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[국가수리과학연구소] 국18. 혼잡한 직사각형

2018.06.01

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

이번 문제는 친구들이 서로 아이디어를 공유하면 더 잘 풀릴 거 같은 문제예요. 아이디어가 떠오르면 적극적으로 표현해 주세요!! 그럼 국가수리과학연구소의 18번째 문제 나갑니다!

 

 

가로의 길이가 2, 세로의 길이가 1인 직사각형이 있다. 이 직사각형 안에 한 변의 길이가 각각 \large x_{1}, \large x_{2}, \large x_{3}인 정사각형 3개가 서로 겹치지 않게 있다고 하자. \large x_{1}+x_{2}+x_{3}의 최댓값은 얼마일까?

 


 

댓글 80

  • Taxi1729 2018.06.01 15:29:52

    음 그럼 일단 전체 직사각형에서 세 정사각형의 넓이를 뺀 2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)가 최소가 되어야 하지 않을까요?

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    • Taxi1729 2018.06.01 15:30:51

      그럼 이제 코시 슈바르츠 부등식을 이용하면 될 것 같은데... 한번 해 보겠습니다!

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    • 수학장 2018.06.01 17:20:03

      넓이가 아니라 길이라서 좀 애매할 것 같네요. 제 추측으로는 2보다 커지지 않을 것 같습니다. 물론 정사각형을 기울이는 등 방법도 있지만 제가 해본 것 중에는 2를 넘는 것이 없었습니다.

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    • Euler 2018.06.01 19:55:50

      그런데 2 이하라고 하면 그림에서 나온 것처럼 최댓값이 2가 되거든요. 그래서 2 초과일 수도 있을것 같아요.

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    • 배유한 2018.06.01 20:09:04

      저는 개인적으로 2를 넘지 못할 것이라고 생각하는데요, 어쩌면 증명을 할 때, "최댓값이 2이다."가 끝이 아닌 왜 최댓값이 2인지까지 증명을 해야되지 않을까요?

       

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    • 수학장 2018.06.01 20:14:19

      Euler 님 그러면 언제 2를 넘을까요

      배유한님 그래서 제가 어디까지나 ‘추측’이라고 하였습니다 오해하지 말아주세요

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    • 배유한 2018.06.01 20:24:32

      계속 연구를 하다보면 2를 넘는 경우를 발견할 수 있지만, 만일 정말로 수많은 사람들이 했는데도, 꽤 많은 시간이 지났음에도 불구하고, 아무도 2를 넘는 경우를 발견하지 못했다면 왜 2를 넘는 경우가 안 나오는지 추가 증명이 필요할 것이라고 말한 것입니다. 말을 좀 애매하게 했나보네요 ^^; 죄송합니다.

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    • Euler 2018.06.01 22:01:11

      2를 넘는 경우가 있다 하면 그것은 정사각형이 기울어져있을 수밖에 없습니다. 그렇지 않은 경우라면 무조건 2가 나오기 때문입니다.

      사각형에 어떤 변에도 평행하지 않은 선을 긋고 그 선의 일부를 정사각형의 한 변으로 하는 형태의 그림일 수도 있겠네요.

      아니면 하나의 직사각형을 여러 삼각형으로 나누어서 그 안에 내접하는 정사각형을 그려도 되고요.

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  • 뉴턴의 사과 2018.06.01 20:24:04

    불가능할것 같긴 한데 넓이에 관한 2변수함수를 만들어서 편미분해 최댓값을 구하진 못하겠지요? 못하면 못한다고 솔직히 말해 주세요 저 수학 못하니까요^^

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    • 시그마 2018.06.03 13:52:36

      그렇게 어렵게 풀지 않아도 될 것 같아요 ㅋㅋㅋ 

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  • 시그마 2018.06.01 22:19:38

    사각형 하나에 집중해서 그것만 아~주 크게 만들면 되지 않을까요? 눕히면 충분히 가능할 것 같은데요?

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    • Poincaré12 2018.06.01 22:22:31

      그것도 생각해봤는대 계산좀 해보시면 가장큰 정사각형이 1이라는 것떔에 좀 비관적인 결과(2를 넘을 수 없다는)가 나옴니다..

