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문제

[국가수리과학연구소] 국20. 겉과 속이 다른 사각형

2018.07.31

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

국가수리과학연구소의 20번째 문제입니다.

 

문제 가로와 세로의 길이가 모두 1인 정사각형이 있다. 이 정사각형을 넓이가 같지만 서로 합동은 아닌 직사각형 \huge n개로 나누고 싶다. 어떤 \huge n에 대해 이게 가능할까?

여기서 서로 합동이지 않다는 건 (직사각형을 돌리고 뒤집는 걸 허용해도) 임의의 두 직사각형의 가로와 세로의 길이가 동시에 같을 수 없다는 뜻이다.

댓글 78

  • 수돌이 2018.07.31 22:15:34

    와 잠만 이거 모든n에 대해서 다 안될각인데

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    • 구머 2018.07.31 23:19:21

      ㅇㅈ..저 정사각형 조건 땜에 계속 터짐

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  • 21세기오일러 2018.08.01 10:11:06

    n이1이면 가능하지않나요?

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    • math 2018.08.01 11:01:13

      문제에서 직사각형 n개로 나누고 싶다고 했으므로, n이 1이라면 나누는 것이라고 정의하기 애매하지 않을까요?

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    • 21세기오일러 2018.08.01 12:57:02

      직사각형 1개로 나누는 것도 가능한 것 아닌가요?

      1개로도 나눌수는 있습니다.

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    • math 2018.08.01 13:01:32

      나눌수야 있기는 한데... 네이버 국어사전에 '나누다'라는 뜻을 찾아보면, '나누다:하나를 둘 이상으로 가르다.'라고 나와있어서 하나를 하나로 가르는 것은 조금 애매한 것 같습니다.

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    • 21세기오일러 2018.08.01 13:06:11

      '갈라떨어지게 하거나 분류하다'

      가 다음 사전에나온 정의 인데

      1개의 덩어리로 갈라떨어지게 하는것도 가능하지 않을까요?

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  • 바람개비 2018.08.01 11:58:17

    만약 가능하다면 타일로 만들어서 방 꾸미면 멋지지 않을까요?

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    • 바람개비 2018.08.02 11:12:08

      그런데 문제가 너무 쉬우면 추가 문제가 있던거 같은데 맞나요?

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    • math 2018.08.02 11:37:40

      네! 아주 예전에 금칙어 집합 문제가 추가문제로 나온 적이 있었습니다!

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  • Euler 2018.08.01 17:58:26

    이런 아이디어로 접근하면 될것 같아요.

    n>3일때 가능

    맞는지는 잘 모르겠네요.

    작도방법

    1. 아래쪽 변의 n등분점 중 사각형의 왼쪽 아래 지점과 가까운 점을 잡는다.

    그림과 같이 직사각형을 만든다. 그러면 그 사각형의 넓이가 1/n이 된다.

    2. 넓이가 n-1/n인 직사각형의 세로를 1/n-1로 나누고 1과 같은 방법으로 자른다. 그러면 그 직사각형의 넓이도 1/n이 된다.

    이와 같은 방법으로 계속 분할하면 분할됩니다.(아마도)

    n이 4 이상인 이유는 나중에 올릴게요.

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    • 구머 2018.08.01 18:13:24

      저러면 맨 마지막에 직사각형을 반으로 나눠야 하는 참사(?)가 생깁니다..

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    • Euler 2018.08.01 18:47:26

      그러네요. 뭔가 모양을 변형시키면 될것 같아요.

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    • 냐뇨기 2018.08.24 12:36:37

      맞는거 같네요!!

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  • 여백 패르마 2018.08.02 08:24:39

    어떤 n이기 때문에 예만 찾으면 되지 않나요??

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    • 바람개비 2018.08.04 22:16:51

      n의 값 알면 그러고 싶지 않으실 텐데....

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  • 여백 패르마 2018.08.03 14:32:18

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    • 여백 패르마 2018.08.03 14:34:19

      요거 수학동아 애르되쉬 만화에 있는데. 정시각형을 정사각형으로 나눈것이므로 이 문제의 예에 포함됩니다. n=21입니다.

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    • 깜냥 2018.08.03 14:34:32

      정사각형을 넓이가 같지만 합동은 아닌 직사각형들로 나누는 것입니다!!

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    • 여백 패르마 2018.08.03 14:35:35

      아....

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    • 매쓰 2018.08.23 01:15:38

      직사각형에는 정사각형도 포함이 되니까 맞지 않나요?

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    • 매크로장인 2018.08.23 18:23:07

      정사각형도 직사각형에 포함되기는 하지만 위 정사각형들의 넓이가 서로 같지 않습니다.

