주메뉴바로가기.. 본문바로가기

Problems

폴리매스 문제 보기

문제

[국가수리과학연구소] 국19. 도망자 개구리

2018.07.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 19번째 문제입니다.

 

개구리 한 마리가 수직선 위 정수(\cdots, -2, -1, 0, 1, 2,\cdots) 중 한곳에 앉아있다. 가은은 개구리의 위치를 추측한 뒤 손을 뻗어 개구리를 잡으려 한다. 정수가 있는 곳 어디든 손을 뻗을 수 있고, 개구리를 잡을 때까지 계속 뻗을 수 있다. 그런데 손을 뻗은 지점에 개구리가 없으면 그때마다 개구리는 일정한 방향으로 음이 아닌 일정한 정수 값만큼 점프한다. 만약 가은이가 처음 손을 뻗었을 때 개구리가 왼쪽으로 두 칸 가면 그 다음 손을 뻗었을 때도 왼쪽으로 두 칸 가고, 0만큼 점프하는 건 제자리에 계속 있다는 뜻이다. 가은이는 개구리가 어느 방향으로 얼마나 점프하는 지 알 수 없다.

 

 

[문제]

 

문제1.

가은이는 항상 개구리를 잡을 수 있을까? 잡을 수 있다면, 방법은 무엇이고 왜 그 방법으로 잡을 수 있을까? 잡을 수 없다면, 이유가 뭘까?

 

문제2.

만약 정수에 해당하는 위치가 아닌 실수에 해당하는 모든 지점을 고려해야 하면 어떻게 될까? 이때, 개구리는 정수가 아닌 임의의 음이 아닌 일정한 실수 값만큼 일정한 방향으로 점프할 수 있다.

 

문제3.

손을 뻗을 지점이 원점에서 멀면 조준하기 힘들기 때문에 웬만하면 원점에서 가까운 지점에 손을 뻗고 싶다. 만약 1번 문제의 답이 ‘그렇다’이면, 가은이가 손을 뻗는 지점을 원점에서 얼마나 가깝게 할 수 있을까? 여기서 ‘가깝다’라는 말의 뜻은 아래와 같다.

 

 가은이가 n번째로 손을 뻗은 위치를 f(n)이라고 하자. 이때 새로운 위치를 나타내는 함수 g(n)이 있어 가은이가 n번째에 g(n)에 손을 뻗어도 된다고 하자. 이때 어떤 상수 M이 있어서 모든 n \geq M에 대해 |f(n)| < |g(n)|이면, 충분히 큰 모든 n에 대해 |f(n)||g(n)|보다 작으므로 f가 더 나은 방법이라고 할 수 있다. 예를 들어, |f(n)|=10000000n^2이고 |g(n)|=0.00000001n^{2.1}이면 작은 n에 대해선 |f|이 훨씬 크지만 n이 충분히 크면 |g|가 더 크므로, |f|가 더 작다고 할 수 있다.


또, 두 함수 fg가 고정된 상수 C에 대해 절댓값이 커봐야 C배 밖에 차이가 나지 않으면(즉, 모든 n에 대해 |f(n)| \leq C |g(n)|이고 |g(n)| \leq C |f(n)|이면 fg가 실질적으로 큰 차이가 나지 않는다고 할 수 있다. 예를 들어, 0.0001n^210000n^2은 큰 차이가 없다는 뜻이다.


위에서 예를 든 함수는 수직선 위에서 고려해 볼만한 위치를 나타내는 함수로, 만약 손을 뻗는 지점 f의 크기를 비교하는 새로운 기준이 있으면 그 기준을 이용해도 좋다. 단, 그 기준이 원점에 가깝다는 직관과 맞아 떨어진다는 것을 다른 사람에게 설득시킬 수 있어야 한다.

*|a|a의 절댓값이다.

 

※ 알립니다

소문제 1번은 orbital 친구, 2번은 Euler 친구, 3번은 수돌이 친구에 의해 해결됐습니다!

이로써 최종 문제 해결! :-) 

 

댓글 44

  • 구머 2018.07.01 23:32:08

    58회 IMO 3번 문제와 유사해 보이네요. 폴리매스에도 문제가 등록되있으니 한번 참고해보세요^^(방학 시작이다!!!!!)

