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문제

[국가수리과학연구소] 국22. 까다로운 원 그리기

2018.10.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 22번째 문제입니다.

 

문제

끝없이 펼쳐진 평면 위에 원을 여러 개 그린다. 이때 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나고 100개보다 더 많은 원을 지나지는 않게 그릴 수 있을까? 단, 원의 개수는 제한이 없다.

 

 

댓글 58

  • 프로벤젠 2018.10.01 17:17:14

    직선이 접한 것은 원을 지난걸로 보나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:09:25

      좋은 지적이에요! 이 문제에선 접한 것도 지난 것으로 취급합니다.laugh

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  • 수학장 2018.10.01 18:51:41

    원끼리 겹쳐도 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:08:31

      네, 겹쳐도 됩니다!!laugh​​​​​​​

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  • muse 2018.10.01 19:52:32

    원의 크기는 무한히 클 수 있나요?

    원의 크기가 무한히 클 수 없다면 "무늬"를 만드는 방법밖엔 없습니다. 테셀레이션 같이요.

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    • 수학장 2018.10.01 20:36:35

      그런데 일정한 무늬가 반복되는 강한 규칙성을 띄면 어떤 직선에서 100개 이상의 원이 만날 수밖에 없어요

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    • muse 2018.10.01 20:53:07

      우선 "불가능하다"에 초점을 두고 풀어 보겠습니다.

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    • 프로벤젠 2018.10.02 17:38:07

      원이 무한히 클 수 있다면

      그냥 무한히 큰 원 한 개 그리면 바로 문제가 풀리니까

      원의 크기는 유한해야 할 것 같은데요?

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  • 바나나 2018.10.02 00:26:38

    각 원들의 반지름들은 같지 않아도 되나요?

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    • 아인수타인 2018.10.02 00:37:17

      제 느낌상으로는 달라도 될것 같네요.

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    • 김우현 기자 2018.10.02 09:20:39

      네, 반지름은 달라도 됩니다!!laugh

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  • 수돌이 2018.10.02 21:24:28

    음 왜 낯이 익지?

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  • ssamtkwon 2018.10.03 11:13:34

    점을 반지름이 0인 원으로 본다면 그리 어렵지는 않겠네요(예를 들면, y=1/x와 y=-1/x의 모든 점).

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  • Simon 2018.10.03 17:04:42

    실례를 보이겠습니다.

    우선, 반지름 = 0인 원(점원)을 이용할 수 있으니 그래프를 이용할 수 있을 것입니다.

    평면을 좌표평면으로 잡아 봅시다.

     

    그럼 이렇게 y = x^3의 그래프를 그릴 수 있을 것입니다. 그런데, y = ax+b\ \text {where}\ a,b\in \mathbb{R}과 교점을 구해보면,

    x^3-ax-b=0의 한 실근 \alpha (삼차방정식이기 때문에 실근이 무조건 존재)가 존재함을 알 수 있고, 따라서 (\alpha, \alpha^3)이 둘의 교점으로 존재한다는 것을 알 수 있습니다.

    다시말해, y = x^3의 그래프 모양으로 점원을 배치한다면 평면 위의 모든 직선이 적어도 하나의 원을 지나면서, 많아야 세 개의 원을 지남을 알 수 있습니다. 끝

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    • 구머 2018.10.03 18:14:56

      0 못쓰지 않나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.04 12:46:36

      문제를 출제한 백진언 연구원 님께서 좋은 접근이라는 의견을 주셨어요!.

      단, 이 문제의 본래 의도대로 반지름은 0보다 큰 걸로 제한한다고 합니다! laugh

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    • 아인수타인 2018.10.04 15:28:03

      아, 저도 학교에서 비슷한 방법 생각했는데 점원은 안되군요.

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    • 뉴턴의 사과 2018.10.05 10:44:13

      반지름 r\lim_{r\rightarrow 0}이라고 가정하면 안되나요?

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    • 아인수타인 2018.10.05 17:12:58

      그 생각은 저도 해보긴 했는데 3차함수는 x가 커질수록 기울기가 엄청 가팔라져서 완벽한 0이 아니면 x=(매우매우x구골플렉스 큰 수)의 직선이 100개 이상의 원을 지날 수 있습니다.

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    • 아인수타인 2018.10.05 17:15:27

      일단 틀릴거같긴 하지만 저도 의견을 내보겠습니다.

      위쪽에 muse님이 원의 크기가 무한해도 되냐고 물어보셨는데 그럴 수 없으니 '원으로 원 만들기'전략을 써보면 되...지는 않을 것 같지만 일단 써봅니다.

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    • 아인수타인 2018.10.07 01:35:48

      잠만, 뉴턴의 사과님 초6 아니었나요? 10월 5일은 금욜인데 어떻게 오전 10시에 댓글을 올렸지?

