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문제

[국가수리과학연구소] 국21. 내맘대로 숫자 레시피

2018.09.03

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 21번째 문제입니다.

 

문제1 

아래 숫자 5개를 전부 한 번씩만 쓰고, 사칙연산과 괄호만 이용해 숫자 38을 만들어라.

 

1   4   5   5   5 

 

 

문제2

1 이상, 9 이하의 숫자 5개를 고른 뒤, 이 숫자 5개로 문제1과 같은 방법으로 1부터 연속한 자연수를 가장 많이 만들 수 있는 방법은 무엇일까? 이때, 자연수는 1부터 연속해서 어디까지 만들 수 있을까? 예를 들어, 1 다섯 개로는 1부터 6까지의 수는 만들 수 있지만, 7과 8은 만들 수 없다.

 

※오타를 수정합니다.

문제2 4번째 줄에 '1부터 7까지의 수'가 아니라, '1부터 6까지의 수'입니다.

 

※알립니다.

누군가 친구가 소문제 1번을 해결했어요. 다들 정답을 확인해 보세요!! 

 

댓글 76

  • 프로벤젠 2018.09.03 18:22:48

    문제 1 증명과정

     

    /

    mod 5로 보자.

    38은 mod 5로 3이다.

    1,4,5,5,5로 3 (mod 5)를 만들 수 있는 것은 (4-1)밖에 없다.

    즉 3,5,5,5로 38을 만드는 것과 동일한데,

    이는 불가능하다.

    /

     

    혹시 이 증명에 오류가 있나요?

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    • 모두다같이 2018.09.04 22:05:49

      저두 3(mod5)인 수가 4-1 = 3 뿐인 줄 알았는데

      5×5-1-(5-4) = 23도 있긴 하네요!

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    • 프로벤젠 2018.09.06 23:02:43

      아 그럴수도 있겠네요.

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    • 뇌요미 2018.09.09 20:39:56

      그런데 mod 5가 23이라고 가정해도 38을 만드는 것은 불가능한 것 같습니다

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  • 프로벤젠 2018.09.03 18:28:23

    그런데 1 다섯 개로 7을 어떻게 만들죠?

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    • 수학장 2018.09.03 23:29:27

      문제가 잘못 된 것 같네요

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    • 김우현 기자 2018.09.04 09:28:40

      앗, 오타 죄송합니다! 백진언 연구원님께 확인한 결과 7이 아닌 6입니다!

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  • 수학장 2018.09.03 23:25:28

    1번 문제는 금방 풀릴 것 같은데...

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    • 바람개비 2018.09.05 01:19:08

      불가능합니다.

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  • 아인수타인 2018.09.04 00:14:29

    1 두개를 사용해 11로 만드는 게 가능한가요?

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    • 프로벤젠 2018.09.04 17:02:07

      안될 것 같은데요?

      1 다섯 개로 8을 만들 수 없다고 문제에 나와있는데,

      만약 1 두개로 11을 만들 수 있다고 한다면,

      11-1-1-1로 8을 만들 수 있으니 문제 조건에 모순되어 안될 것 같습니다.

       

      그리고 직관적으로 안될 것 같은 느낌이 강하게 나는데요?

       

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  • 시그마 2018.09.04 11:59:03

    문제 1 가능한거죠?

     

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    • 아인수타인 2018.09.04 15:03:20

      만약 불가능하다면 문제 1에서 '아래 숫자 5개를 전부 한 번씩만 쓰고, 사칙연산과 괄호만 이용해 숫자 38을 만들 수 있을까?' 라고 묻지 않았을까요?

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    • 프로벤젠 2018.09.04 17:04:19

      저는 느낌상 불가능할 것 같은데요.

      가능하다면 이를 문제로 내지는 않았을 것 같아요. 

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  • 아인수타인 2018.09.04 15:42:50

    엥, 근데 맨 위쪽에 대한수학회가 아니라 국가수리과학연구소 아닌가요? (대괄호 안에)

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    • 김우현 기자 2018.09.04 18:09:38

      crying

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  • 모두다같이 2018.09.04 20:04:44

    39,37,36,35,34같은건 만들겠는데 38은 아직 못만들었네요ㅠ

    41- (5+5)/5 = 39

    51-(4+5+5) = 37

    55-4×5+1 = 36

    155÷5+4 = 35

    54-(5+15) = 34

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    • 수학장 2018.09.04 21:29:44

      4랑 5를 45로 만드는 등의 연산은 불가능합니다

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    • 모두다같이 2018.09.04 21:47:57

      14를 1와 4한 번씩 썼다고 보면 안된단 거군요. 알겠습니다.