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    • 모두다같이 2018.08.28 21:08:42

      구글에 Squaring the square 이라 검색하면 더 많은 경우를 찾아볼 수 있네요!

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  • 대구고 LHC 2018.08.04 03:41:05

    일단 기하학적으로는 답이 없는 것 같고 완전수나 약수의 개념을 잘 이용해보면 접근할 수 있지 않을까싶네요.

    그리고 길이가 1인 정사각형을 n배 확대해서, 길이가 n인 정사각형을 넓이가 n인 직사각형 n개로 푸는 것이 편할 듯 합니다

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    • 바람개비 2018.08.04 22:21:02

      추가하자면, 굳이 정사각형이 아니라 직사각형이여도 되요.

      그런데 이 문제와 완전수와 무슨 연관성이 있는지?

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  • 정17각형 2018.08.04 16:29:39

    일단 직사각형 조각의 변이 모두 유리수인 경우에서는 유리수 변의 분모를 통분해 자연수로 생각하는 것이 편할 것 같습니다. 굳이 정사각형의 변의 길이가 n일 필요는 없고 직사각형의 변이 모두 자연수가 될 때까지 늘리면 될 것 같네요. 

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    • 바람개비 2018.08.04 22:31:02

      그러면 변의 길이가 유리수와 무리수가 같이 나오는 경우는 어떻게 접근을 하나요? 유리수와 무리수로 나누어서 해결하려면 시간이 굉장히 걸리게 될거라 생각합니다.

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  • ssamtkwon 2018.08.05 16:25:35

    만약 k(1은 제외)에 대해 가능하다면, 조건을 만족하도록 나누어 놓은 가로 1 세로 1 정사각형을 가로 1 세로 (k/k+1) 직사각형으로 변형시킨 다음, 위에 가로 1 세로 (1/k+1) 직사각형을 올리면 k+1에 대해 조건을 만족하는 정사각형이 되네요. 즉 k보다 같거나 큰 모든 수에 대해 가능합니다.

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    • 바람개비 2018.08.05 17:51:06

      조건을 잘 살펴보길 바랍니다.indecision

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    • ssamtkwon 2018.08.05 21:01:08

      약간 수정해야겠네요. (1/k+1)두께의 직사각형을 한번은 위쪽, 한번은 오른쪽 이렇게 번갈아가면서 붙여야 하는군요.

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  • algebra 2018.08.05 22:53:37

    위에 Euler 님이 하신 것처럼 직사각형을 분할하면 안 될까요? 대신 바깥쪽에서부터 안쪽으로 나선형으로 배치하는 건 어때요?

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  • algebra 2018.08.05 23:00:56

    아 그래도 마지막에 적어도 두 개의 직사각형이 합동이 되는 사태가 발생하네요...

    한 변이 1/n인 직사각형으로 분할을 시작하는 방법은 불가능할 것 같아요.

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  • algebra 2018.08.05 23:17:42

    Euler님 방법이나 제 방법대로 하는 것은 결국 정사각형을 최소한의 길이의 변을 가진(또는 가로와 세로의 길이 차가 가능한 한 큰) 직사각형들로 차례차례 나누는 방법이에요.

    이런 식으로 정사각형을 나누면 짝수 번째 직사각형들과 홀수 번째 직사각형들로 나누어 생각할 수 있을 것 같은데...

    n이 홀수일 때랑 짝수일 때도 달라질 것 같아요.

     

     

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  • 구머 2018.08.05 23:47:10

    우선 제가 생각해보고 잇는 그림입니다(저기서 크기 조절을 좀 해야 겠네요)

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    • algebra 2018.08.06 00:18:51

      가운데 맞붙어 있는 두 직사각형이 합동이 아니면 불가능한 모양이네요ㅠㅠ

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    • 구머 2018.08.06 00:19:32

      저건 왼쪽꺼를 아래쪽으로 끝까지 내리면 될듯

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  • algebra 2018.08.06 00:22:07

    아무래도 정사각형을 나눌 때 어떤 두 개 이상의 직사각형들이라도 새로운 직사각형 모양을 만들면 안 될 것 같아요.

    아까 구머 님도 가운데 두 직사각형이 새로운 직사각형 모양을 만들어서 합동이 될 수 밖에 없었고, 그 전에 여러 분들께서도 그런 점이 있었던 걸 보면 말이에요~

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  • 연속체가설 2018.08.06 09:37:18

     x=한 직사각형의 크기 y,y'=가로의 길이 z,z'=세로의 길이x÷y=z,x÷y'=z'이고 x=1÷n의 꼴이므로 y+y'=1,z+z'=1,y=/y' or z=/z'의 세 식은 동시에 성립될 수 없다고 알기에 불가능하다고 생각합니다.

