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문제

[국가수리과학연구소] 국22. 까다로운 원 그리기

2018.10.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 22번째 문제입니다.

 

문제

끝없이 펼쳐진 평면 위에 원을 여러 개 그린다. 이때 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까? 단, 원의 개수는 제한이 없다.

 

 

댓글 38

  • 프로벤젠 2018.10.01 17:17:14

    직선이 접한 것은 원을 지난걸로 보나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:09:25

      좋은 지적이에요! 이 문제에선 접한 것도 지난 것으로 취급합니다.laugh

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  • 수학장 2018.10.01 18:51:41

    원끼리 겹쳐도 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:08:31

      네, 겹쳐도 됩니다!!laugh​​​​​​​

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  • muse 2018.10.01 19:52:32

    원의 크기는 무한히 클 수 있나요?

    원의 크기가 무한히 클 수 없다면 "무늬"를 만드는 방법밖엔 없습니다. 테셀레이션 같이요.

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    • 수학장 2018.10.01 20:36:35

      그런데 일정한 무늬가 반복되는 강한 규칙성을 띄면 어떤 직선에서 100개 이상의 원이 만날 수밖에 없어요

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    • muse 2018.10.01 20:53:07

      우선 "불가능하다"에 초점을 두고 풀어 보겠습니다.

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    • 프로벤젠 2018.10.02 17:38:07

      원이 무한히 클 수 있다면

      그냥 무한히 큰 원 한 개 그리면 바로 문제가 풀리니까

      원의 크기는 유한해야 할 것 같은데요?

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  • 바나나 2018.10.02 00:26:38

    각 원들의 반지름들은 같지 않아도 되나요?

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    • 아인수타인 2018.10.02 00:37:17

      제 느낌상으로는 달라도 될것 같네요.

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:20:39

      네, 반지름은 달라도 됩니다!!laugh

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  • 수돌이 2018.10.02 21:24:28

    음 왜 낯이 익지?

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  • ssamtkwon 2018.10.03 11:13:34

    점을 반지름이 0인 원으로 본다면 그리 어렵지는 않겠네요(예를 들면, y=1/x와 y=-1/x의 모든 점).

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  • Simon 2018.10.03 17:04:42

    실례를 보이겠습니다.

    우선, 반지름 = 0인 원(점원)을 이용할 수 있으니 그래프를 이용할 수 있을 것입니다.

    평면을 좌표평면으로 잡아 봅시다.

     

    그럼 이렇게 y = x^3의 그래프를 그릴 수 있을 것입니다. 그런데, y = ax+b\ \text {where}\ a,b\in \mathbb{R}과 교점을 구해보면,

    x^3-ax-b=0의 한 실근 \alpha (삼차방정식이기 때문에 실근이 무조건 존재)가 존재함을 알 수 있고, 따라서 (\alpha, \alpha^3)이 둘의 교점으로 존재한다는 것을 알 수 있습니다.

    다시말해, y = x^3의 그래프 모양으로 점원을 배치한다면 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나면서, 많아야 세 개의 원을 지남을 알 수 있습니다. 끝

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    • 구머 2018.10.03 18:14:56

      0 못쓰지 않나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.04 12:46:36

      문제를 출제한 백진언 연구원 님께서 좋은 접근이라는 의견을 주셨어요!.

      단, 이 문제의 본래 의도대로 반지름은 0보다 큰 걸로 제한한다고 합니다! laugh

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    • 아인수타인 2018.10.04 15:28:03

      아, 저도 학교에서 비슷한 방법 생각했는데 점원은 안되군요.

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    • 뉴턴의 사과 2018.10.05 10:44:13

      반지름 r\lim_{r\rightarrow 0}이라고 가정하면 안되나요?

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    • 아인수타인 2018.10.05 17:12:58

      그 생각은 저도 해보긴 했는데 3차함수는 x가 커질수록 기울기가 엄청 가팔라져서 완벽한 0이 아니면 x=(매우매우x구골플렉스 큰 수)의 직선이 100개 이상의 원을 지날 수 있습니다.

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    • 아인수타인 2018.10.05 17:15:27

      일단 틀릴거같긴 하지만 저도 의견을 내보겠습니다.

      위쪽에 muse님이 원의 크기가 무한해도 되냐고 물어보셨는데 그럴 수 없으니 '원으로 원 만들기'전략을 써보면 되...지는 않을 것 같지만 일단 써봅니다.

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    • 아인수타인 2018.10.07 01:35:48

      잠만, 뉴턴의 사과님 초6 아니었나요? 10월 5일은 금욜인데 어떻게 오전 10시에 댓글을 올렸지?

