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Problems

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문제

[국가수리과학연구소] 국22. 까다로운 원 그리기

2018.10.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 22번째 문제입니다.

 

문제

끝없이 펼쳐진 평면 위에 원을 여러 개 그린다. 이때 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까? 단, 원의 개수는 제한이 없다.

 

 

댓글 73

  • Kid Milli 2018.11.18 23:21:00

    오랜만에 접속하네요ㅎ. 제 느낌으로는 이 문제는 '원은 무한해야 한다'(자명) +'원이 무한하면 어떤 직선은 무한개의 원을 지날 수 있다'의 논리로 접근하는게 좋을 듯 합니다

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    • ৡ신수 2018.11.20 23:35:37

      "평면이 무한하므로 고를 수 있는 어떠한 직선은 무수히 많다"

      라는 전제 하에서 원이 한정적으로 사용되면, 원을 지나지 않는 직선이 무한한 평면 속에 존재하므로 "적어도 하나의 원과 만나야 된다"라는 문제의 조건과 일치하지 못하므로 모순.

      즉, 원을 무수히 많이 사용해야 모든 직선은 적어도 하나의 원을 지나게 된다는 것을 알 수 있습니다.

      그러나, 원을 무수히 많이 사용하는데에 있어서 배치, 배열, 규칙에 관계없이 원이 무수히 많이 사용되다보면 언젠가는 한 직선에 만나게 되는 원의 개수가 100개 이상이 될 것입니다.

       

      다시 말해, 평면 위의 어떠한 직선을 골라도 문제의 조건을 만족하도록 원을 그리는 것은 불가능하다고 봐야되지 않을까요?

       

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    • 수학장 2018.11.22 21:13:57

      신수님이 푸는 것과 같이 풀면 될 것 같긴 합니다만, 신수님의 풀이는 너무 직관적이라서 조금 구체적인 증명이 필요할 것 같습니다.

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    • ৡ신수 2018.11.22 23:23:11

      좋은 말씀 감사합니다! >.<

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  • Q 2018.12.19 03:14:01

    모자란 부분은 지적해주시면 감사히 배우겠습니다ㅠㅠ

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    • Q 2018.12.21 17:32:21

      여기 규칙을 잘 모르는데 기간이 지나면 피드백이 없는 건가요??ㅠㅠ 아니면 혹시 너무 당연히 틀려보이면 딱히 틀렸다고 피드백을 안해주시나요ㅠㅠ

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    • 구머 2018.12.23 18:52:58

      기다려주세요^^

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    • 아인수타인 2018.12.23 22:05:29

      기간의 차이는 있다만 언젠가는 피드백 달아주십니다.

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    • 김우현 기자 2018.12.24 15:58:00

      모든 풀이는 실시간으로 확인해서 멘토 혹은 출제자에게 검토를 요청합니다.

      다만, 다른 친구들의 의견을 먼저 들어보고 특별히 오류가 없는 경우 검토를 요청하고 있어요!smiley

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    • 김우현 기자 2018.12.26 09:48:48

      문제를 출제한 백진언 연구원이 곧 피드백을 줄 예정! 풀이 과정 중 물어볼 사항이 있다고 하시네요.frown

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    • 김우현 기자 2018.12.26 11:36:40

      백진언 연구원의 코멘트 전달!

      기울기와 y절편을 알면 직선 1개가 결정된다는 사실을 이용해, 직선 1개를 (기울기, y절편)인 순서쌍으로 나타낸 아이디어가 좋았습니다. 다만, 마지막 문단에서 영역의 개수가 무한한 것만으로는 무한히 많이 덮히는 점이 존재하지 않을 수 있다는 점에 주목하세요. 

      ★수학에서는 이렇게 만든 공간을 Moduli space라고 해요!