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  • 대구고 LHC 2018.08.07 00:39:08

     

    오른쪽 그림 혹시 합동이 있는지 확인가능할까요?

    일단 이렇게 안으로 꼬여들가는 모양을 구해보면 계속날올것 같은데 그 때 직사각형 개수가 합동 존재 여부의 관건이 되지 싶어요

    일단 가능할 것 같은 다른 모양도 찾아보겠습니다.

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    • 구머 2018.08.07 01:18:16

      맨 왼쪽 직사각형을 빼고 가로를 확장시키면 1개 줄어듭니다.

      그런데 이게 저런 '틀'을 맞추는 건 꽤 할만한데 틀에서 길이를 맞추는게 보통일이 아니더라구요..ㄷㄷ

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    • 대구고 LHC 2018.08.07 01:31:40

      일단 각각의 직사각형의 길이를 다 구해서 합동이 있는지 없는지 확인하고, 그린 그림처럼 나올 수 있는지 확인해 봐야할 것 같아요.

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  • 수학장 2018.08.07 13:13:30

    "어떤 n에 대해 가능할까?"라는 게 "가능한 n을 구하라"는 게 아니라 "가능한 n이 하나라도 있으면 옳은 것이고 모든 n에서 불가능하면 옳지 않은 것이다"고 해석하면 되죠?

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    • 바람개비 2018.08.07 17:10:28

      어감이 중의적이긴 하지만 출제자분이 정답을 몰라서 올린건 아닐테고, 만약 조건을 만족하는 n이 없다면 그 경우에 대해 증명하라고 문제에 덧붙였겠죠.

      그렇더라도 없다는 가능성을 배제하면 문제를 제대로 해결할 수 없다는 건 확실하다 봅니다.

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    • ssamtkwon 2018.08.07 17:17:29

      그냥 n이 존재한다면 모두 구하라는 게 아닐까요? 제가 위에 올린 댓글을 보면 n의 값을 하나만 안다면 모두 구하는 건 어렵지 않을 겁니다.

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    • 정17각형 2018.08.09 18:20:04

      ssamtkwon님 정사각형 자체를 변형할 때 기존에 합동이 아니던 사각형이 합동이 되는 경우가 있습니다. 아무래도 그 방법은 안 될 것 같습니다. 

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    • ssamtkwon 2018.08.10 12:56:01

      합동이 아니던 사각형들을 일정한 비율로 축소했는데 어떻게 합동이 아닐 수가 있죠?

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    • 바람개비 2018.08.10 15:55:57

      합동일 수도, 아닐 수도 있습니다.

      바람개비 무늬의 정사각형 타일에서 직교하는 직사각형 2쌍은 합동이지만 비율을 변형하면 각 쌍이 서로 합동이 아닌 것의 역이라 생각하면 됩니다.

      그래도 만족하는 k가 존재함에 같이 만족하는 더 큰 값들이 무한함을 보이는데 저 방법이 틀린건 아닙니다.

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  • 프로벤젠 2018.08.15 10:21:22

    오랜만에 올려봐서 맞는지 모르겠네요...

    증명에 오류가 있는지 댓글 부탁드립니다.

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    • 바람개비 2018.08.15 11:19:42

      잘 안보이는데, 직사각형의 길이가 무리수인 경우는 고려하셨나요?

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    • 프로벤젠 2018.08.15 11:36:03

      아... 그렇네요.

      무리수는 고려하지 않았지만,

      유리수의 변으로만 이루어진 직사각형의 분할은 불가능 하다는 부분적인 증명으로 축소되겠네요.

      그런데 무리수가 들어가면 좀... 이상하지 않을까요?

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    • 프로벤젠 2018.08.15 12:27:47

      단위 정사각형을 놓는다는 가정이 약간 거슬리네요.

      단위 정사각형을 설정할 수 있을까요?

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  • ln -1=pi*i 2018.08.17 15:51:55

    x!=y라고 할 때 'x> 3y는 완전수' 라는 조건을 함께 만족시키는 것을 일정한 비율로 줄였을 때 가능할 것 같습니다. 

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  • 수학 매니아 2018.08.18 02:08:04

    그냥 이렇게 무작정 나누어보기는 했는데...

    문제의 뜻이 이것이 맞나요?

    그리고 저의 답은 가능하다입니다.

    n이 10일때 이 식이 성립합니다.

    혹시 오류가 있다면 댓글달아 주세요....

    ㅇㅅㅇ

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    • orbital 2018.08.18 10:52:22

      아니요, 문제를 잘못 이해하셨습니다. 넓이가 같은 직사각형으로 분할 해야합니다. 나눈 사각형의 넓이가 같지  않습니다.

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