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    • Kid Milli 2018.10.07 01:37:58

      (설마 폰 내라 할 때 진짜 내시는 분은 없죠? ㅎ)

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    • Euler 2018.10.17 00:19:12

      오랜만 이네요 학교행사때문에 자주 접속 못했습니다.

      n차함수 모양으로(n은 2 이상) r이 0에 무한히 가까워 지게 배치하는경우 안되는거 증명하겠습니다.

      우선 함수의 어떤 부분이라도 x값이 커지면 y값도 급격히 증가하거나, 감소하는 부분이 있습니다.

      모든 직선이 지나가도록 하려면 이 부분에는 원이 함수의 그래프에 닿으면서 원끼리 서로 접하거나 만나야 합니다.

      우선 원은 y축 관점에서 봤을 때 모든 y좌표에 원이 가득 차있습니다.

      나머지는 걍 쓸게요.

      전 우선 '불가능하다'에 초점을 맞춰서 풀어 보겠습니다.

       

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    • Euler 2018.10.17 00:20:17

      제 노트북 펜으로 그린거라서 글씨체가 영 안좋네요.

      걍 댓글로 쓸걸 그랬나...

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  • Fermat314 2018.10.05 19:04:12

    /resources/comment/2018/10/96b1cb7b610f687f5d3b2eb66df43b49.jpg

    이런 방식으로 하면 가능할 수도 있을 것 같습니다.

    극좌표로 보면 더 쉬울 수도 있을 것 같은데, 원의 크기랑 위치를 잘 조절해야겠네요. 근데 막상 형태를 만들어도 모든 직선에 대해 100번 이하로 만남을 증명하기는 힘들 수도 있겠어요.

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    • 아인수타인 2018.10.07 01:31:48

      이런 사진은 링크 말고 댓글에 올려주시면 좋겠는데...

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    • Robot OP 2018.10.08 00:03:50

      근데 이것도 아아아아아아아ㅏㅇ아ㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏ주멀리 나아가면 직선1개가 100개 이상 관통하는 상황이 나옴

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    • 김우현 기자 2018.10.08 09:19:42

      이런 그림이군요!smiley

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  • 아인수타인 2018.10.06 00:02:30

    이런 식으로 했을때 빗금친 부분(경계 포함)에 많아도 99개의 원이 지나게 할 수 있나요? 일부분만 걸친 것도 지난 거라 봅니다.(단,이게 가능하다 해도 모든 직선이 적어도 1개 원을 지나야 한다는 게 함정...)

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  • 구머 2018.10.06 14:03:32

    @수학동아

    원의 크기의 최솟값을 정의해도 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.10 11:31:30

      최솟값을 정하는 건 자유지만, 굳이 정하지 않아도 된다는 의견!!laugh

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  • 새우튀김 2018.10.06 17:16:00

    제가 잘 모르기는 하는데,

    평면 위에 직선은 무수히 많으니까 평면 우에 평면만한 크기에 원을 그리고 빈공간을 원으로 채우면 어떨까요?

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    • 아인수타인 2018.10.06 17:30:36

      그 '평면'이 무한하니깐 문제죠. 맨 위쪽에 프로벤젠님께서 무한한 원은 사용할 수 없다고 설명되어 있습니다. (그리고 작은 원을 무한히 멀리 보내는 것도 불가능할 것 같습니다.(이유: 작은 원을 무한히 멀리 보내 무한한 원을 만들어버리면 바로 해결되기 때문))

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  • 아인수타인 2018.10.11 20:49:03

    오류제보: 문제 출제할 거 있는데, 매스펀에 '매스펀 작성하기' 버튼이 어디로 증발했나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.12 09:22:45

      방황하던 버튼을 제가 다시 끌고 왔습니다!devil

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  • 아인수타인 2018.10.15 00:30:38

    요새 폴리매스뿐만 아니라 다른 곳도 댓글 달리는 빈도수가 좀 준 거 같네요... (아님 착각인가...)

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  • 아인수타인 2018.10.21 01:11:42

    근데 '가능하다면'  요거 답 여러 개겠죠? (제 생각입니다.)

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  • jeuno 2018.10.22 23:26:27

    지름이 1인 원을 한 단위로 잡고 이 원을 중심에 그린뒤, 좌우로 소수 수치(2, 3, 5...)만큼 단위 원을 오른쪽은 위로, 왼쪽은 아래로 그리고 (시작지점이 (0, 0)이라면 오른쪽은 (1, 2), (2, 3)... 왼쪽은 (-1, -2), (-2, -3)...[단위는 원 하나])끝나면 왼쪽은 다음 소수 수치만큼 더 내리고 이를 반복, 오른쪽은 다음 소수 수치만큼 올리고 반복하는 방법은 가능할까요?

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