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    • 수학장 2018.09.04 22:08:58

      근데 그런 말은 안 쓰여 있어서 만약 문제 2의 8은 만들 수 없다.라는 말이 오타라면 될 것 같습니다. 이건 출제자분이 직접 언급해주셔야 할 것 같네요

      좋아요0
    • 모두다같이 2018.09.04 22:24:42

      앗 중간에 아인수타인님 댓글 밑에 걸린 프로벤젠님말대로 1 두개를 붙여 11로 만드는 방식은 아예 안되네요. 제가 프로벤젠님 댓글을 놓쳤군요..

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  • 김우현 기자 2018.09.05 09:21:19

    출제자 님께 등판을 요청했지만, 바쁘신 관계로 의견만 전달!

     

    ①숫자 1, 2를 12로 붙여쓰는 건 불가!angry

    ②문제 마지막에 "8은 만들 수 없다"는 오타가 아님!

    (단, 연속된 숫자를 못만든다는 의미를 강조하기 위해 8 앞에 7을 추가하겠습니다. angel)

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  • 수학장 2018.09.05 21:21:02

    근데 문제 둘 다 컴퓨터로 풀면 쉬울 것 같은데

    손으로 푸는 걸 원하는 건가요?

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    • 김우현 기자 2018.09.06 09:28:00

      반드시 그런 건 아니예요!

      출제자 님도 "프로그래밍 연습도 할겸, 프로그래밍을 이용해 문제를 해결하는 것도  좋을 것 같다"고 전했답니다.laugh

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  • 모두다같이 2018.09.06 22:44:44

    1,2,3,4,5를 뽑으면 괄호와 사칙연산을 통해 1부터 연속으로 얼마까지 만들 수 있을까요?

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    • 프로벤젠 2018.09.06 23:27:40

      1=3÷(1+2)×(5-4)

      2=(4-(5-3))÷2+1

      3=5×2-4-3×1

      4=4×(5-3-2+1)

      5=5×((3+2)×1-4))

      6=(5+1)×(2+3-4)

      7=(5+2)×(4-3×1)

      8=(5+3)×(4-2-1)

      9=(5+4)×(3-2×1)

      10=(5+4+1)×(3-2)

      11=(5+4+3-2+1)

      12=(5+4+3)×(2-1)

      13=(5+4+3+2-1)

      14=(5×3)-(3-2×1)

      15=(5+4+3+2+1)

      16=(5×4-3-(2-1))

      17=(5×4-3×(2-1))

      18=(5×4-3+2-1)

      19=(5×4-(3-2×1))

      20=(5×4×(3-2×1))

      21=(5×4+(3-2×1))

      22=(5×4+(3+1-2))

      23=(5×4+3×(2-1))

      24=(5×4+3+2-1)

      25=(5×(4+1)×(3-2))

      26=(5×(4+1)+(3-2))

      27=(5×(4+2)-3×1)

      28=(5×(4+2)-(3-1))

      29=(5×(3+2)+4×1)

      30=(5×(4+1)+3+2)

      31=???

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    • 프로벤젠 2018.09.06 23:31:01

      동참해 주실분 구합니다.

      그런데 예상보다 많이 나오네요...

      프로그래밍 등 다른 방법이 필요할 것 같습니다.

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    • 모두다같이 2018.09.07 15:09:30

      14에 3이 2개 있으셔서 14 = 3 x 4 + (5-2-1)

      로 다르게 나타내봤어요.

      그리고 31부터는..

      31 = (5+2) x 4 + 3 x 1

      32 = (5+2) x 4 + 3 + 1

      33 = (5+3) x 4 + 2 - 1

      34 = (5+3) x 4 + 2 x 1

      35 = (5+3) x 4 + 2 + 1

      36 = ( 5 + 3 + 2 - 1 ) x 4

      37 = 2 x 4 x 5 - 3 x 1

      38 = (5 + 3) x (4 + 1) - 2

      39 = (1+5) x (4+2) + 3

      40 = (4+2-1) x (5 +3)

      41 = (2x5+4) x 3 - 1

      42 = 5 x (4+3+1) + 2

      43 = (2x5 +4) x 3 + 1

      44 = (5 x 4 +2) x(3 - 1)

      45 = (3x1 +2) x (5+4)

      46 = 2 x (4 x 5 + 3 x 1)

      47 = 2 x (4 x 5 + 3) + 1

      48 = 4 x (5 x 2 + 3 - 1)

      49 = (3 + 4) x (2 + 5) x 1

      50 = 5 x (1+2+3+4)

      51 = 3 x (4 x 5 - 1 - 2)

      52 = 4 x (1 x 2 x 5 + 3)

      53 = 5 x (3 x 4 - 1) - 2

      54 = (5 + 4x1) x 3 x 2

      55 = 5 x (3 x 2 + 4 + 1)