    좋아요0 댓글수1
    • Euler 2018.07.01 23:42:25

      들어가기 싫으신 분을 위해 복사해보았습니다

      문제 3. 한 사냥꾼과 보이지 않는 토끼 한 마리가 평면 상에서 다음과 같은 게임을 한다. 토끼의 출 발점 A0와 사냥꾼의 출발점 B0는 일치한다. 게임의 n − 1번째 라운드를 마친 후 토끼가 위치한 점을 An−1, 사냥꾼이 위치한 점을 Bn−1이라 하자. n번째 라운드에서 다음과 같은 세 가지가 순차적으로 발생한다.

      (i) 토끼가 보이지 않게 점 An으로 움직이고, An−1과 An의 거리는 정확히 1이다.

      (ii) 사냥꾼의 추적기가 점 Pn의 위치를 알려준다. 이 추적기가 알려주는 점 Pn과 An의 거리는 1 이하임이 보장될 뿐이다.

      (iii) 사냥꾼은 눈에 띄게 점 Bn으로 움직이고, Bn−1과 Bn의 거리는 정확히 1이다. 토끼가 어떻게 움직이든, 추적기가 어떤 점을 알려주든 상관없이 항상 사냥꾼이 109 라운드 후에 그와 토끼의 거리가 100 이하가 되도록 할 수가 있겠는가?

      좋아요0
  • Euler 2018.07.01 23:33:46

    1번은 매우 쉬운것 같네요(다른거에 비해)

     

    제가 여러가지 방법을 생각해 봤는데

    하나는 집합론으로 푸는거고

    하나는 정수로 푸는겁니다

     

    1. 집합

    선택 공리를 이용하면 됩니다.

    물론 가은이가 신이면 가능하겠지만 우선 랜덤으로 잡는것을 유한번 반복합니다.

    그리고 가은이의 초인적인 두뇌로 모든 경우의 수 즉, 자신이 잡으려고 시도한 것을 보고 어디에 개구리의 첫 위치가 어디고 얼마나 움직였나를 계산합니다.

    그러면 그렇게 만들어진 경우의수 집합의 집합 중 1개는 개구리의 위치와 움직임이 일치하는 것이 있습니다.

    이해가 안되는 분이 있을수도 있겠지만 선택 공리에 의하면 가능합니다.

    그러면 그 집합에 맞게 계산해서 개구리를 잡으면 됩니다.

     

    2. 정수론

    물론 1번 2번 모두 확실하지 않습니다.

    개구리의 처음위치가 a이고 움직이는 거리가 d라 하면

    n번째에는 a+nd가 됩니다.

    근데 이거도 1번이랑 비슷합니다

    소수가 p1, p2, ... pk, ...이렇게 무한개 있다고 하면

    우선 (시간이 아주오래 걸리겠지만)

    (편의상 엄청 큰 값을 INF 라 쓰겠습니다.참고로 그냥 큰 값이지 위에서 값이랑 밑에서랑 다릅니다)

     

    1, p1+1, 2*p1+1.....

    INF+2, INF+p1+2, INF+p1*2+2

    ...

    INF+(p1-1), INF+p1+p1-1+INF+p1*2+p1-1...

     

    이렇게 p2, p3...이렇게 다 해봅니다.

    이렇게 하면 어느순간 d<=pk가 됩니다.(pk는 k번째 소수, <=은 같거나 작다)

    이래서 찾을 수 있습니다.

     

     

    다 쓰고나니 1번은 아닌듯 하네요.

    그리고 2번도 소수로 안하고 (가은이가 초인적인 사람이라면)자연수로 해도 되겠네요.

    좋아요0 댓글수13
    • Euler 2018.07.01 23:38:11

      문제 2번은 불가능할것 같아요.

      1번은 자연수 집합, 즉 가산무한이여서 가능했지만(셀 수 있는 무한)

      2번은 실수 집합, 즉 비가산무한이고 셀 수 없어요. 즉 불가능하죠.

      만약 유리수라면 가능합니다.

      그리고 실수전체의 집합이 비가산무한인건 칸토어의 대각선(?)으로 증명이 가능합니다.

      유리수는 a/b꼴로 쓸수 있으니까 |Q|=|N|*|N|=|N|이 됩니다.

      (이해가 어려울수 있습니다. 저도 첨에 이해하는데 애먹었어요.)

