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문제

[대한수학회] 대20. 다항식의 성질을 밝혀라! 보웨인 추측

2018.07.31

같이 풀어볼까?

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8월 대한수학회 문제는 보웨인 추측(Borwein Conjecture)이라고 불리는 유명한 난제예요. 스코틀랜드 출신 캐나다 수학자 피터 보웨인이 추측한 문제입니다. 문제 자체는 그렇게 어렵지 않으니, 한 번 도전해 보세요! 

 

문제 다음 다항식을 전개해 보자.

\huge \cdot \,\,\, (1-x)(1-x^2) = 1 -x -x^2 +x^3

 

\huge \huge \huge \cdot \,\,\, (1-x)(1-x^2)(1-x^4)(1-x^5)

 

\huge = 1-x -x^2 + x^3 -x^4 + 2x^6 -x^8

 

       \huge + x^9 -x^1^0 -x^1^1 + x^1^2

 

모든 양의 정수 \LARGE n에 대해 아래 식을 전개했을 때, 이 전개식에서 \huge x^m의 계수가 \huge m이 3의 배수일 때는 음이 아닌 정수가 되고, \huge m이 3의 배수가 아닐 경우에는 양이 아닌 정수가 됨을 증명하여라.

 

 \huge \prod_{k=1}^{n} (1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})

 

\huge = (1-x)(1-x^2)(1-x^4)(1-x^5)\cdots

 

\huge (1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})

      

*8월 9일 '보바인 추측'을 '보웨인 추측'으로 한국어 표기를 바꿉니다. 외국인 이름을 한국어로 표기할 때 외국인의 국적에 따라 같은 영어라도 표기가 달라지는데, 이 분은 스코틀랜드 출신이라 보웨인으로 읽어야 한다고 합니다. 앞으로는 이런 실수가 있지 않도록 더 조심하겠습니다.

댓글 45

  • math 2018.07.31 16:57:55

    예로 설명한 두 다항식의 전개에서 두번째 다항식에 1이 빠지지 않았나요?

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    • 수학동아 2018.07.31 19:28:15

      문제를 올리는 도중에 편집 실수가 있었던 것 같아요. 매의 눈으로 잘 잡아주셨네요. 수정했습니다. 감사합니다.

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  • 구머 2018.07.31 19:30:28

    문제가 보비안 추측을 그대로 가져온 것인가요? 아님 약간의 변형으로 난이도가 쉬워진 건가요?

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    • 수학동아 2018.08.01 10:24:40

      보바인 추측 그대로예요. 폴리매스에 참여하고 있는 학생들이라면 이 문제에 충분히 도전해 볼 수 있기 때문에 신희성 교수님꼐서 추천해 주신게 아닐까요?

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    • 냐뇨기 2018.08.23 17:57:02

      저도 궁금하네요!!

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  • calculus 2018.07.31 22:22:50

    일단 m이 3의배수일때 음이아닌 정수가 되는것은 간단한것 같은데요. \prod_{k=1}^{n}(1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})=(1-x)(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{5})\cdots (1-x^{3l-2})(1-x^{3l-1})\cdots (1-x^{3o-2})(1-x^{3o-1})\cdots (1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})(l,m은 1\leq l\leq n, 1\leq o\leq n인 임의의 정수)이라 하면  저식을 전개했을때 x의 차수가 3의 배수인 경우를 생각하면 전개하지 않은 식에서 음과 음을 짝수번 곱하는 경우(예시를 들자면 원식을  (1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{3l-2})(1-x^{3o-1})\cdots (1-x^{3l-1})(1-x^{3o-2})\cdots이런 형태로 변형한뒤 전개한 식의 x의 차수가 3(k+o-1)인 x를 생각해보면 음과 음을 짝수번 곱해야지 나온것 같습니다. )밖에 없다고 생각하는데 그래서 m이 3의 배수일땐 음이아닌 정수가 된다고 생각헤요.(댓글 처음 써보는거라 지적 환영합니다. 논리적인 오류나 제가 잘 모르는것이 있으면 알려주세요. 혹시 당연한것 같을수도 있지만 한번 써봤어요.) 

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    • 수돌이 2018.07.31 22:38:42

      음과 음을 홀수 번 곱하는 경우도 가능합니다.

      예를 들면 x의 차수가 12인 경우에서 x의 1승, 4승, 7승을 곱하는거죠!