      56 = (3 + 4) x (1 + 2 + 5)

      57 = 3 x 4 x 5 - 2 - 1 

      58= 3 x 4 x 5 - 2 x 1

      59 = 3 x 4 x 5 - 2 + 1

      60 = (1 + 4 + 5) x 3 x 2

      61 = 3 x 4 x 5 + 2 - 1

      62 = 3 x 4 x 5 + 2 x 1

      63 = 3 x 4 x 5 + 2 + 1

      64 = (3 + 5) x (1 x 2 x 4)

      65 = (3 + 5) x 2 x 4 + 1

      66 = (1 + 5) x (4x2 +3)

      67 = ??

      일일이 나열하면서 문제에 도움이 될 성질이 무엇일지 찾아야겠단 생각이 들어요..

       

      1번문제는 불가능할 것 같단 느낌만 드는데.. 불가능한 이유를 찾아보려해요.

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    • 권순용 2018.09.07 18:08:00

      혹시 1,2,3,4,5 로 74나 76을 만들 수 있나요?

      1~73, 75, 77은 만들 수 있어요.

      좋아요1
    • 모두다같이 2018.09.07 20:57:53

      74 = (5+1) x 4 x 3 + 2를 찾았어요.

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    • 아인수타인 2018.09.08 15:57:54

      권순용님이 물어보셨던 건 아니지만 78 = (3 + 1) x 5 x 4 - 2도 찾았어요.

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    • 아인수타인 2018.09.09 01:23:26

      요 대댓글과 별개지만 1,2,3,4,5말고 3,4,5,7,9를 쓴다면 76도 가능합니다.

      76=3 x 4 x 5 + 7 + 9

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  • 모두다같이 2018.09.07 15:56:23

    문제2번 1~9중 5개 고를 때 1,2,3,4,5같이 서로다른 경우 말고도

    1 4 5 5 5처럼 서로 같은 수를 여러 번 골라도 괜찮은건가요?

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    • 아인수타인 2018.09.09 01:06:36

      다시 보니까, 문제 자체에 1 다섯 개로는이라고 예가 나와 있어 중복도 가능할 것 같아요.

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  • 아인수타인 2018.09.08 15:51:05

    1,2,3,4,5뿐만 아니라 2,5,3,8,6등 5!=120가지(중복이 가능하다면 55=3125가지)나 살펴봐야 합니다. 제 생각에 손으로 계산하는 건 영 아니라고 보는데요.

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    • 프로벤젠 2018.09.08 17:54:39

      이번문제가 접근은 쉽지만 푸는게 어렵네요.

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    • 뇌요미 2018.09.09 20:45:22

      55는 3125가지이니 프로그래밍이 필요한 건 맞는 것 같습니다..

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  • muse 2018.09.08 17:24:46

    1번에 39는 여러 방법이 있는데 38은 어렵네요.

    뭔가 가능할 것 같은데...

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    • muse 2018.09.08 17:32:54

      문제와는 별개로 루트를 쓰면 가능합니다.

      4x(5+5)-sqrt(5-1)

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    • 아인수타인 2018.09.09 01:32:29

      처음엔 문제에서 '38을 만들어라'라고 해서 가능할것 같았더니 지금은 왠지 가능하다는 걸 보이기보단 불가능하다는 걸 증명하는게 나을 것 같아요.(나중에 댓글이 어떻게 달릴지 몰라 확신할 순 없지만)

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    • math 2018.09.09 10:48:43

      루트를 쓰면 이렇게도 38을 만들 수 있죠.

      (5*5-5-1)*sqrt(4)

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    • sincostan 2018.09.11 17:03:09

      일단 경우의수를 나눠 생각하는거 어때요?

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  • sincostan 2018.09.11 16:25:26

    아무래도  괄호가  힌트인 것 같은데요

     

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    • sincostan 2018.09.11 17:00:32

      문제1번 불가능한거 같은데

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  • muse 2018.09.11 20:39:17

    계산해 보니 수의 배치 방법 20가지, 연산기호 배치 4^4=256가지, 괄호의 배치 방법 42가지로 총 약 21만 가지입니다.

    코딩으로 해결하기 충분한 문제네요.

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    • sincostan 2018.09.11 22:29:18

      그것을 찾아봐서 없으면 답 확정이네요

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    • muse 2018.09.11 22:35:49

      /resources/comment/2018/09/2c77b3ae040cdda527bbde3938d81180.cpp

      (1)번 문제 코딩으로 풀었습니다. 답 없습니다.

      코드가 상당히 긴데, 파일로 첨부합니다.

