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문제

[국가수리과학연구소] 국20. 겉과 속이 다른 사각형

2018.07.31

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

국가수리과학연구소의 20번째 문제입니다.

 

문제 가로와 세로의 길이가 모두 1인 정사각형이 있다. 이 정사각형을 넓이가 같지만 서로 합동은 아닌 직사각형 \huge n개로 나누고 싶다. 어떤 \huge n에 대해 이게 가능할까?

여기서 서로 합동이지 않다는 건 (직사각형을 돌리고 뒤집는 걸 허용해도) 임의의 두 직사각형의 가로와 세로의 길이가 동시에 같을 수 없다는 뜻이다.

 

 

※알립니다.

ㅇㅇ친구가 n=7인 경우, 나머지 경우는 Fermat314 친구가 풀었습니다. 이로써 20번 문제 해결 완료!

 

댓글 100

  • 로빈QK 2018.08.18 09:19:39

    근데 n값은 하나인건가?

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    • 냐뇨기 2018.08.24 16:51:46

      아닐걸요?

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  • 로빈QK 2018.08.18 09:26:03

    정사각형이 무수히 많은 모눈으로 나누어져있다고 생각하면 (전체 모눈 갯수)/n 이 n개로 나누었을때 한 직사각형의 크기인 것이고 그러면

    n= (전체 모눈 갯수)/n 을 두 수의 곱으로 나타낼수 있는 경우의 가짓수

    가 되야 하겠네요.

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  • 냐뇨기 2018.08.23 18:07:13

    n의3아닌가요?

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  • 바람개비 2018.08.24 01:47:10

    문제를 3차원으로 확장시켜서

     

    "어떤 정육면체를 부피가 같지만 모양이 서로 다른 직육면체 n개로 나누고 싶다. 어떤 n에 대해 이게 가능할까?"​​​

     

    로 바꾸면 n의 값이 존재할까요?

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    • 프로벤젠 2018.08.26 19:14:16

      2차원에서의 문제를 3차원으로 확장하는 것이 더 어렵지 않을까요?

      오히려 "어떤 정육면체를 부피가 같지만 모양이 서로 다른 직육면체 n개로 나누고 싶다. 어떤 n에 대해 이게 가능할까?"

      를 풀기 위한 보조정리로 본 문제가 필요하지 않을까요?​​

      그냥 추측입니다^^

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    • 권순용 2018.09.29 19:23:22

      oo님과 Fermat314님에 의해 증명된 것 같으니 3차원으로 확장시키면 n\leq 7이겠네요. 물론 각 직육면체가 합동이 아니면서 가로, 세로, 높이가 다 다른 직육면체라면 모르겠지만요.

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  • 냐뇨기 2018.08.24 14:14:17

    두께도 있지 않나여

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  • 카오스 2018.08.27 23:43:28

    거꾸로 해 보는 건 어떨까요?

    x를 직사각형이라고 생각하고 n을 구할수 있을라나?....

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  • 카오스 2018.08.28 00:08:57

    사진이 돌아갔네요 그런데 직사각형 한 변의 길이를x라고하면 남은 한변의 길이는 1-x입니다

    (정사각형 한 변의 길이가 1이기 때문)

    그럼 직사각형 1개의 크기는 x*x2이므로 이 크키를 2로 나누면 2분의  x*x2가 됩니다. 따라서 다음 직사각형의 가로또는 세로는 2와  2분의  x*x2이므로 이런 식으로 나누는 수를 바구면 됨니다. 그런데 x에는 1은 들어갈수 없습니다.(1-x 이기 때문)

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  • 김우현 기자 2018.08.29 09:11:56

    ----댓글 63개 돌파-----

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  • 아인수타인 2018.09.03 15:16:58

    아직 되는지 안되는지는 모르겠지만 된다면 마지막에 나누기 직전의 공간이 직사각형이 아니라 오목육각형이어야 할 거 같은데요? (마지막에 직사각형이 되면 그걸 반으로 나누기 때문에 합동이 돼버리기 때문)


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  • 아인수타인 2018.09.03 15:32:04

    또는 불가능할 경우엔 귀류법으로 할 수도 있지 않을까요? (물론 그냥 추측입니다.)

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  • 뇌요미 2018.09.09 20:53:16

    n이 짝수일 때를 생각해 보면 분모가 0인 식이 최종적으로 나오기 때문에 n은 홀수 입니다

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  • 뇌요미 2018.09.09 20:57:40

    1/n=(1/n-3)(n-1/n-1/(n-2)의 값이 성립되는 홀수여야 하는데 그것은 불가능함으로 불가능한 것이다

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  • ㅇㅇ 2018.09.13 21:39:00

    N=7 인 경우 성립합니다.