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    • math 2018.07.31 22:42:55

      저도 정확히는 잘 모르겠는데, 

      \prod_{k=1}^n (1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})라는 식이 있을때, 여기서 예를 들어 한 n을 3정도로 잡으면 이 식은 (1-x)(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x^{7})(1-x^{8})이 되고, 여기서 3의 배수인 12를 지수로 가지는 항의 계수를 구하려고 하면 -x^5과 -x^7을 조합해서 계수가 양의 정수가 될 수 있지만, 만약 -x^1과 -x^4-x^7을 조합한다만 계수가 음의 정수가 되버립니다. 하지만 실제로 계산을 해보면 x^{12}의 계수가 양의 정수가 나오는 걸 볼 수 있는데, 이 이유는 x^{12}를 조합할 수 있는 모든 경우의 수를 모두 더하면 이 계수는 양의 정수가 음의 정수보다 커져서 양의 정수로 나타나게 되는 것 같습니다.

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    • calculus 2018.07.31 22:48:52

      그렇군요... 더 생각을 해봐야 겠네요... 

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    • calculus 2018.08.01 15:58:33

      그럼 음과 음을 홀수번 곱해서 나오는 x^{m}에서 m이 3의배수일때 음과 음을 짝수번 곱해서 나오는 x^{m}이 홀수번보다 많은것을 증명해야하는군요...

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    • calculus 2018.08.01 17:39:09

      생각을 해봤는데 한번 적어봅니다. 음과 음을 홀수번 곱해서 x의 차수가 3의 배수가 되는 경우중에 3번 곱하는 경우를 생각해 보면 먼저 1\leq o\leq l\leq q\leq n을 만족하는 임의의 정수 o,l,q가 있다고 합시다. 물론 n\geq 4입니다.

      그럼 원식은

      \prod_{k=1}^{n}(1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})=(1-x)(1-x^{2})(1-x^{4})(1-x^{5})\cdots (1-x^{3o-2})(1-x^{3o-1})\cdots (1-x^{3l-2})(1-x^{3l-1})\cdots (1-x^{3q-2})(1-x^{3q-1})\cdots (1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})

      이런 형태로 전개되는데 임의의 정수 o,l,q에서 3번 곱해서 3의배수가 되는경우는 (1-x^{3o-1})(1-x^{3l-1})(1-x^{3q-1})과 (1-x^{3o-2})(1-x^{3l-2})(1-x^{3q-2})인 2경우인데 여기서 x의 최고차항은 각각 3(q+l+o-1),3(q+l+o-2)이고 계수는 음의정수인 -1을 가집니다.그런데 짝수번 곱해서 되는경우에서 4번곱하는 경우에서는(1-x)(1-x^{3o-1})(1-x^{3l-1})(1-x^{3q-2}),(1-x)(1-x^{3o-1})(1-x^{3l-2})(1-x^{3q-1}),(1-x)(1-x^{3o-2})(1-x^{3l-1})(1-x^{3q-1}) 이 3경우에는  (1-x^{3o-1})(1-x^{3l-1})(1-x^{3q-1})의 최고차항과 같지만 계수는 양의정수 1을 가집니다. 두번째 경우에는 앞의 방식과 비슷합니다. 이렇게 n\geq 4일때 홀수번으로 3번 곱해서 x의 차수가 3의 배수가 되는 경우에는 전개하게되면 음이아닌 양의정수를 가질수 있다로 나오게 되었는데  나머지 홀수번 곱하는경우도 이런방식으로 풀수 있을것 같다고 생각합니다.(혹시 틀린것이나 논리적 오류가 있으면 알려주세요.)

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    • 여백 패르마 2018.08.02 06:39:46

      어.. q, o, l의 개수도 알아야 하지 않나요?? 모든 항의 계수가 +-1인 것은 아니거든요. 

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    • calculus 2018.08.02 13:34:27

      제가 말하는것은 원식을 전개했을때  x^{m}의 계수가 m이 3의 배수이면 계수가 음의정수가 될수 없음을 보여줄려고 한것인데... 그래서 임의의 정수p,o,l을 설정하여 이것들의 곱으로 계수가 음의정수가 나오면 계수가 양의정수인것이 더 많음을 보여 음의정수가 될수없다는 것을 보일려고한것입니다.

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  • 여백 패르마 2018.08.02 16:21:01

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    • 여백 패르마 2018.08.02 16:21:51

      m이 3으로 나누었을 때 1 인 경우 증명하였습니다. 

