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문제

[국가수리과학연구소] 국18. 혼잡한 직사각형

2018.06.01

같이 풀어볼까?

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이번 문제는 친구들이 서로 아이디어를 공유하면 더 잘 풀릴 거 같은 문제예요. 아이디어가 떠오르면 적극적으로 표현해 주세요!! 그럼 국가수리과학연구소의 18번째 문제 나갑니다!

 

 

가로의 길이가 2, 세로의 길이가 1인 직사각형이 있다. 이 직사각형 안에 한 변의 길이가 각각 \large x_{1}, \large x_{2}, \large x_{3}인 정사각형 3개가 서로 겹치지 않게 있다고 하자. \large x_{1}+x_{2}+x_{3}의 최댓값은 얼마일까?

 


 

댓글 89

  • 1975fanboi 2019.02.18 20:39:21

    아마 답이 2인 거 같은데, 일단 더 간단한 경우로 1x1 정사각형 안에 두 개의 정사각형이 있을 때 두 변 길이의 합이 1 이하임을 보이는 건 어떨까요?

    원래 문제에서 맨 오른쪽에 정사각형을 크게 하나 넣으면 이 문제로 바뀝니다. 그러니까 이 문제가 (답이 2라면) 폴리매스 문제보다 쉬운데, 해볼만한 경우인 거 같아요

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  • code 2019.03.13 22:12:58

    일단 정사각형을 기울이지 않는다면 최댓값은 2가됨을 육안으로도 확인이 가능합니다(증명생략).

    기울이는 경우는 크게 3가지로 나눌수 있습니다.

    1)하나만 기울이는 경우

    2)두개의 정사각형을 기울이는 경우

    3)모두 기울이는경우

    -1.하나만기울이는 경우.

    길이가 1인 정사각형을 최대한 왼쪽으로 찔러(?)넣었다고 가정합시다.

    옆은 기울이지않은 1이 넘지않는 하나의 정사각형이고(아랫변에 붙어 있습니다.),

    그 옆의 정사각형도 값이 2를 만족하도록 있다고 가정합시다.

    이때 맨오른쪽의 것을 기울여본다고 합시다.

    만약에 하나를 기울였을때,

    값이 2가 되도록 하지 못한다면, 2를 넘는값은 없습니다.

    이 경우에는 기울이지 못하는데,

    오른쪽 모서리에서 돌리는 경우를 생각할때 기존의 정사각형이 있는위치와 겹치기때문입니다.(머릿속에는 있는데, 어떻게 증명할지를 모르겠네요..)

    (중간 정사각형이 아랫변에 붙어있는 것이 아니라면 더욱 안되겠죠?)

    (중간의 것도 똑같습니다.)

    맨 왼쪽의 것이 1이 아닌경우에는

    세로의 길이가 1이 넘지 못하기 때문에,

    다른 정사각형과 직사각형이 이루는 윗공간, 또는 아랫공간이 1인 경우보다도 더 부족합니다.

    따라서 2가 넘는 경우는 1.에서는 없습니다.(중간것을 기울인다고 해도 같은 방법으로 설명가능합니다.)

    -2.

    위와 같은 조건에서(맨 왼쪽이 1),

    오른쪽의 두 정사각형을 돌린다고 합시다.

    두 정사각형을 하나로 볼때,

    같은 기울기를 가지는 선분의 길의 합이 1이 되는 부분은 반드시 존재합니다.

    맨왼쪽이 1이 아니더라도 1번과 마찬가지로 2가 되는 경우는 없습니다.

    양사이드의 정사각형을 돌린다고 하더라도,

    1과 같은 경우가 됩니다.

    -3

    (이건 못하겠네요..)

     

    -만약 이 내용이 맞다면 우리는 3번이 2를 넘는경우가 없다는 것을 증명하거나, 3번의 경우에서 2가 넘는 경우를 찾으면 되겠네요.

    (설명이 많이 부족한점 죄송합니다.. 머릿속에는 있는데 증명을 어찌할지 모르겠네요.)

     

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    • 인간의 이중성 2019.03.16 13:47:14

      모두 기울이는 경우는 전체 직사각형을 기울인 도형에 덮이므로 결국 정사각형을 기울이지 않은 경우와 일치한다는 것을 증명하면 되지 않을까요?

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    • code 2019.03.17 08:55:20

      정사각형의 각변들의 일직선상에 있지 않은경우도 있습니다.

      기울여진 정도는 같다고 하더라도 왼쪽 아랫부분에 하나, 중간 윗부분에 하나 오른쪽 아랫부분에 하나 이렇게 있으면 고려 대상이 달라집니다.

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  • 출제자(국) 2019.04.23 16:48:55

    힌트를 하나 올릴게요: 임의의 두 정사각형이 서로 겹치지 않게 배치되어 있으면, 어떤 직선이 있어서 두 정사각형 사이를 반으로 가를 수 있어요!

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