

      좋은 관찰인 것 같습니다! 무한한 평면 대신 유한한 원을 생각하면 직관적으로 생각하기가 쉬워지는 것 같아요. 다만 무한하게 펼처진 공간을 원점 근방으로 '뒤집어놓은' 것이기에 문제의 난이도에는 큰 변화가 있을 것 같지는 않네요. 원의 배치 후보로 프랙탈 구조가 어떤 영감을 주는 것 같습니다.

      좋아요0
  • 신월초 송수진 2019.01.09 10:37:39

    방사형 모양으로 배치한다.

     

    좋아요0 댓글수0
  • 신월초 송수진 2019.01.09 10:47:14

    (증명)

    원이 무한개다.

    원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상의 원이 만난다. 

    따라서 원은 유한개 이다.

    원이 유한개이면 원과 만나지 않는 직선이 존재한다.

    원의 개수는 무한 또는 유한개 이다.

    하지만 원의 개수는 무한 또는 유한개가 아니므로 모순이 등장했다.

    따라서 모든 직선이 원과 만나지만 100개보다 적게 만날 수는 없다.(반지름이 양수일 때) 

    증명 끝

     

    좋아요0 댓글수2
    • 신월초 송수진 2019.01.09 10:51:42

      이 증명에 오류가 있는지 확인 부탁드립니다.

      좋아요0
    • 수학장 2019.01.09 11:59:50

      원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상이 원이 만난다.라는 걸 증명해야 합니다.

      좋아요0
  • Cantor 2019.01.12 21:53:06

    일딴 원의 개수가 유한하면 적어도 한 직선은 원을 접하지 않습니다.

    원의 개수가 무한하다고 가정.

    원의 배치와 상관없이 적절한 원들을 지우면 한 직선이 100개 이상의 원의 중심을 관통합니다.

    따라서 모든 직선이 원을 적어도 1개와 만나게 하려면 한 직선이 100개 이상의 원을 지난다.

    좋아요0 댓글수1
    • 아인수타인 2019.01.13 01:01:54

      그 100개 이상을 지난다는 걸 증명해야 합니다. 그냥 아무 증명이 없으면 너무 직관적이거든요.

      좋아요0
  • martinanot 2019.02.05 17:25:02

    /resources/comment/2019/03/c839e6c0a8e905f338d6959fca95742a.jpg

     

    Q님이 제안한 아이디어와 흡사하게 예전부터 구상해 놓았으나 최종 마무리가 부족하여 포스팅을 못했으나 마무리가 지어질 수 있는지 궁금해서 올립니다. 

    원의 중심으로부터 직선에 내린 수선의 길이가 원의 반지름 이하라면 이 직선이 원을 지남으로

    좌표계에 도형들을 표현하고 간단한 대수적 연산을 통해 어느 원의 중심을 O(p,q), 반지름을 r이라하고  

    직선의 방정식을 ax+by=1의 형태로 생각해준다면(이는 simon님의 추천으로 설정하게 되었습니다)  이 원을 지나게 될 직선의 조건이 (ap+bq+1)^2 ≤ r^2(a^2+b^2)이 됩니다.

    이때 직선의 결정요소인 a,b를 좌표축으로 가지는 새로운 좌표계를 생각하면 

    이 ‘직선의 세계 좌표평면’의 모든 부분이 위의 부등식에 의해 ‘칠’해진다면 문제가 만족된다.

    ‘직선의 세계 좌표평면‘에서 p,q,r은 상수로써 경계 하나에 원 하나가 대응되어서 

    https://www.geogebra.org/graphing/btz3cnej  

    에서 볼 수 있듯이 a와 b가 큰 경우에는 처리된다 생각하면 a와 b가 '작은'영역을 칠할 생각을 했습니다. 

    {(a,b) = (0,0)은 직선의 정의상 정의 되지 않음으로 '이 점 한개'를 제외하고 좌표평면의 모든 부분을 '칠'해야한다}  

    >=< 꼴 과 oval 꼴의 2가지 그래프 형태가 나오고 >=<꼴 그래프는 내부가 부등식 만족 영역이고 oval꼴은 외부가 부등식 만족 영역이됩니다. 