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    • Poincaré12 2018.06.01 22:23:06

      반례 찾음 알려주세요!! 확신이 스진 않네요

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  • 수학장 2018.06.01 22:28:45

    정사각형을 기울인다고 최댓값이 2를 넘을 수 있을 지는 의문이네요. 기울이면 오히려 2보다 작아지지 않을까요?

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    • 시그마 2018.06.01 22:33:58

      저도 의문입니다만

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    • 수학장 2018.06.01 22:38:00

      일단 기울이면 정사각형의 한 변의 길이가 직사각형의 길이가 1인 선분을 내분했을 때 2a^2-2a+1이라는 결과가 나옵니다. 그런데 a가 1보다 작으므로 저 값은 1보다 작게 됩니다. 즉, 정사각형을 기울여도 그 변의 최대 길이는 1보다 커지지 않게 될 뿐더러, 공간을 더 많이 차지하게 됩니다.

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    • Euler 2018.06.01 22:53:06

      어떤 각도로 기울였을 때 넓이가 최대가 되게 한다면 그렇겠지만 그렇게 하지 않고 더 작게 만들어서 다른 사각형들의 사이에 들어간다면 더 효율적인 배치가 될 수도 있겠죠.

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    • 수학장 2018.06.01 22:56:26

      그럴까요? 잘 모르겠네요.(새로운 분들이 있어서 토론도 빨리빨리 되고 좋네요) 넓이도 그렇고 길이도 기울이지 않는게 더 효율적이지 않을까요?

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    • Euler 2018.06.01 23:08:43

      제가 기울어진 체로 길이를 2에 근접시킨 방법을 발견했는데요. 사진을 넣을줄 몰라서요.

      그냥 설명할게요.

      직사각형 긴변과 평행이고 넓이를 이등분하는 직선을 긋습니다. 그리고 그 변의 3등분점을 잡은 후 그 2개의 점을 지나고 짧은변과 평행하지 않은 선을 긋는데 그 선 2개는 서로 평행해야되요. 그러면 3개의 영역이 나오는데 거기에 사각형을 내접시키면 될것 같습니다. 여기서 그 2개선의 기울기를 변경시키면 어떻게 되지 않을까요? 제가 좌표평면에 올려서 해보겠습니다. 다른 좋은 방법 있으면 알려주세요.

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    • Euler 2018.06.01 23:11:53

      새로 생각난 방법이 있는데 일단 넓이가 1인 사각형을 한쪽끝에 배치하고 반대쪽 1*1공간에 사각형을 기울어지게 배치하는건 어떨까요?

      제가 추측하기로는 그냥 평행하게 넣는것보다는 기울여서 넣는게 더 좋을것같거든요.

      아니면 몇개는 평행하게 몇개는 기울어지게 놓는 겁니다. 위와 같은 방법이죠.

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    • 시그마 2018.06.03 12:03:30

      Euler님, 사진 올리는 법 알려드릴게요. 사진을 보세요이곳에서 파일선택 후카메라를 선택한 뒤, 찍으세요.

      파일명이 뜨면 서버로 이동 버튼을 누르시고요,

      이미지정보 들어가셔서 맨 아래 확인버튼 누르세요

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    • Euler 2018.06.03 12:44:52

      저는 컴퓨터로 하는데 이렇게 하면 되나요?

      예전에 몇번 해보려고 했는데 계속 안들어가져서...

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    • 시그마 2018.06.03 13:45:17

      어떻게 말이죠? 스크린샷을 해서 보여주세요

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  • Taxi1729 2018.06.02 00:02:02

    아 딱히 좋은 방법이 떠오르지 않네요 ㅋㅋㅋ우선 기울이는게 최선일듯 한데요

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    • Euler 2018.06.02 08:15:55

      아무래도 그렇죠. 기울이지 않으면 최대가 무조건 2가나오거든요.

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    • Taxi1729 2018.06.02 08:50:17

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    • Euler 2018.06.02 09:13:53

      기울기가 m이라 하면 가운데 영역에 들어갈 정사각형의 넓이는

      \frac{\left | m \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}인것 같아요.