      복귀하자마자 재밌는 문제라니 좋군요.^^

      좋아요0
    • 구머 2018.07.02 10:45:49

      1번의 두번째 풀이에서 소수 p1,p2,..에 대해 각각 몇번의 ㅅ손을 뻗을 것인가요?

      좋아요0
    • Euler 2018.07.02 18:55:01

      잡힐 때까지 뻗거나 무한번 뻗어봐야겠죠. 가은이가 신과 같은 힘을 가지고 있으면 가능할 겁니다.

      좋아요0
    • Simon 2018.07.02 20:09:14

      무한한 시행을 한 후에 무한한 시행을 다시 하는 것은 불가능하다고 생각합니다.

      좋아요0
    • Euler 2018.07.02 21:35:46

      그런데 무한한 수행을 무한번 하는것은 무한번만 하는것과 같습니다.

      왜냐하면 가산무한*가산무한=가산무한 이기 때문입니다.

      좋아요0
    • Simon 2018.07.02 22:28:46

      아니요 무한한 시행은 한번만 할 수 있습니다. p_1에 대해 언급하신 시행을 하게 되면 그 시행은 끝이 나지 않습니다. 그러므로 같은 방식으로 p_i에 대해 진행하는것은 불가합니다. 무한의 합 개념이 여기서 이용되지는 않습니다.

       

      Ex) A는 홀수를 모두 센 다음에 짝수를 세기로 한다. 1, 3, 5, 7, ... 홀수가 무한하므로 A는 짝수를 셀 수 없다.

      좋아요0
    • Euler 2018.07.02 23:31:15

      그렇군요. 그러면 다른 방법을 적용해 봐야겠어요.

      제 생각에는 a, a+d, a+2d, ...이런 순서로 찾는 방법은 안 될것 같네요.

      그러면 개구리가 뛴 위치의 일반항이 a+dk라 하면

      1, 2, 3, 5, 6 ...이렇게 늘어나는 값을 점점 증가시키면 되요. 이때 d만큼 늘리고 거기에 d-1더한위치를 잡는것을 d-1번 반복해줘야 빠짐없이 할 수 있을것 같네요.

      왜냐하면 일반항에서 a가 있는데 d가 맞춰졌어도 a가 틀리면 안되잖아요.

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.05 10:33:42

      소문제 2번 풀이가 정답으로 최종 확인! 축하해요, Euler 친구!laugh

      좋아요0
    • David 2018.07.05 12:30:02

      의외로 간단하게 생각하면 1번에서 개구리에게 손을 뻗은 횟수를 n이라고 하고 개구리가 처음 시작한 점을 q, 한번 뛰는 정도(방향을 고려해서)를 p라고 하면 그림과 같은 순으로 해서 가은이가 pn+q꼴로 손을 뻗어 0, 0, 1, 3, 5, 1, -5, -7.......의 순으로 하면 유한 번의 시행 내로 언젠가 잡을 수 있을 거 같은데요........(x축 p, y축 q)

      좋아요0
    • Euler 2018.07.07 19:22:15

      쓰면서 답이라고 생각 못하고 썼는데 답이였네요.

      이게 맞을줄은 생각 못했어요

      좋아요0
    • 0gzg♡ 2018.07.10 18:07:11

      2번 방법을 좀더 자세히 증명해 주시면 좋을것 같아요

      좋아요0
    • Simon 2018.07.10 19:56:53

      밑에 보다 엄밀하게 증명해 놓았습니다~

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.09.20 10:40:58 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • 구머 2018.07.02 20:41:36

    1번

    좋아요1 댓글수8
    • Euler 2018.07.02 21:40:10

      근데 자연수 전체의 집합인 N 도 무한집합이지 않나요? 결론은 맞는것 같은데 유한번이 아니라 무한번에 잡힐수도 있을것 같아요. 그런데 N이 가산무한이므로 셀 수 있고, 즉 모든 경우의 수를 시도해볼 수 있어요. 출제자의 의도는 그런게 아닐까요?

      좋아요1
    • 구머 2018.07.02 21:51:28

      a랑 d가 무한인건 아니잖아요..