     

     

    증명은 하지 않았지만 6이하의 N에 대해서는 성립하지 않고, 8이상의 N에 대해서는 성립할 것 같습니다.

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    • 김우현 기자 2018.09.20 11:17:46

      출제자의 코멘트~~~.

      n=7인 경우에 잘 풀었다고 말씀하셨어요! 더불어 조금 더 밀어붙이면 다른 경우도 해결할 수 있을 것 같다고 합니다!blush

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    • 김우현 기자 2018.10.30 16:07:08 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • ㅇㅇ 2018.11.09 20:41:19 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • 바람개비 2018.09.15 00:41:47

    관리자님, 두번째 댓글창 버튼에 문제가 있는 것 같습니다.

    페이지 오류인가요?, 의도적으로 그렇게 하신건가요?

     

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    • 김우현 기자 2018.09.20 11:09:26

      전산오류로 2번 째 게시판에 댓글 작성하기 버튼이 먹통이 됐었어요. 바람개비 친구의 제보로 발빠르게 수정했습니다. 고마워요, 바람개비 친구!angel

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  • 수돌이 2018.09.15 04:24:38

    ㅇㅇ님, 안쪽에 있는 두 직사각형의 넓이가 1/7이 아닙니다..!

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    • 김우현 기자 2018.09.20 11:14:11

      오랜만이에요, 수돌이 친구!

      아래 초록색으로 표시한 두 사각형 말이죠???!surprise

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    • 수돌이 2018.09.20 15:18:08

      어? 1/7맞네.. ㅈㅅ합니다

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    • 김우현 기자 2018.09.20 17:12:54 비밀댓글
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    • 수돌이 2018.10.02 21:25:33 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • Fermat314 2018.09.23 22:08:34

    n=7일 때 되네요.. 제가 저거랑 똑같은 형태로 했을 때는 안됐는데 아마 계산 오류가 있었나 봅니다. 아무튼 문제는 7이상인 모든 자연수 n에 대해 성립한다는 답으로 해결되었습니다. 이제 설명하죠.

     

    제가 이 문제를 접하고 제일 먼저 발견한 것은 정사각형을 직사각형으로 변환할 수 있다는 것이었습니다. 정사각형을 가로로 a배, 세로로 b배 늘려도 각 내부직사각형의 넓이는 모두 같으니까요. 그리고 이것이 가능하므로, 임의의 n에 대해 정사각형 분할이 가능하다면 넓이가 같고 변의 길이가 1인 직사각형을 붙인 뒤 정사각형으로 압축시키면 된다고 생각했습니다. 예를 들어 지금 n=7일 때 성립하므로 1×1/7직사각형을 맨 위에 붙이고 세로방향으로 직사각형을 7/8배 압축시키고, 이 정사각형 맨왼쪽에 1×1/8직사각형을 붙이고 가로방향으로 8/9배 압축시키고, 이를 반복하면 7이상인 모든 n에 대해 성립합니다.

     

    그러나!

     

    한 가지 간과한 것이 있다면, 압축했을 때 합동이 나오는 경우가 간혹 가다가 생긴다는 것입니다. 예를 들어 2×6과 3×4직사각형이 있을 때, 가로로 1/2배 압축하면 2×3과 3×2가 나와 합동입니다. 하지만 그래도 아직 위의 논리를 전개시킬 수 있습니다. 왜냐하면 압축은 n/n+1배(n은 7이상의 자연수)로만 진행되기 때문입니다. 또한, 덧붙이는 과정에서의 직사각형들은 모두 항상 합동이 아니고 n=7의 직사각형들과도 합동이 아니기 때문입니다. 따라서 n=7일 때의 직사각형들끼리만 압축을 진행시킬 때 합동이 아닌지 보면 됩니다. ㅇㅇ님이 보내신 그림의 직사각형들을 보면 배수관계에 있는 변들은 14/25, 5/7, 14/15뿐입니다. 압축을 해도 (유리수+무리수)가 항상 배수관계에 있으므로 이뿐임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, n/n+1*n+2/n+3*•••배(n=7,8입니다. 왜냐하면 가로방향 압축은 새로방향 압축에 영향을 주지 못하고, 그 반대도 마찬가지이므로 두 가지 경우에 대해 해봐야하고, n=7일 때 성립하기 때문입니다.)를 계속 진행했을 때 값이 위의 세 분수가 나오는지만 보면 이 문제는 해결입니다.(변이 유리수인 직사각형은 항상 다른 직사각형과 합동이 아니므로 고려할 필요가 없는 건 다들 아시죠?)