      나머지는 두가지로 나눠서 해야될것 같아요

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    • Taxi1729 2018.06.02 09:32:35

      1번과 2번을 나뉘서 각각 계산해보아야 한다는 말씀이세요?

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    • astgneio 2018.06.02 13:39:23

      그런데 꼭 짧은 변의 중점을 지나는 가로선을 삼등분한 점만 지나야 할까요?

      가운데 있는 정사각형을 크게 만들고 나머지 정사각형을 작게 만들어도 될 것 같은데요...

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    • Euler 2018.06.02 16:55:51

      그게 최대가 될것 같아서 그렇게 했습니다. 그러면 우선 두 직선의 Y절편이 같을때와 다를때로 나눠서 풀수 있겠네요

      우선 첫번째 방법으로 해보겠습니다.그 다음에 다른 방법을 해보죠.

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    • Euler 2018.06.02 18:09:21

      그리고 1번 2번은 평행하거나 기울이는것 2가지가 있습니다. 한 8시정도에 구해서 올릴게요.

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    • Euler 2018.06.03 19:12:07

      증명은 맞는것 같네요. 저도 3번 증명 끝나가니까 나중에 올릴게요.

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  • 시그마 2018.06.02 16:01:21

    길이를 이용해서 넓이를 구하는 방식은 어떨까요?

    예로들어 큰 직사각형은 2×1=2인거죠

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    • Euler 2018.06.02 16:51:26

      그것도 좋은 방법이네요

      정사각형의 넓이와 길이의 관계로 풀 수 있겠어요

       

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  • MATHEMATIC 2018.06.02 22:46:28

    제 생각으로는 정답이 2입니다.

    조건을 나누어서 풀어보도록 하겠습니다.

    i)위 그림과 같이 세 직사각형이 연결되어 있는 경우

    이 경우에는 x1+x2+x3가 2 아니면 1이므로 이 경우에서의 최댓값은 2

    ii)정사각형 하나의 변의 길이가 1인 경우

    만약 정사각형 하나의 변의 길이가 1이라면 나머지 세로 1, 가로 1이 남는데 이 상태에서 최댓값은 2

    iii)정사각형이 기울어져 있는 경우

    정사각형이 기울어져 있는 경우 정사각형 하나의 크기는 크기가 1인 정사각형을 넘지 못하고, 최댓값이 루트 2 나누기 2, 그리고 하나를 더 만든다고 판단했을 때 루트2 나누기 2, 그리고 남은 하나의 변 길이의 최댓값은 1 나누기 4. 그러므로 이 경우에서는 2를 넘지 못합니다.

    iv)한 변의 길이가 1 미만인 경우

    한 변의 길이가 1 미만일 때 변 길이의 합이 최대가 되려면 i)와 같은 경우로 이어지거나 그 1미만인 숫자를 사용하여 작은 정사각형 하나를 끼워 넣는 방법인데 이 또한 자명하게도 2를 넘지 못한다.

    이 4가지 조건을 통합해보면 최댓값은 2라는 것을 확인할 수 있다.

     

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    • 티민thymine 2018.06.02 22:51:42

      정사각형기 기울어져 있는 경우, 한 변의 길이의 최댓값이 \frac{\sqrt{2}}{2}가 되지는 않습니다.

      한 변의 길이를 다르게 하면 2보다 큰 값이 나올 수도 있지 않을까요?

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    • MATHEMATIC 2018.06.02 22:56:25

      그러면 기울여져 있는 정사각형에 초점을 두고 보지 않았을 때는 2가 맞는데, 기울여져 있는 정사각형에 고려를 해보아야 한다는 말씀이시군요

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    • MATHEMATIC 2018.06.02 22:57:00

      생각을 한번 해 보겠습니다!smiley

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    • Euler 2018.06.03 00:43:23

      iii에서 몇개의 정사각형은 기울이고 나머지는 기울이지 않는 방법도 쓸 수 있겠네요.

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    • MATHEMATIC 2018.06.03 07:47:15

      iii)의 경우에서 제가 해보았을 때는 2를 넘는 것이 없었습니다...

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    • Euler 2018.06.03 09:03:12

      그렇다면 iii에서 조금 더 추가적인 증명이 필요할듯 하네요. 제가 위에 썻던 방법으로 하면 되겠어요. 구역을 3개로 나누고 각각 구하는 방법이요.