    (자명한 작은 관찰들을 하자면 무한히 큰 원을 생각한 풀이는 oval꼴이 원이 나오는 특수한 경우에서 r->무한인 경우로 (0.0)제외한 좌표평면의 영역이 부등식을 만족하게 되어서 문제에 해당하는 상황이 나오네요)  

    a/b 좌표평면에서 그래프의 '만족 영역'이 겹치게 되는 경우가 발생하는데 이것은 원래 도형 좌표평면에서 서로 다른 원을 동시에 지나는 직선들의 집합이 됩니다.

    겹치게되는 영역 중 '면 차수(?)'가 100을 초과하게 되면 문제 조건에 위배하게 되는 것으로 해석할 수 있습니다.

    (a,b)->(0,0) 근처의 영역을 무한개의 그래프들을 사용해서 채워야하는데 이때 면 차수가 100을 초과하는 영역이 존재함을 증명하면 풀이가 완료됩니다만...

    이를 증명할 방법이 있을까요? 

    총 면 차수의 개수와 총 분할 영역의 개수의 대소 관계로 생각도 해보았으나 해결이 복잡하네요 

    (용어를 임의로 정한 부분은 양해부탁드립니다)

    좋아요0 댓글수2
    • 우리집고양이 2019.04.11 19:50:48

      그래프가  왠지 돌아간 모양인데, X,Y평면에서 원점을 기준으로 일정 각도 돌아간 a,b 평면은 a=cx-sy,b=sx+cy (s^2+c^2=1) 로 나타낼수 있음을 이용해서 조금 정리할 수 있네요.  c=p/(p^2+q^2)^(0.5) 으로 잡으면 s도 결정되고, 원래 식은 r^2(x^+y^2)=(gx-1)^2 가 돼요.  (단,g=(p^2+q^2)^(0.5))

      좋아요0
    • 출제자(국) 2019.04.23 09:26:40

      좋은 직관과 실험입니다! 링크에 알 수 없는 전산오류가 있어 확인은 못했지만, GeoGebra로 좀 더 실험해서 문제를 접근할 방향을 잡는 게 좋은 시도 같아요. 앞에서 Q친구가 말한 '직선의 공간' (Moduli space)의 아이디어를 더욱 구체적으로 접근할 수 있을 것 같아요.

      좋아요0
  • mathsolver 2019.03.02 17:10:30

    무한한 크기를 가진 동일한 원을 99개 겹치면 안되나요?

    좋아요0 댓글수1
    • 아인수타인 2019.03.02 18:52:34

      원이 유한개 있으면 어떤 직선은 원을 지나지 않을 것이라는 게 자명합니다.

      좋아요0
  • 인간의 이중성 2019.03.03 10:34:12

    증명했습니다.

    100개 뿐만 아니라 유한개가 불가능하다는 것도 보였네요.

    이 증명이 맞다면, 결론은 '불가능!'이 되겠네요.

    좋아요0 댓글수2
    • tommy 2019.03.03 17:41:59

      한 기다란 띠 모양의 영역이 존재하여 그 안의 어떤 직선도 그 띠 모양 영역 안 모든 원을 통과하게 된다고 할 때, 띠 속 원이 무수히 많다면 어떤 직선은 무수히 많은 원을 통과하게 되고 띠 속 원이 유한하다면 어떤 직선은 아무 원도 통과하지 않아 모순이다라고 말씀하고 싶으셨던 것 같네요. ㅎㅎ 하지만 띠 속 원이 유한한 부분에서 중대한 오류가 존재합니다.

       

      ∞라는 개념은 '수'가 아닙니다. 그래서 많은 분들이 무한대를 다룰 때 실수를 하시곤 하는데, 무한대는 수가 아니라 '점점 커져 나가는 상태'를 표현하는 기호입니다. 즉 극한으로써 이해해야 한다는 것이죠.

       

      어떤 끝없는 평면 위에서 무한대를 찾고자 한다면, 평면의 저쪽으로 끝없이 나아가야 합니다. 만약 유한한 만큼 나아갔는데 거기에 무한대가 '존재한다면', 그건 더 이상 무한한 양이 아니게 되기 때문이죠.