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    • 정17각형 2018.08.03 10:53:18

      여백 패르마님 min(\sum_{I=1}^{2y}x_{I})=2y 가 항상 성립하는 것은 아닙니다. 예를 들면 (1-x)(1-x^2)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^7)(1-x^8)에서 y가 2일 때는  min(\sum_{I=1}^{2y}x_{I})가 4가 아닌 5가 됩니다. (1,1,1,2를 고를 때 최소가 됩니다. ) 같은 이유로  max(\sum_{I=1}^{2y}x_{I})=4y도 성립하지 않습니다. 

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    • 여백 패르마 2018.08.03 11:14:53

      아 제 말은 하한이 2y라는 것입니다. 정 17각형님이 말하신 것은 예외라고 할 수 없습니다. 4<5이기 때문입니다. 또, max도 상한이라는 뜻입니다. (그리고 min은 inf, max는 sup라고 보시면 됩니다.)

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    • 정17각형 2018.08.03 11:26:36

      혹시 경우의 수가 왜 중복조합을 통해서 나오는지 자세히 설명해 줄 수 있나요?

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    • 여백 패르마 2018.08.03 11:35:22

      아...귀찮다... 집에 있다면 수학의 정석 확률과 통계책을 보시면 됩니다. (단, 개정 교육 과정 아님)

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    • 정17각형 2018.08.03 11:41:11

      네 알겠습니다

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    • 여백 패르마 2018.08.03 11:49:38

      2014년에 만들어진 수학의 정석이고요, p.51에 있습니다. 

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    • 정17각형 2018.08.03 11:54:16

      귀찮게 해서 죄송합니다만;;

      구체적인 값을 대입했을 때 경우의 수 최소와 최대가 이상하게 나오는 것 같은데요??

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    • 여백 패르마 2018.08.03 11:57:57

      네?? 그리고 제가 계속 계속 말하지만, 최소 최대는 하한, 상한입니다!!

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    • 구머 2018.08.03 13:10:38

      부등식 증명 반대로 한듯, 애초에 부등식 쪽 증명이 너무 부실하네요. 그리고 sigma(l_i) 가 의미라는 것이.무엇인지 설명해주세요.

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    • 정17각형 2018.08.03 16:25:56

      최소 최대가 하한 상한이라는점은 이해했고 그 부분에 대해서는 사과드립니다. 저는 단지 이런 상황에서 경우의 수를 구할 때 단순히 중복조합을 이용하면 안 될 것 같아서 말씀드립니다.

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    • 정17각형 2018.08.04 08:46:53

      l의 목록 중 1은 두개, 2은 두개, 3은 두개••• 인데 중복조합을 이용하면 l_{1}, l_{2}, l_{3} 중 0이 있거나 1이 3개 이상인 경우도 고려하게 되어서 안 될 것 같습니다.

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  • 깜냥 2018.08.02 18:47:57

    문제에서 언급한 성질이 성립하는 어떤 n에 대해

    k에 n까지 대입했을 때 전개한 식을 1+a_1x+a_2x^2+...+a_{3n^2}x^{3n^2} ...㉠라 합시다.

    이 때 k를 n+1 까지 대입하면 위 식에 (1-x^{3n+1})(1-x^{3n+2}) 를 곱해주면 되고 저 두 묶음?을 전개하면 1-x^{3n+1}-x^{3n+2}+x^{6n+3} 입니다.

    x의 차수를 3으로 나누었을 때 나머지가 0,1,2 일 때의 x의 계수들의 집합을 각각 A0,A1,A2라 합시다.

    1과 x^{6n+3}의 경우 ㉠의 각 항의 계수들을 오른쪽으로 0칸, 6n+3칸 밀어주는 것과 같습니다.

    따라서 이 두 항을 곱해줘도 문제에서 언급한 성질이 여전히 성립합니다.

    왜냐하면 A0자리에 있던 수가 A0자리로 대응되고, 이는 A1,A도 마찬가지이기 때문이죠.

    어...뭔가 설명이 이상한데 음수 계수는 음수 계수끼리, 양수 계수는 양수 계수끼리 더해지기 때문에 부호 변화가 없다는 의미입니다.

    그럼 문제는 가운데 두 항인데, 일단 -x^{3n+1} 를 ㉠에 곱하면  A0,A1,A2가 부호가 바뀌며 각각  A1,A2,A0자리에 대응됩니다.

    여기서 A2의 원소는 음수인데 부호가 바뀌어 양수가 되며 양수인 A0의 원소와 더해집니다.

    즉, -x^{3n+1} 를 곱해줘도 여전히 A0의 원소들은 양수입니다.

    마찬가지로 -x^{3n+2} 일 때도 해보면 A0는 여전히 양수입니다.