      그리고 이 네가지에도 들어가지 않는 특정한 경우는 없을까요?

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    • MATHEMATIC 2018.06.03 21:39:53

      Euler 님, 저도 그것이 의문입니다.

      새로운 경우를 찾으려고 노력중인 상태에 있습니다!

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  • 시그마 2018.06.03 11:55:17

    증명해봤어요.x_{1}=1이면 최댓값이 2더군요.참고로 h는 최댓값을 말하는 것입니다.

     

     

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    • 시그마 2018.06.03 13:50:57

      제가 MATHEMATIC님의 의견에 뒷받침하는 셈입니다 yes

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    • Euler 2018.06.04 15:56:34

      사진 확대하니까 화질이 깨지는데 leopark1228@naver.com 으로 보내주세요.

      검토해드릴게요.

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  • 시그마 2018.06.03 12:30:43

    문제에서 오타가 있습니다. 16번째가 아니라 18번째 아닙니까?

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    • 김우현 기자 2018.06.03 13:38:41

      앗, 수정했습니다. 시그마 친구 눈썰미 쵝오!!surprise 

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  • 시그마 2018.06.04 14:44:46

    증명:  h_1=1이고, x_2이 기울어져 있다면  h_1+h_2+h_3 의 최댓값은?

    정사각형 x_1,x_2,x_3의 한 변의 길이를  h_1,h_2,h_3이라고 가정하자.

    -증명 1:x_1의  크기변화-

    x_2와 외접하는 정사각형을 그린다고 하자 (이것은 남은 사각형 x_3의 크기가 x_2가 기울어져지지 않을때보다 확장될 수 있음을 알리기 위한 용도입니다.)

     

    만약 \varepsilon이 늘어난다면 h_2와 j이 줄어든다. 반대로 h_2가 늘어나면 \varepsilon이 줄어들기 떄문에 h_2,j,\varepsilon는 비례적이다. 이 관계는 다음과 같이 표현 가능하다.

    h_2+j+\varepsilon=1

    h_3의 최댓값이 \varepsilon이 아닌 j+\varepsilon이기 때문에 

    h_2+h_3=1

    라고 표현할 수 있다. 이를 검증하는 방법은 다음과 같다

    \varepsilon와 jh_2의 길이를 직사각형의 세로부분에 이어 표시한다. 그러면 항상 직사각형의 세로 부분이 꽉 차게 된다. 세로부분이 1이기 때문에 h_2+j+\varepsilon=1라고 할 수 있다.

    \therefore  h_1의 세변이 직사각형에 닿아있다면 최댓값은 2이다.

    Q.E.D

    -증명2:  x_1의 위치변화-

    만약 x_3이 x_2와 떨어져 있다면  j부분을 사용할 수 없어  h_2+h_3=1-j가 된다. 설령 x_2와 붙어있다고 해도 x_1이 움직이면 x_2,x_3의 크기가 작아짐으로 x_1을 움직이면 최댓값이 될 수 없다.

    Q.E.D

    -증명3:  x_2의 기울어짐 변화-

     x_2가 기울어짐의 정도를 수정해도 j가 줄어들거나 커지기때문에 이는 항상 비례적이고, 항상 h_1+h_2+h_3=2를  유지한다.

    Q.E.D

    -결론-

    h_1=1 이고, x_1가 기울어져 있다면h_1+h_2+h_3의 최댓값은 2이다.

    \huge Q.E.D{\color{Cyan} }

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    • Simon 2018.06.04 20:54:20

      어떤 정사각형이 외접하는 정사각형을 잡는 방법은 그 정사각형으로 인해 원래 있던 다른 정사각형과 겹칠 수 있으므로 불가하다고 생각합니다.