       

      어떤 평면 위의 모든 점들은 좌표로 표현되는데, 그 좌표가 무한대인 어떤 점을 '보고' 싶다면, 즉 무한대의 성질을 유지하며 유한한 거리로 옮겨놓고 생각하고 싶다면, 그 점은 사실 이 평면을 튀어나가게 됩니다. 3차원상으로요. 자세한 내용은 사영기하학과 사영 평면을 공부하시면 알게 되지만, 여기서는 생략하겠습니다. 요점은 무한대는 '이 평면 위에는' 존재하지 않는다는 겁니다.

       

      바로 그 부분에서 오류가 생겼습니다. 두 평행하지 않은 선분을 끝없이 연장하다 보면 언젠가는 두 선분 사이 거리가 ∞가 될 것이라는 것 말이죠. 무한대는 점점 커져가는 양이고 평면 위에는 존재하지 않기 때문에, 두 선분 간의 거리는 어떤 지점에서 측정해도 무한대가 될 수 없습니다. 두 선분 간의 거리가 무한대가 되는 것은 두 선분을 '무한히 연장시킬 때'의 얘기이며, 이것을 엄밀하게 논증하려면 무한대를 극한으로써 생각하여 두 선분 사이 거리가 발산한다고 표현하거나 사영기하학을 도입하여 생각해야 합니다.

       

      그렇기 때문에, 띠 속에 포함되는 직선들은 절대 '가로로는' 존재할 수 없습니다. 그리고 만약 그것이 가능하다면, 띠 속의 어떤 직선도 띠 안의 모든 원들과 교차한다는 명제부터가 틀려지게 되겠죠. ^^

      좋아요3
    • 인간의 이중성 2019.03.03 23:38:22

      자세한 답변 정말 감사드립니다.

      '무한'이라는 개념에 대해 다시 생각해 볼 기회가 되었네요! yes

      좋아요0
  • 아인수타인 2019.03.04 01:33:04

    '평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 n개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까?' 로 고친 다음 이것이 '참'이 되는 n의 최솟값을 구해도 좋을 거 같네요. 100 이하이면 가능, 100 초과이면 불가능 이런 식으로요. 그리고 일반화도 가능하고요.

    좋아요0 댓글수2
    • 수학장 2019.03.04 19:50:16

      n이 아무리 커도 안 될 것 같은 느낌이 드는데요.........

      좋아요0
    • 아인수타인 2019.03.05 00:41:16

      그러면 n이 아예 존재하지 않는 걸로 되겠죠.

      좋아요0
  • 인간의 이중성 2019.03.10 13:22:48

    불가능 합니다.

    좋아요0 댓글수2
    • 아인수타인 2019.03.10 20:48:43

      원이 크기가 있다고 해서 O를 지나는 직선 중 한 직선은 원 100개를 지난다고 할 수는 없을 것 같습니다.

      좋아요0
    • 인간의 이중성 2019.03.16 10:26:41

      아인수타인 님이 한 질문에 대해 생각해 보도록 하겠습니다.

      좋아요0
  • 수학오리 2019.03.12 16:58:37

    음... 만약 어떤 그래프가 일차함수로 수렴한다면... 계단 등의 모형은 계단을 어떤함수로 하더라도 불가능하겠군요... y=x^3을 변형해 계단모양으로 하는건 의미가 없네요ㅠㅠ

    좋아요0 댓글수1
    • 인간의 이중성 2019.03.23 10:13:03

      제 생각은, '가능할 때의 원의 배치'를 찾는 것보다, '불가능한 이유'를 찾는 것이 맞는 것 같습니다. 직관적으로도 가능해 보이진 않죠 ^^

      좋아요0
  • 인간의 이중성 2019.03.16 10:25:00

    아인수타인 님, 원이 크기가 있으면 100개의 원은 겹친다에 대한 부가설명을 드리고자 합니다.