      예를 들어 위 그림처럼 영역 3개가 공통된 영역이 없도록 그릴 수 있는데(4번째 영역은 더욱 y축에 가깝게, 5번째 영역은 더더욱 y축에 가깝게...) 이렇게 반복해서 그리면 영역 3개에 동시에 포함되는 점이 없도록 할 수 있거든요!laugh

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  • 김우현 기자 2018.12.26 11:41:59

    추가로, "좋은 코멘트를 주기 위해 친구들이 올린 풀이를 여러 번 읽어보고 풀이의 의도를 이해하려고 하니, 시간이 조금 걸려도 이해해달라"는 백진언 연구원의 말을 전합니다!!laugh
     

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  • tommy 2018.12.28 21:49:19

    도움이 될지는 모르겠지만... "끝없이 펼쳐진 평면"이라고 해서 좀 문제가 어려워 보이는데, 이 평면을 '수축하고 변형시켜서' 모습을 바꿔 놓은 뒤 풀어 보면 어떨까요? 평면을 복소평면이라고 생각하는 겁니다!

    예를 들어, 복소평면 위의 원을 원으로 사상시켜 주는 복소함수인 f(z)=1/z를 고려합니다. 이 함수는 직선도 원으로 사상시켜 주기 때문에, 사상 후 문제를 고려해도 문제가 크게 어려워지지는 않습니다. 다만 평면 위의 모든 원으로 문제가 바뀔 뿐이죠(정확히 말해서는, f(z)는 직선과 원을 다음과 같이 사상시킵니다. [원점을 지나는 직선→원점을 지나는 직선] [원점을 지나지 않는 직선→원점을 지나는 원] [원점을 지나는 원→원점을 지나지 않는 직선] [원점을 지나지 않는 원→원점을 지나지 않는 원]). 이때, 만약 닫힌 단위원판 위에서 문제를 풀었다고 가정합시다. 그렇다면 이 원판을 f(z)=1/z를 통해 사상시킴으로써 원판을 무한한 평면으로 바꿀 수 있습니다(가운데 열린 단위원판만큼만 제외하고). 만약 이 사상을 따라 원들을 다 복소평면 위로 잘 사상시켰다면, 음, 아무래도 원들을 무한한 평면 위에 배치하는 멋진 방법을 찾을 수 있지 않을까요(?).

     

    음... 아이디어가 조금 뜬구름이 잡히긴 했지만, 결론은 '복소함수와 같은 사상을 이용해 무한의 평면을 유한으로 바꿔 생각하고 문제를 풀어 보자'입니다. ㅎㅎ

    +만약 유한한 평면 위에 원들을 배치해야 한다면, 제 생각엔 이런 식으로 프랙탈 구조를 가지도록 원들을 배치해야 할 것 같습니다.

    https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%ED%8F%B4%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%88_%EA%B0%9C%EC%8A%A4%ED%82%B7

    https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_circle

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  • 신월초 송수진 2019.01.09 10:37:39

    방사형 모양으로 배치한다.

     

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  • 신월초 송수진 2019.01.09 10:47:14

    (증명)

    원이 무한개다.

    원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상의 원이 만난다. 

    따라서 원은 유한개 이다.

    원이 유한개이면 원과 만나지 않는 직선이 존재한다.

    원의 개수는 무한 또는 유한개 이다.

    하지만 원의 개수는 무한 또는 유한개가 아니므로 모순이 등장했다.

    따라서 모든 직선이 원과 만나지만 100개보다 적게 만날 수는 없다.(반지름이 양수일 때) 

    증명 끝

     

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    • 신월초 송수진 2019.01.09 10:51:42

      이 증명에 오류가 있는지 확인 부탁드립니다.

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    • 수학장 2019.01.09 11:59:50

      원이 무한개라면 어느 한 직선이 100개 이상이 원이 만난다.라는 걸 증명해야 합니다.

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  • Cantor 2019.01.12 21:53:06

    일딴 원의 개수가 유한하면 적어도 한 직선은 원을 접하지 않습니다.

    원의 개수가 무한하다고 가정.

    원의 배치와 상관없이 적절한 원들을 지우면 한 직선이 100개 이상의 원의 중심을 관통합니다.

    따라서 모든 직선이 원을 적어도 1개와 만나게 하려면 한 직선이 100개 이상의 원을 지난다.

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    • 아인수타인 2019.01.13 01:01:54

      그 100개 이상을 지난다는 걸 증명해야 합니다. 그냥 아무 증명이 없으면 너무 직관적이거든요.

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