     

    계산을 해보면, 14/15는 값이 나오지 않음을 쉽게 알 수 있습니다(계속하면 값은 0으로 수렴하므로). 이제 5/7과 14/25를 보죠. 5/7=0.7142...,이고, 14/25=0.56입니다.

     

    7×9×11/8×10×12=0.7218...입니다. 7×9×11×13/8×10×12×14=0.6703...입니다. 8×10×12/9×11×13=0.7459...입니다. 8×10×12×14/9×11×13×15=0.6961...입니다.

    7×9ו••×19/8×10ו••×20=0.5638...입니다. 7×9ו••×21/8×10ו••×22=0.5382...입니다. 8×10ו••×22/9×11ו••×23=0.5654...입니다. 8×10ו••×24/9×11ו••×25=0.5428...입니다.

    따라서 5/7과 14/25도 나오지 않습니다.

     

    이상으로, 압축을 진행해도 모든 직사각형은 합동이 아니고, 문제는 n=7이상인 모든 자연수에 대해 성립한다는 답을 내놓으며 해결되었습니다.

     

     

    제 논리 전개에 부족한 부분 있으면 알려주세요.

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    • Simon 2018.09.25 20:47:16

      아..... 조금 다른 방법으로 증명한 다음에 들어와 보니 이미 증명이 있네요.

      n = 1~6까지도 처리해 주셔야 할 것 같은데 제가 올리는 건 예의가 아닌 것 같아 그냥 지나가겠습니다.

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    • Fermat314 2018.09.26 13:24:14

      n=1~6일 때를 증명 안 했네요. 사진으로 첨부할게요.

      /resources/comment/2018/09/452a6692b541e4ee7595854c4e6373af.jpg

      /resources/comment/2018/09/f121c967e3023683964ce16751c28400.jpg

      /resources/comment/2018/09/16c9d28eda7c13288b0b5a211ba210ea.jpg

      이로써 n=1~6일 때 불가능하다는 게 증명되었습니다. n=6일 때는 경우를 다 나타내진 않았지만 모든 분할이 다 저 논리 안에 있으므로 나머지는 쉽게 알 수 있을 거에요.

       

      오류 있으면 수정해주세요.

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    • 김우현 기자 2018.09.27 09:32:54

      백진언 연구원 님이 열심히 검토 중이니 잠시만 기다려주세요!!laugh

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    • Fermat314 2018.09.29 16:56:57

      아 그리고 설명을 안 한 게 있는데, 증명 과정을 좀 더 명확히 하기 위해 좀 더 설명하겠습니다.

       

      첫 번째 사진에서 보인 것은 최소분할이 가능한 모양(직사각형이 실제로 합동이 되는지에 관계없이, 합동이 자명한 직사각형이 없는 모양을 말합니다. 이 모양을 최소분할모양이라 부르겠습니다.)이 n이 최소 4이상일 때 가능하다는 것을 말한 것입니다. 최소분할모양이 되려면 정사각형의 한 변을 공유하는 직사각형이 있으면 안 된다는 것이죠. 단, 최소분할이더라도 최소분할모양은 아닐 수 있습니다. 이는 뒤에 설명하겠습니다.

      n=4일 때 최소분할모양이 아님은 자명하고, n=5일 때는 2번째 사진에서 나온 모양이 최소분할모양입니다. 하지만 이 모양은 테두리의 모든 직사각형이 합동이므로 최소분할이 아님을 증명했습니다. n=5일 때 최소분할 모양은 2번째 사진 모양 말고는 없습니다.

      3번째 사진은 n=6일 때 최소분할 모양이 나올 수 있는지에 대해 경우를 나누어 구한 것입니다. 결과적으로 n=6일 때 최소분할모양은 없습니다.

      그런데 n=6일 때 설명하지 않은 경우가 있는데, 바로 최소분할모양(지금까지 나온 최소분할모양은 n=5일 때뿐입니다.)에 1×1/5 직사각형을 붙이는 경우입니다. 이 경우 최소분할모양은 아니더라도 최소분할은 가능할 수 있습니다. 하지만 이 모양도 n=5일 때 모양에서 마주보는 직사각형은 항상 합동이므로 합동인 직사각형이 나와 조건을 만족하지 않습니다. 즉, n=6일 때도 최소분할이 되지 않습니다.