    원이 1개 생기면, 점O에 대한 교각이 생깁니다. 그 각은 0이 아니고요. 전체 각도 360을 길이 360인 띠로 생각해 봅시다. 그리고 우리는 교각에 해당되는 영역을 색칠합니다. 예를 들어 한 직선을 기준으로 30~40도에 교각이 생겼다면 30~40의 길이 부분에 색칠한다는 겁니다. 색칠된 부분은 0이 아닌 유한한 영역일 것이고, 무한히 많은 회수의 색칠을 하게 된다면, 즉 360의 한정된 길이에 유한한 길이의 부분을 무한히 색칠하게 된다면, 겹치는 부분이 반드시 존재할 것입니다. 거기에 계속하여 무한한 횟수의 색칠을 한다면, 100번 겹쳐져 색칠되는 부분이 없도록 하는 것을 불가능할 것입니다. 결국 100번 겹치는 부분이 생길 것이고, 그 영역을 death area라고 정의한 겁니다.

    좋아요0 댓글수5
    • 수학자 2019.03.16 10:36:42

      유한한 값을 무한히 많이 더해도, 그 합이 유한할 수도 있습니다. 예를 들면, 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \le 2로, 무한히 많은, 0보다 큰 값들이지만 그 합은 2를 넘지 못합니다.

      좋아요0
    • 인간의 이중성 2019.03.16 13:07:25

       그런 식으로 원을 배열한다면, 극한의 개념을 건드려야 합니다. 원의 크기는 0에 수렴할 때까지 작아져야 하고, 점원은 안된다는 위 댓글에 위배됩니다. 즉, 2분의 1의 무한 등비 급수의 개념을 생각하는 것은 불가능 합니다.

      수학자 님이 말씀하신 '무한히 많은, 0보다 큰' 이라는 말은 언밀하게 말할 순 없는 것이죠. 원의 개수는 무한하니까요.

      좋아요0
    • 수학자 2019.03.16 13:55:28

      제가 설명한 예시에서 점원은 없습니다. 점원이 존재한다면, 그 원은 몇 번째 원인가요? 원이 무한히 많다 하더라도 우리는 그 순서를 따져줄 수 있고(만약 셀 수 있는 무한이라면), 이렇게 고른 원 안에 있는 임의의 원은 "이 원은 k번째 원이다!"라고 말할 수 있는 k가 존재합니다. 원의 순서를 따질 때, 교각의 길이가 1인 것, \frac{1}{2}인 것, \frac{1}{2^2}인 것, ... 순서대로 센다고 합시다. 만약 k번째 원이 점원이라고 한다면, 순서를 따진 방법에 따라 교각의 길이는 \frac{1}{2^{(k-1)}}가 되어, 점원일 수 없어 모순입니다. 그러므로 임의의 자연수 k에 대해 k번째 원은 점원이 아니라는 결론에 이르게 됩니다. 즉, 제가 잡은 예시에서 점원은 없습니다.

      무한의 개념은 굉장히 접근이 어려운 개념입니다. 0으로 수렴하지만, 절대 0이 되지는 않는다면, 조건을 만족하는 것입니다. 만약 이 문제의 답이 "가능하다"라면, 이런 식으로, 원의 반지름의 하한은 0이지만 반지름이 0인 원은 없는 그런 형태가 될 것입니다.

      좋아요0
    • 인간의 이중성 2019.03.23 10:07:05

      앗! 수학자님, 위 대댓글에 논리적 결함이 있다는 것을 알았습니다.

      2분의 1을 무한히 반복하면, 0이 될 수 없다는 것이 모순입니다.

      그 이유는 '제논의 역설'을 보면 알 수 있습니다.

      즉, 0이 되지 않는다는 것은, 사람과 거북이의 달리기 싸움에서 거북이가 이긴다는 것입니다. 말이 안되는 소리죠.

      점원이 된다는 것을 상상할 수 없고, k번째 원에서 점원이 나온다고 말할 순 없습니다. 즉, 점원이 되지 않으려면 유한하다 라고 말할 순 없는 것이지만, 무한하다 - 가 있을 때에는 모순이 쾅! 하고 나타나는 것입니다. 마치 사람이 거북이를 넘을 수 없다는 것과 같죠. 따라서 저의 증명이 성립이 된다고 말할 수 있는 것 같습니다.

       P.S. '무한'이라는 개념은 수가 아닙니다. 상태입니다. 무한번째 원이 0이 아니다? 이 말에는 무한이라는 개념의 사용에 혼돈이 있었던 것입니다. 즉, k번째 원이 점원이 아니라고 반박하는 것은 분명히 문제가 있다고 할 수 있습니다.