      좋아요0
    • Euler 2018.07.03 13:55:01

      그런데 무한번 시도하다 보면 그렇게 될 수도 있지 않을까요?

      a, d가 무한은 아니고 하나하나 다 시도해 보면 언젠가는 잡힐 것 같은데요?

      좋아요0
    • 구머 2018.07.03 13:57:18

      그게 아니라 유한번 안에 잡힌다구요 ㅜㅜㅜ

      좋아요0
    • Simon 2018.07.05 19:54:47

      이 풀이 맞지 않나요?

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.06 09:08:31

      백진언 연구원님에 따르면, 풀이는 잘했지만, 설명을 좀 더 보충했으면 좋겠다고 해요!wink

      좋아요0
    • 구머 2018.07.06 11:04:40

      ㅎㅎ학교에서 귀차니즘만 늘어났네요ㅜㅜ 좀있다 보충설명 들어갈게요

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.08 13:44:20

      소문제 (1)번까지 해결되면 부분해결 딱지를 붙일게요~ :)

      좋아요0
  • Simon 2018.07.03 14:26:44

    2번 풀이입니다~

    좋아요0 댓글수1
    • 김우현 기자 2018.07.05 10:37:10

      Simon 친구의 풀이 역시 정답입니다! (아쉽게도 Euler 친구가 한발 빨랐다는..surprise)

      좋아요0
  • 연속체가설 2018.07.16 07:44:32

     정수는 가산무한이고 개구리의 위치의 가능성도 가은이의 기준에서는 가산무한,가은이의 손의 위치도 가산무한이므로 가산무한+가산무한=가산무한이다.가산무한은 일대일대응이 가능하므로 가은이에게 주어진 시간이 무한하다면 무한한 시행 하에 가은이의 손은 개구리와 자리와 겹쳐 잡을 수 있다.

     

     

    *저 초4고요,맟을 거란 확신은 하지 않습니다.

    좋아요0 댓글수1
    • 뉴턴의 사과 2018.07.16 19:36:29

      선택공리로 봐서는 잡을 수 있을 것 같은데요

      좋아요0
  • orbital 2018.07.28 10:19:06

    소문제 1) a=처음 위치, d=손 뻗을때 움직인 거리와 방향(음수일 경우 왼쪽으로 이동, 양수일 경우 오른쪽으로 이동), n=손을 뻗은 횟수(10번째로 손을 뻗으려한다면 n=9 입니다.)

    손을 뻗는 횟수는 자연수 집합과 일대일 대응 시킬수 있습니다그러므로 정수집합 유리수 집합과도 가능 합니다

    우선 d 아는 경우에 대해 생각해 보았습니다. 이 경우는 a를 알게 되면  개구리를 항상 잡을수 있습니다. 그래서 이 방법을 역으로 해서 있을수 있는 모든 처음위치(a) 를 검사하는 방법을 생각해 보았습니다. 첫번째로 0에 손을 뻗습니다. 없을 경우 처음위치 a 1이었는 지 검사하여야 하는데 이미 오른쪽으로 d칸 이동했으므로 1+d 지점에 손을 뻗습니다. 그다음으로는 a=-1 이었는지 검사하여야하는데 2d 만큼 이동했으므로 1+2d 지점에 손을 뻗습니다. a를 검사하고 싶을 경우 a+nd 지점에 손을 뻗습니다. 이러한 방식으로 게속 a=2, -2, 3, -3, 4, -4 .......k, -k, ..... 인 각각의 경우에 대해 검사합니다. (이 순서로 하는 이유는 자연수 집합 즉, 손을 뻗는 횟수와 일대일 대응을 시키기 위함입니다.) 이렇게 하면 모든 정수의 처음위치를 검사할수 있으니 개구리를 반드시 잡을 수 있습니다.

     

    d 를 모르는 경우 역시 자연수 집합과 일대일 대응을 시킬수 있으면 잡을 수 있습니다. (모든경우를 다 검사할수 있으므로) f는 검사 해야하는 위치입니다. f=a+nd

     

    a=0

    a=1

    a=-1

    a=2

    a=-2

    ...

    d=0

    n=0

    f=0

    n=1

    f=1

    n=5

    f=-1

    n=6

    f=2

    n=14

    f=-2

     

    d=1

    n=2

    f=2

    n=4

    f=5

    n=7

    f=6

    n=13

    f=15

    n=16

    f=14

     

    d=-1

    n=3

    f=-3

    n=8

    f=-7

    n=12

    f=-13

    n=17

    f=-15

    n=25

    f=-27

     

    d=2

    n=9

    f=18

    n=11

    f=23

    n=18

    f=35

    n=24

    f=50

    n=31

    f=60

     

    d=-2

    n=10

    f=-20

    n=19

    f=-37

    n=23

    f=-47

    n=32

    f=-62

    n=40

    f=-82

     

    ...