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    • Kid Milli 2018.10.07 01:37:58

      (설마 폰 내라 할 때 진짜 내시는 분은 없죠? ㅎ)

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    • Euler 2018.10.17 00:19:12

      오랜만 이네요 학교행사때문에 자주 접속 못했습니다.

      n차함수 모양으로(n은 2 이상) r이 0에 무한히 가까워 지게 배치하는경우 안되는거 증명하겠습니다.

      우선 함수의 어떤 부분이라도 x값이 커지면 y값도 급격히 증가하거나, 감소하는 부분이 있습니다.

      모든 직선이 지나가도록 하려면 이 부분에는 원이 함수의 그래프에 닿으면서 원끼리 서로 접하거나 만나야 합니다.

      우선 원은 y축 관점에서 봤을 때 모든 y좌표에 원이 가득 차있습니다.

      나머지는 걍 쓸게요.

      전 우선 '불가능하다'에 초점을 맞춰서 풀어 보겠습니다.

       

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    • Euler 2018.10.17 00:20:17

      제 노트북 펜으로 그린거라서 글씨체가 영 안좋네요.

      걍 댓글로 쓸걸 그랬나...

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  • Fermat314 2018.10.05 19:04:12

    /resources/comment/2018/10/96b1cb7b610f687f5d3b2eb66df43b49.jpg

    이런 방식으로 하면 가능할 수도 있을 것 같습니다.

    극좌표로 보면 더 쉬울 수도 있을 것 같은데, 원의 크기랑 위치를 잘 조절해야겠네요. 근데 막상 형태를 만들어도 모든 직선에 대해 100번 이하로 만남을 증명하기는 힘들 수도 있겠어요.

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    • 아인수타인 2018.10.07 01:31:48

      이런 사진은 링크 말고 댓글에 올려주시면 좋겠는데...

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    • Robot OP 2018.10.08 00:03:50

      근데 이것도 아아아아아아아ㅏㅇ아ㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏ주멀리 나아가면 직선1개가 100개 이상 관통하는 상황이 나옴

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    • 김우현 기자 2018.10.08 09:19:42

      이런 그림이군요!smiley

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  • 아인수타인 2018.10.06 00:02:30

    이런 식으로 했을때 빗금친 부분(경계 포함)에 많아도 99개의 원이 지나게 할 수 있나요? 일부분만 걸친 것도 지난 거라 봅니다.(단,이게 가능하다 해도 모든 직선이 적어도 1개 원을 지나야 한다는 게 함정...)

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    • 바나나 2018.10.30 21:10:04

      원끼리 겹쳐도 상관은 없다 했으니 빗금친 부분에 원이 무한히 들어갈 수 있을 거라고 생각합니다

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  • 구머 2018.10.06 14:03:32

    @수학동아

    원의 크기의 최솟값을 정의해도 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.10 11:31:30

      최솟값을 정하는 건 자유지만, 굳이 정하지 않아도 된다는 의견!!laugh

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  • 새우튀김 2018.10.06 17:16:00

    제가 잘 모르기는 하는데,

    평면 위에 직선은 무수히 많으니까 평면 우에 평면만한 크기에 원을 그리고 빈공간을 원으로 채우면 어떨까요?

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    • 아인수타인 2018.10.06 17:30:36

      그 '평면'이 무한하니깐 문제죠. 맨 위쪽에 프로벤젠님께서 무한한 원은 사용할 수 없다고 설명되어 있습니다. (그리고 작은 원을 무한히 멀리 보내는 것도 불가능할 것 같습니다.(이유: 작은 원을 무한히 멀리 보내 무한한 원을 만들어버리면 바로 해결되기 때문))

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  • 아인수타인 2018.10.11 20:49:03

    오류제보: 문제 출제할 거 있는데, 매스펀에 '매스펀 작성하기' 버튼이 어디로 증발했나요?

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    • 김우현 기자 2018.10.12 09:22:45

      방황하던 버튼을 제가 다시 끌고 왔습니다!devil

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  • 아인수타인 2018.10.15 00:30:38

    요새 폴리매스뿐만 아니라 다른 곳도 댓글 달리는 빈도수가 좀 준 거 같네요... (아님 착각인가...)

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  • 아인수타인 2018.10.21 01:11:42

    근데 '가능하다면'  요거 답 여러 개겠죠? (제 생각입니다.)

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  • jeuno 2018.10.22 23:26:27

    지름이 1인 원을 한 단위로 잡고 이 원을 중심에 그린뒤, 좌우로 소수 수치(2, 3, 5...)만큼 단위 원을 오른쪽은 위로, 왼쪽은 아래로 그리고 (시작지점이 (0, 0)이라면 오른쪽은 (1, 2), (2, 3)... 왼쪽은 (-1, -2), (-2, -3)...[단위는 원 하나])끝나면 왼쪽은 다음 소수 수치만큼 더 내리고 이를 반복, 오른쪽은 다음 소수 수치만큼 올리고 반복하는 방법은 가능할까요?