      좋아요0
    • 출제자(국) 2019.04.23 10:45:09

      '인간의 이중성'님. 먼저 문제에 대해 관심을 가져주셔서 감사합니다. 지난 한달간 훈련소를 다녀와서 이제야 답장을 드려요. '인간의 이중성'님의 풀이를 여러번 읽고 고민을 많이 했는데, 아직 풀이의 의도를 완전히 이해하고 있는지는 모르겠습니다만 더 이상 늦으면 안 될 것 같아 아래 피드백을 보내드립니다.
      '수학자'님의 댓글에 '제논의 역설'을 들어 논리적 결함이 있음을 언급해주셨는데, 제가 보기에는 수학자님의 대댓글에 논리적 결함이 없는 것 같아요. 2분의 1을 무한히 반복하면 수가 0이 된다고 말씀하셨는데, 수 자체는 변하는 것이 아니므로 정확히는 '수열 1/2, 1/4, 1/8, .... 은 0으로 수렴한다'라고 서술해야 해요 (마찬가지로 '무한히 더하면 A다'는 서술은 무한번 더하는 것이 아니라 유한번 더해서 나온 값들의 수열의 수렴값이 A라는 뜻이에요). 이때 수열의 수렴값은 0이지만, 수열에 0이 등장하지는 않아요. 이처럼 '원의 반지름이 0으로 수렴하는 원들의 열이 있다' 와 '점원이 있다' 사이에는 큰 차이가 있어요. 아래 그림에서 등장하는 원들의 반지름은 0으로 수렴하는 수열로 쓸 수 있지만, 그림에 점원이 있지는 않아요. '수학자'님의 설명은 이러한 상황을 설명하신 걸로 이해가 됩니다. 이런 상황에서는 풀이에서 나오는 'death area'가 없을 수도 있다고 생각해요.

      피드백의 설명이 부족하다거나 반론이 생각이 나실 수도 있을 것 같은데, 설명을 더 해주시면 더욱 구체적인 피드백을 드릴 수 있을 것 같아요. 댓글 자유롭게 남겨주세요!

      좋아요0
  • 수학자 2019.03.16 14:19:19

    다음과 같은 사실을 증명했습니다.

     

    "문제의 조건을 만족하는 원의 배치가 존재하는 경우, 원의 개수는 countable infinity이다. 즉, 조건을 만족하는 배치에서의 원의 집합을 P라 하면, P는 countable set이다."

    (countable set = 자연수 집합과 일대일 대응이 가능한 집합)

     

    증명

    먼저, 임의의 양수 \epsilon에 대해, 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들의 집합은 countable set임을 증명합시다. 원을 다음과 같은 순서로 셉니다.

    1) y=0의 그래프, 즉 x축이 지나는 원들을 모두 셉니다. 그 개수는 최대 100개입니다.

    2) y=2\epsilon의 그래프가 지나는 원들 중, 아직 count되지 않은 원들을 모두 셉니다. 그 개수는 최대 100개입니다.

    3) y=-2\epsilony=4\epsilony=-4\epsilon, ... 에 대해 이 과정을 계속 반복합니다.(정수를 count하는 것과 같은 원리입니다. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...)

    이 때, 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들은 모두 count되었습니다. 원의 중심이 있는 위치에서 가장 가까운 y=2n\epsilon 형태의 직선을 찾으면, 그 직선과의 거리는 최대 \epsilon입니다. 그러므로 그 직선이 이 원을 통과하게 됩니다. 따라서 반지름의 길이가 \epsilon 이상인 원들의 집합은 countable set입니다.

     

    countable set의 부분집합도 countable set입니다. 따라서 다음과 같은 집합들이 모두 countable set입니다.

    P_n =(반지름의 길이가 \frac{1}{n+1} 이상 \frac{1}{n} 미만인 원들의 집합)(n\ge1)

    그리고 P_0는 반지름의 길이가 1 이상인 원들의 집합으로 잡읍시다. 역시 countable set입니다.

    그렇다면 모든 원들은 P_i들 중 정확히 하나에 속하게 됩니다.