     

     

     

     

     

     

    위 표처럼 검사하면 각각의 d일 경우 모든 a를 검사할 수 있다. (이동하는 방법은 자연수 집합과 유리수집합이 일대일 대응을 할 수 있음을 증명하는 방법과 같다.) d 를 모르는 경우에도 역시 자연수 집합과 일대일 대응을 할 수 있음을 알 수 있다. 따라서 항상 개구리를 잡을 수 있다.

    이동법 아래 참조

    그림입니다.
&#xA;원본 그림의 이름: CLP000004880003.bmp
&#xA;원본 그림의 크기: 가로 679pixel, 세로 555pixel

    좋아요1 댓글수9
    • orbital 2018.07.28 10:22:09

       

      검증 순서 입니다.

      좋아요0
    • orbital 2018.07.28 10:54:05

      맞는지 확인부탁드립니다. (폴리매스 처음 풀어 봤는데 맞는지 궁금해요!!) 수학 동아 보다가 재미있어보여서 풀어보았는데  댓글 적고 위에 댓글 읽어 보니깐 비슷한 아이디어가 있었네요.

      좋아요0
    • 구머 2018.07.28 19:15:33

      ㅎ써줘서 고마워요 계속 저 설명 쓰는 걸 귀찮아서 미루고 있었는뎈ㅋ

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.28 19:42:58 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
    • 김우현 기자 2018.07.28 19:46:58

      구머 친구가 적으려던 아이디어도 이와 같나요?? surprise

      좋아요1
    • 구머 2018.07.28 20:50:54

      거의 비슷합니다 저기 검증순서가 저는 위 댓처럼 시계 방향으로 움직이죠

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.29 15:36:47

      I got it! 곧 연구원 님의 피드백을 올릴게요~ :-)

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.07.30 02:06:07

      백진언 연구원님의 의견 전달!

      소문제 1번 풀이의 핵심 부분-개구리의 처음 위치 a와 이동값 d, 손을 뻗는 횟수 n이 주어질 때 개구리의 위치가 a + dn이므로, n번째에 a + dn에 손을 뻗으면 된다는 사실-을 orbital 친구가 처음 언급했으니, orbital 친구를 정답자로 선정합니다~.laugh 

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.09.20 10:40:15 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • 수돌이 2018.09.15 05:50:45

    폴리매스 국가수리과학연구소 19-3번 풀이

    개구리의 상태를 (a,b)=(초기 위치,속도)라 정의하자.

    가은이가 n번째로 손을 뻗은 위치를 f(n)이라고 하자.

     

    STEP 1. a,b=정수가 아닌, a,b=자연수로 풀어도 충분하다.

    a,b=자연수에 대해서 가은이가 t번째에 상태 (n,m)=(초기 위치,속도)의 개구리가 있어야 할 위치에 손을 뻗는 해가 존재하면,

    a,b=정수에 대해서는 4t-3,4t-2,4t-1,4t번째에 (n,m) (n,-m) (-n,m) (-n,-m)에 손을 뻗는다. 그러면 f(t)의 절댓값은 4배보다 더 커질 수 없다.

    마찬가지로, a,b=정수에 대해서 해가 존재하면, 이는 즉 자연수에 대한 방법을 포함한다.

     

    STEP 2. f(t)>O(t)이다. 즉, 어떤 상수 c에 대해서 f(t)<ct일 수 없다.

    만약 그러한 상수 c가 존재한다고 가정하자. 상태 (1,c+1)인 개구리가 t번째 손을 뻗을 때 잡힌다면, 이 위치는 즉 (c+1)t+1이고, ct를 초과한다. 따라서 모순.

     

    STEP 3. 자연수에서 자연수로 가는 함수 G(t)에 대해, t가 무한대로 갈 때 G(t)/t 역시 무한대로 발산하면, G(t)/t가 아무리 느리게 증가해도 f(t)/G(t)는 발산하지 않도록 f(t)를 잡을 수 있다.