    결론: 어떤 n에 대해 문제에서 언급한 성질이 성립하면 n+1 일 때 x의 차수가 3의 배수인 항의 계수는 양의 정수 또는 0이다.

    이제 누군가가 차수를 3으로 나눈 나머지가 1,2 일 때도 증명을 하면 귀납법으로 증명이 되겠군요. 하하

    참고로 설명할 때 계수가 양수 또는 0이다...이런 식으로 말해야 하는데 그러면 너무 귀찮아서 0이다는 생략했습니다.

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    • 깜냥 2018.08.02 19:08:32

      그리고 전개했을 때 항상 계수가 좌우대칭이며, 계수들의 합은 0인 것 같습니다.

      n=1일 때 전개하면 계수들이 좌우대칭인데, n이 1씩 커질 때마다 곱해지는 두 묶음을 전개한 식도 계수가 좌우대칭이기 때문이죠.

      또 두 묶음이 각각 계수가 1,-1인 항들로만 이루어져 있으므로 n=1일 때 전개한 식의 계수합이 0 이니 그 뒤로도 계속 0 입니다.

      윗 댓글에 쓴 결론이 맞다면, n일 때 성립하면 n+1 일 때 A1과 A2의 원소들의 합은 음수이며 절댓값은 A0의 원소합과 같겠군요.

      그리고 대칭축을 기준으로 접었을 때 A1은 A2에, A2는 A1에 대응되므로 A1합=A2합입니다. 이러면 A0합은 짝수겠네요.

      따라서 차수를 3으로 나누었을 때 나머지가 1,2 인 경우 둘 중 하나만 증명해도 다른 하나는 자동으로 증명됩니다. 와아

      혹시 틀린 거 있으면 지적해주세요.

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    • 여백 패르마 2018.08.02 20:59:59

      어..맞는지는 모르겠지만 위에 제가 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 경우 증명했습니다.

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    • 여백 패르마 2018.08.03 08:27:04

      그리고 왜 두 묶음만 곱하죠?? 여러항을 곱할 수도 있는데...

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    • 깜냥 2018.08.03 13:02:31

      제가 두 묶음이라는 말을 여러번 사용해서 정확히 어떤 부분을 말하신 건지 잘 모르겠는데

      k에 대입해야 할 최댓값이 n에서 n+1처럼 1만큼 커지면 원래의 전개식에 두 묶음을 곱한다는 의미입니다.

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  • 21세기오일러 2018.08.04 12:16:31

    문제의 큰기호가 시그마인가요?

    (중복순열기호처럼보여서...)

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    • 여백 패르마 2018.08.04 12:21:05

      어 중복순열이기도 하고요 시그마와 비슷하지만 아래부터 위까지 곱하는 것입니다. 

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    • 21세기오일러 2018.08.04 12:43:07

      알려주셔서 감사합니다.

      그런데 뭐라고 부르나요?

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    • 구머 2018.08.04 13:04:40

      파이(\pi)

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  • 여백 패르마 2018.08.05 19:18:50

    어...그리고 진짜 Borwein Conjecture는 다음과 같은데요, 둘이 동치인가요??

    진짜 Borwein Conjecture: \prod_{k=1}^{n}(1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})=A_N(x^3)-xB_N(x^3)-x^2C_N(x^3)이라고 하자. 그러면 A_N(x), B_N(x), C_N(x)는 모두 음이 아닌 정수인 계수를 가짐을 증명해라.

    POLYMATH Borwein conjecture: \prod_{k=1}^{n}(1-x^{3k-2})(1-x^{3k-1})를 전개하면, x^m의 계수가 m이 3의 배수일 때는 음이 아닌 정수가 되고, m이 3의 배수가 아닐때는 앙이 아닌 정수임을 증명해라.

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    • 구머 2018.08.05 20:23:47

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    • 여백 패르마 2018.08.05 22:15:30

      왜죠??

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    • 구머 2018.08.05 23:38:10

      A,B,C가 각 항의 계수가 3의 배수니까 mod 3으로 다 분리됨

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    • Simon 2018.08.25 09:14:20

      지수 아닌가요;;

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  • 바람개비 2018.08.07 16:56:56

    이게 보바인이라는 분이 추측한 미해결 문제라서 '보바인 추측'인가요?

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    • 김우현 기자 2018.08.17 15:16:57

      정답! laugh

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  • 프로벤젠 2018.08.26 22:46:14 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수2
    • 프로벤젠 2018.08.26 22:47:18

      아직 증명대기중 입니다.

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    • 김우현 기자 2018.08.29 14:38:51

      전 '기대' 중입니다. 두근두근broken heart

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