    그렇다면 우리는 이 countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 세 주면 됩니다. P_i의 원소들을 a_{ij}라 한다면, a_{ij}들을 i+j가 증가하는 순서로 count하면 됩니다. 유리수를 셀 때처럼 말이죠. (a_{00}, a_{01}, a_{10}, a_{02}, a_{11}, a_{20}, \cdots) 중간에 없는 원소(P_i가 유한집합이라면 그럴 수 있습니다)는 건너뛰면 됩니다.

    그러므로 조건을 만족하는 배치에서의 원의 집합은 countable set입니다.

    좋아요0 댓글수3
    • 인간의 이중성 2019.03.17 11:25:41

      조건을 만족하는 원의 집합이 countable set이라는 것은, countable set라서 불가능하다는 것인지, countable set라서 가능하다는 것인지 잘 모르겠습니다.

      죄송하지만, 이 부분이 잘 이해가 안 가는 것 같아요. 자세히 설명해 주실 수 있어요?

        "그렇다면 우리는 이 countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 세 주면 됩니다. P_i의 원소들을 a_{ij}라 한다면, a_{ij}들을 i+j가 증가하는 순서로 count하면 됩니다. 유리수를 셀 때처럼 말이죠."

      좋아요0
    • 수학자 2019.03.25 09:53:44

      사실 답을 낸 건 아닙니다. 다만, 가능하다 / 불가능하다의 증명에 약간 도움이 될까 싶어서 올렸습니다.

      좋아요0
    • 출제자(국) 2019.04.23 10:53:25

      문제를 완전히 푼 게 아니어도, 문제의 조건에서 어떤 새로운 성질을 밝혀낼 수 있다면 문제를 푸는 데 쓸 수 있는 사실이 하나 더 늘어요. 그래서 countable set이라는 것을 증명하는 것도 충분히 의미가 있다고 생각해요 (이 경우에는 모든 원들을 원들의 열로 나열할 수 있다는 사실을 풀이에 쓸 수 있죠). Countable하게 많은 countable set의 모든 원소를 센다는 것은 아래 그림처럼 각 countable set의 원소들을 가로로 나열한 다음 대각선으로 한 줄로 정리한다는 뜻이에요 (출처: https://math.stackexchange.com/questions/91366/proof-that-union-of-a-sequence-of-countable-sets-is-countable).

      좋아요0
  • 으아아아 2019.03.24 10:53:13

    가장 큰 수를 x(무한), 원의 지름을 r이라 하면

    이것처럼 (-x, 0), (-x+r, r), (-x+2r, -r), (-x+3r, r), (-x+4r, -r), (-x+5r, 2r)...으로 무한히 원을 그려나가면 되지 않을까요?

    좋아요1 댓글수0
  • 동덕 2019.03.29 00:52:02

    아니요.

    만약 참이라면, 원은 무한히 많아야합니다. 만약 유한하다면 좌표를 그렸을 때 가장 y 좌표의 값이 높은 원의 방정식의 점으로부터 y좌표의 값을 100을 더해 점을 찍은 뒤, 이 점을 지나며 X축과 평행한 직선을 그어버리면 X 좌표 값이 아무리 같아도 y 좌표값이 같은 원 위의 점이 존재할 수 없으니 결국 그 어떤 점도 지나지 않는 직선이 생겨 버립니다. 따라서 원은 무한히 많아야만 합니다.

    만약 무한히 많은 경우에도 마찬가지입니다.

    좋아요1 댓글수2
    • 아인수타인 2019.04.08 14:17:06

      그리고 저 원들을 하나도 안지나는 직선도 나오네요... 첫번째와 세번째 원 사이를 지나는 직선은 하나도 안지납니다. 또는, 아예 저 원들 밖으로 나가버리는 직선도 있네요.

      좋아요0
    • 출제자(국) 2019.04.23 10:55:41

      원이 무한히 많이 있다면 가장 y좌표가 높은 원이 없을 수도 있지 않을까요? 이를테면 원을 y좌표값이 증가하는 방향으로 계속 그리는 경우가 있을 거에요.

      좋아요0
  • 우리집고양이 2019.04.10 08:20:27

    x^3처럼 무한대 커버하는 곡선에 점점 작아지는 원을 서로 계속 접하게 그려서 100개 이하로 만드는게 관건인거같은데...에엥 어렵다

    좋아요0 댓글수0