    상태 (n,m)인 개구리는 t번째 손을 뻗을 때 n+mt의 위치에 있다. 동일한 m에 대해서, 항상 (1,m) ,(2,m), (3,m), ...의 순서로 개구리를 잡는 위치에 손을 뻗는다면, (n,m)의 개구리를 잡는 위치에 손을 뻗기 전에 적어도 n-1번 손을 뻗어야 했으므로, n\leq t의 관계를 유지할 수 있다.

    임의의 자연수 x에 대해서, G(t)/t가 무한대로 발산하므로 충분히 큰 자연수 T_x에 대해서, t>T_x이면 G(t)/t>x이도록 T_x를 잡을 수 있다. T_x는 그러한 것들 중 가장 작은 것으로 잡자.

    t가 T_x이상, T_(x+1)미만인 상황에서는 속도가 1~x-1인 범위에 있는 개구리들의 현재 위치에 번갈아가며 손을 뻗는다.

    그러면 임의의 상태 (n,m)인 개구리에 대해서, T_(m+1)이 항상 존재하므로, 속도가 m인 개구리들이 골라지다가 n번째가 되면 (n,m) 개구리의 현재 위치에 손을 뻗어 잡아낼 수 있다. 그리고 그때를 t번째라고 했을 때, 위치는 n+mt에서 T_(m+1)보다 t가 같거나 크므로, G(t)/t>m+1\geq (n+mt)/t=f(t)/t이다. (n\leq t이므로)

    따라서 f(t)/t\leq max(2,G(t)/t)이다. 그러므로 f(t)/G(t)는 발산하지 않는다.

     

    결론: t의 시간에 원점으로부터의 거리가 선형이도록 손을 뻗는 것은 불가능하다. 그러나 선형보다 먼 임의의 함수 G(x)에 대해, G(x)보다 같거나 가깝게 손을 뻗을 수 있다.

    좋아요0 댓글수4
    • 김우현 기자 2018.09.16 21:09:49

      Step1이 이해가 안 가는데, 좀 더 자세하게 설명해 줄 수 있나요? (백진언 연구원 님)

      좋아요0
    • 수돌이 2018.09.16 21:34:30

      개구리의 상태: 초기 위치=a, 속도=b라고 했을 때, a,b가 정수인 범위 내에서 개구리를 무조건 잡을 수 있도록 손을 뻗는 함수 f1(n)을 생각합니다. 그렇다면 a,b가 자연수인 범위에서는 f1(n)대로만 손을 뻗으면 개구리를 잡을 수 있습니다. 정수는 자연수를 포함하니까요.

      반대로, a,b가 자연수인 범위 내에서 개구리를 무조건 잡을 수 있도록 손을 뻗는 함수 f2(n)을 생각합니다. n번째 손을 뻗을 때 상태 (x=초기위치, y=속도)의 개구리가 현재 있어야만 하는 위치 x+yn = f2(n)에 손을 뻗는다고 합시다.

      이 함수를 a,b가 정수인 범위로 확장하면 다음과 같습니다. 4n-3,4n-2,4n-1,4n번째에 각각 초기위치와 속도가 (x,y),(x,-y),(-x,y),(-x,-y)인 개구리가 현재 있어야만 하는 위치에 손을 뻗는 것입니다. 그 위치의 절댓값은 x+y(4n) <= 4*f2(n)을 넘지 않습니다. f(4n)의 절댓값이 4*f2(n)을 넘지 않는 것이므로 f2(n)의 그래프를 4배 확대한 형태와 가깝겠네요.

      "f(t)의 절댓값은 4배보다 더 커질 수 없다" 보다 "scale적인 면에서 차이가 없다"가 더 정확한 표현인 것 같네요!

      좋아요0
    • 김우현 기자 2018.09.17 00:08:29

      수돌이 친구, 정답입니다!! (짝짝짝)

      소문제 3번이 풀리면서 19번 문제가 최종 해결됐습니다! 오랜만에 문제가 '완전히' 풀렸네요!!!!wink

      좋아요0
    • 구머 2018.09.17 12:29:12

      겁나 깔끔하네..

      좋아요0