       

      정리하자면, 어떤 n에 대해 최소분할이 가능하다면  n일 때 최소분할모양이거나, 최소분할모양에 직사각형을 덧붙인 모양이어야 합니다.(최소분할모양일 때 최소분할이어야 할 것 같지만, 합동이 되는 경우가 있고, 직사각형을 덧붙이면 합동이 아니게 될 수 있기 때문입니다.) 그런데 최소분할모양은 n=5 이상일 때만 가능하고, n=5일 때는 최소분할모양이 존재하고 n=6일 때는 존재하지 않습니다. n=5일 때 최소분할이 안 됨은 증명했고, n=6일 때 최소분할이려면 최소분할모양에 덧붙인 모양이어야 하는데 이것마저도 조건을 만족하지 않기 때문에 n=7 이상부터 최소분할이 가능합니다. 그런데 n=7일 때 최소분할이 가능함을 ㅇㅇ님이 증명하셨고, 제가 제일 처음 쓴 댓글의 논리대로 n=7이상인 모든 n에 대해 조건을 만족하는 분할이 가능합니다.

       

      제 생각으로는 n=8 이상에서 만족하는 모양이 발견되었다면 증명이 훨씬 더 어려웠을 것 같네요.

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    • 김우현 기자 2018.10.05 09:27:46

      경우의 수가 많아서 검토하는 데 시간이 조금 걸린다고 해요. 조금만 더 기다려주세요!!crying

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    • Fermat314 2018.10.05 18:51:02

      네 :)

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    • 김우현 기자 2018.10.10 18:04:18

      오래 기다리게 해서 미안해요, Femat314 친구! 방금 도착한 백진언 연구원 님의 따끈따끈한 코멘트를 전달합니다. 부족한 부분이 있지만, 아주 잘 풀었다고 해요!

       

      ①올려준 사진 중 맨 마지막 사진에서 '직사각형을 분할할 때 위의 그림처럼 분할하면 나머지 직사각형도 또 분할해야 한다'는 게 어떤 뜻인지 좀 더 명확하게 설명해 줄 수 있나요? (그림이 두 개의 작은 직사각형(넓이 \frac{1}{n})을 나타내는 건지, 아니면 한 직사각형의 변의 길이가 1이라는 걸 말하는 건지)

      ②전체적인 흐름은 맞지만, 부족한 논리가 하나 있어요!

       

       

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    • Fermat314 2018.10.13 18:44:09

      마지막 사진은 n=6일 때 최소분할모양이 가능한지 알아보기 위해 설명한 그림입니다. 그림처럼 나눈다는 것은 한 변의 길이가 1인 선분으로 정사각형을 나누는 것입니다. 경우를 나누어서 보면, 나누었을 때 넓이가 1/n인 직사각형이 있으면 나머지가 최소분할모양이어야 하므로 안 됩니다(이 경우는 n=5일 때의 최소분할모양에 1/6×1 직사각형을 붙인 경우밖에 없습니다.). 다른 경우도 마찬가지로 각 나눈 부분이 최소분할모양을 가지고 있어야 하는데, 그러면 n이 10 이상이어야 하므로 안 됩니다.

      따라서 최소분할모양을 만들기 위해서는 한 변의 길이가 1인 선분이 정사각형 내부에 있으면 안 됩니다.

       

      설명이 좀 애매하긴 하네요... 

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    • 김우현 기자 2018.10.15 11:41:20

      Fermat314 친구!

      '최소분할모양'이 사각형의 개수가 최소인 문제의 조건을 만족하는 배치를 의미하는 건가요?surprise

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    • Fermat314 2018.10.17 19:58:18

      아니요, 명백히 합동인 두 직사각형이 존재하지 않도록 하는 분할 모양을 최소분할모양이라고 했습니다. 제가 용어를 약간 혼용해서 사용했을 수 있는데, 꼭 최소 개수로 나누는 것이 아니어도 됩니다. 그리고 최소분할모양이더라도 실제로는 합동인 직사각형이 있을 수 있습니다(n=5일 때가 그 예시죠).

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    • 김우현 기자 2018.10.30 10:03:29

      Fermat314 친구 정답입니다!

      문제를 출제한 백진언 연구원 님께서 "n이 6 이하일 때 불가능하다는 증명의 설명이 조금 부족하지만, 전체적인 흐름과 논리가 맞기에 정답을 줘도 될 것 같다"고 하셨어요. 이로써 20번 문제 해결!

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    • 김우현 기자 2018.10.30 16:06:35 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • 김우현 기자 2018.11.05 09:39:10 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • 김우현 기자 2018.11.06 09:11:38 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • 김우현 기자 2018.10.30 10:05:28

    국가수리과학연구소 20번 문제는 n=7인 경우를 증명한 ㅇㅇ 친구와 나머지 경우를 증명한 Fermat314 친구를 정답자로 인정합니다! 모두 수고했어요!!laugh

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    • Fermat314 2018.10.31 18:15:47 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • 김우현 기자 2018.11.01 11:53:35 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • Fermat314 2018.11.03 16:47:42 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • Fermat314 2018.11.06 20:00:04 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.