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    • 아인수타인 2018.10.25 00:22:56

      근데 소수가 무한하긴 하다만 갈수록 듬성듬성 나타나서 좀... 아님 제가 이해를 잘못한 건가요?

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    • 바나나 2018.10.25 00:59:48

      아마 안될것 같습니다

      4번째 소수 7 다음은 5번째소수 11인데 중심에서 오른쪽으로 가는 원들중 4번째 원과 5번째 원의 사이에는 Y좌표로 8에서 10까지의 공간이 비어있게 됩니다

       

      (0.0)  (1.2)  (2.3) (3.5)  (4.7)  (5.11) 일때

      원의 반지름은 1이라 했으니 y좌표로만 8에서 10까지의 거리만큼이 비어있게 되므로 y=N (8<N<10) 인 직선들은 원을 하나도 통과하지 않습니다

       

       

      만약 제가 jeuno님의 글을 잘못이해한거라면 죄송합니다

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    • jeuno 2018.10.26 23:21:40

      바나나님의 말씀처럼 그렇게 하다보면 무한한 평면이지만 소수가 약간 더 작은 무한이 될거라고 생각합니다. 그래서 언젠가는 소수의 배열이 끝나는 점이 생길 것이고 그 점을 (a, b)라고 하면 초기 방식대로 (a+1, 2+2), (a+2, 3+2)인 점에서 추가로 원을 그려줍니다. 이 배열도 끝나면 다음엔 +3씩, 그 다음엔 +5씩 +'소수'씩... 진행합니다. 그리고 이 행동을 n번째 했을 때의 원의 배열을 A_{n}이라고 하면 이 A_{n}의 배열을 원점 대칭하면 양수쪽으로도 모두 덮고 음수쪽으로도 모두 덮는게 가능하지 않을까 하는 생각이었습니다. 이러면 이해가 더 될까요?

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    • 아인수타인 2018.10.27 00:25:54

      소수는 무한해서 끝나는 점 자체가 없습니다.

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    • jeuno 2018.10.27 19:56:25

      가정도 할 수 없는 무한이라면 불가능 하겠군요, 그럼 시도해볼 방법이 더 있을까요? 아니면 불가능한게 맞는 걸까요

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    • 아인수타인 2018.10.27 20:04:19

      불가능할것 같은 필이 나긴 한데... 저번에 국21번 문제에서 그런 적이 있어 확신은 못하겠네요

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  • 21세기오일러 2018.10.28 17:59:31

    오류제보: 핸드폰의 매스펀에 문제내는 버튼이 없습니다. 수정부탁합니다.

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    • 김우현 기자 2018.10.30 09:54:51

      제보 감사해요! 수정 완료했습니다!laugh

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  • 새우튀김 2018.10.30 21:09:13

    불가능한 것 같습니다. 단순히 생각하면 면이라는 게 무수히 많은 선으로 이루어졌기 때문에 평면의 크기가 무한하다면 무한히 많은 직선이 있는 거죠. 그런데 이때 여떻게 원을 채워도 닿을수가 없는 직선이 생길 수밖에 없다 생각합니다. 그 이유는 100개 이상의 원을 지나면 안된다는 사항이, 우리가 직선을 원하는 곳에 굿는 것은 아니기도 하고, 애초에 원의 크기가 유한해야 한다면 유한한 크기의 원을 그려도 무한한 평면의 다른 직선에는 닿을 수 없죠. 그런 식으로 그리면 어떻게든지 한 직선은 100개를 지나가게 되어 있습니다. 

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  • 바나나 2018.10.30 21:16:53

    만약 '원의 반지름이 무한하면 안 된다'라는 것이''원으로 만든 원'에는 해당하지 않는다' 고하면 가능할 것 같습니다

    '일정한 크기의 원들을 이용하여 서로 이웃한 원끼리 접하도록 무한히 큰 원을 그린다'라고 생각하면 어떤 직선이든 1개 이상의 원을 통과할 수 있을 것 같다고 생각합니다

     

    물론 아닐 것 같은 느낌이 들지만 말입니다

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    • 아인수타인 2018.11.23 22:58:07

      네, 저도 안 될 것 같습니다. 원으로 만든 원에 해당되지 않는다면 걍 한 방에 해결되거든요.

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  • 으아아아 2018.10.31 22:43:05

    원의 개수가 무한히 있어도 가능한 것으로 보나요??

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    • 수학장 2018.10.31 23:05:22

      네. 원의 개수에는 제한이 없습니다

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  • ৡ신수 2018.11.18 20:21:10

    문제가 조금 이해가 안되서 질문해봅니다.

    평면의 모든 직선이라 함은, 평면 위에 놓인 직선이 무수히 많다는건가요?

    ㅠㅠ

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    • 김우현 기자 2018.11.19 19:34:50

      네, 맞아요! 

      평면 위에 있는 어떤 직선을 골라도 위 조건을 만족하게 원들을 그릴 수 있는지 물어보는 문제라고 생각하면 쉬울 것 같아요!laugh 

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