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    • muse 2018.09.12 07:55:40

      코드에 사소한 오류가 있었네요. 수정했습니다. 역시 답 없습니다.

      /resources/comment/2018/09/874d1003d0eec65663ef7b301ac1badf.cpp

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    • 김우현 기자 2018.09.12 09:42:12

      백진언 연구원님에 따르면, 코드에 오류가 있는 것 같다고 합니다! 과연 정답이 있는 걸까요, 없는 걸까요??surprise

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  • ln -1=pi*i 2018.09.11 22:21:48

    처음 수를 x1 , y1 으로 시작하고 이 두가지로 할 수 있는 연산이 6가지니깐 처음 연산한 결과를 x2 다른 숫자를 y2 로 했을 때 이를 x4 , y4 까지 가게 해야하니  64 가지가 되고 이는 1296이니 1296가지 이네요. (문제 1)

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    • muse 2018.09.11 22:36:14

      괄호가 있잖습니까.

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  • sincostan 2018.09.11 23:06:52

    그럼 1번문제는 답이 나온 건가요?

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  • muse 2018.09.12 13:26:33

    나올 수 있는 괄호의 경우를 저는 42가지로 분류했거든요. (N은 수, O는 연산자)

    가짓수가 더 있을까요?

    "NONONONON", "(NON)ONONON", "(NONON)ONON", "(NONONON)ON", "NO(NON)ONON",
    "NO(NONON)ON", "NO(NONONON)", "NONO(NON)ON", "NONO(NONON)", "NONONON(ON)",
    "((NONON)ON)ON", "((NON)ONON)ON", "(NO(NONON))ON", "(NO(NON)ON)ON",
    "(NONO(NON))ON", "((NON)ON)ONON", "(NO(NON))ONON", "(NONON)O(NON)",
    "(NON)O(NONON)", "(NON)O(NON)ON", "(NON)ONO(NON)",
    "NO((NONON)ON)", "NO((NON)ONON)", "NO(NO(NONON))", "NO(NO(NON)ON)", "NO(NONO(NON))",
    "NO((NON)ON)ON", "NO(NO(NON))ON", "NO(NON)O(NON)", "NONO((NON)ON)",
    "(((NON)ON)ON)ON", "((NO(NON))ON)ON", "((NON)O(NON))ON",
    "((NON)ON)O(NON)", "(NO((NON)ON))ON", "(NO(NO(NON)))ON", "(NO(NON))O(NON)",
    "(NON)O((NON)ON)", "NO(((NON)ON)ON)", "NO((NO(NON))ON)", "NO((NON)O(NON))",
    "NO(NO((NON)ON))"
     

     

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    • sincostan 2018.09.12 15:27:01

      제 생각도 이게 끝인 거 같네요

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    • 누군가 2018.09.13 23:41:56

      연산기호 4가지의 연산순서만 정하면 되기 때문에 4!=24가지만 따져도 됩니다.

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    • muse 2018.09.15 01:27:52

      그런 좋은 방법이!

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  • 프로벤젠 2018.09.13 17:03:17

     

    /

    mod 5로 보자.

    38은 mod 5로 3이다.

    5를 곱하면 mod5로 0이 된다.

    또한 5를 더하는 것 또한 mod5로 변화를 주지 않는다.

    따라서 1,4만으로 3을 만들어야한다.

    이때 1,4,5,5,5로 3 (mod 5)를 만들 수 있는 것을 두 종류로 나누어 확인해보자

    1) 3을 만들때 5를 사용하지 않을 경우

    (4-1)이 유일하다.

    3,5,5,5로 38을 만들 수 없다.

     

    2) 3을 만들때 5를 사용할 경우

     

    1,4를 (5-4)혹은 (5-1)로 사용하거나

    5에 1,4를 더한 후 곱해야 의미가 있다.

     

    2-a-1) (5-4)사용

    1,1,5,5 사용하는 것과 동일.

    38은 만들 수 없다.

     

    2-a-2) (5-1)사용

    4,4,5,5 사용하는 것과 동일

    38은 만들 수 없다.

     

    2-a-3) (5-1), (5-4) 사용

    1)과 동일

     

    2-b-1) (5-4)와 곱할 때

    1,5,5 사용하는 것과 동일

    38은 만들 수 없다.

     

    2-b-2) (5+4)와 곱할때

    1,9,5,5 사용하는 것과 동일 (9는 곱하는 용도)

    38은 만들 수 없다.

     

    따라서 불가능하다.

    /

    처음 이용한 방식을 응용해 보았습니다.

     

    나중에 시간날때 완성시키겠습니다.

    오류 지적해 주시면 감사하겠습니다.

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  • 서러서차 2018.09.13 19:17:42

    nCr도 괄호라고 치나요?

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