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    • 시그마 2018.06.05 19:54:43

      simon님, 그 외접하는 정사각형은 그만큼 확장 될 수 있다라는 것을 뜻하는 것이지 실제 simon님이 지적한 부분에는 아무 상관이 없음을 알려드립니다.enlightened

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    • Simon 2018.06.09 15:56:36

      h_1=1이면 x_1은 기울어질 수 없습니다. 직사각형의 높이가 1인 부분을 검토해 보시기 바랍니다. 가정에 오류가 있었네요

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    • 시그마 2018.06.10 20:31:00

      앗 오타네요.바꿨어요 

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    • 김우현 기자 2018.06.11 08:58:52

      시그마 친구의 풀이는 곧 백진언 연구원님께서 직접 의견을 달아 줄 예정!!laugh

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    • 출제자 2018.06.19 11:06:32

      안녕하세요 시그마 친구! 답장이 늦어서 미안해요. 이런 저런 일로 바빴네요 ㅜㅜ
      문제에 관심 가져줘서 정말 고마워요. 풀이에 대해 몇가지 코멘트할 게 있어서 댓글로 달게요.

      전체적으로 풀이를 모든 사람들이 이해할 수 있게 배려해서 쓰면 좋을 거 같아요.
      먼저 풀이가 증명 1, 2, 3으로 나눠져 있는데, 이게 경우를 나눈 것인가요? 증명에 달린 제목만 가지고는 어떤 경우를 고려했는지가 명확히 전달이 잘 되지 않네요. 증명 1, 2, 3이 각각 뭘 고려하는지를 더 명확하게 써주면 사람들이 이해할 수 있을 거 같아요.
      그리고 증명 1에서 h_2, j, \epsilon가 비례적이라고 하는 표현은 어떤 의미인가요? 비례식 이 항상 일정하다는 건지, 아니면 h_2, j, \epsilon 중 하나만 결정되면 다른 두 변수가 결정된다는 건지 등 좀 더 명확한 표현으로 서술해주면 이해가 될 거 같아요. 그리고 그림에서 \epsilon가 의미하는 게 뭔지 그림만 가지고는 파악이 잘 안 되네요 (추측하기로는 x_3을 반대쪽 구석에 가로/세로로 평행하게 넣었을 때 x_2의 외접사각형과 겹치는 길이인거 같아요)
      마지막으로, 풀이에서 항상 x_2가 왼쪽 위 구석에 위치해있다는 가정이 그림에 내포되어 있는데, 이것도 x_2가 왼쪽 위 구석에 위치해있지 않은 경우까지 모두 고려해줘야 합니다. 마찬가지로 x_3도 충분히 기울어질 수 있어요. x_2, x_3이 둘 다 기울어져 있고, 구석에 있지 않은 모든 경우까지 전부 고려할 수 있는 풀이가 완성되어야 증명으로 인정해줄 수 있을 거 같아요~

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  • Simon 2018.06.04 23:35:57

    함수를 구했어요!!!

    \sqrt{2x^2+\frac{1}{2}} +(1-x)(1+2x)

    이고 Demos를 이용해 풀어보면 최대가 2가 나와요!!

    오늘은 늦었으니 증명은 내일 올리도록 하겠습니다 ^^

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  • 김우현 기자 2018.06.05 09:38:16

    친구들! 증명이 잘 보이도록 수식이나 글은 직접 치고, 그림은 따로 찍어서 올려줄 수 있나요~?ㅜㅜsurprise 

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    • 연속체가설 2018.06.05 19:58:13

       

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  • 연속체가설 2018.06.05 19:57:20

    일단 가장 큰 정사각형의 길이(x1)는 1로 타고 남은 1x1 정사각형 안에서 찾으면 될 거 같은데요?

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    • 시그마 2018.06.05 20:04:12

      그림으로 설명 부탁드릴께요~

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    • 연속체가설 2018.06.07 19:31:04

      네~

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    • 연속체가설 2018.06.07 19:40:55

      근데 사진이 안 올라가서요...ㅠㅠ

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    • 연속체가설 2018.06.07 19:56:17

      제가 그려 보니까 어떻게 해도 x2+x3이 1을 못 넘어서 전 최댓값이 2라고 생각합니다.

      *저 초등학교 4학년이라 수학 못합니다...

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    • 시그마 2018.06.07 20:53:29

      앗, 저도 초4인데~~동지를 만나 기쁘네요!laugh

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  • MATHEMATIC 2018.06.05 22:20:20

    이제부터는 반례를 찾는 것보다는 최댓값이 2라는 것에 초점을 두고 증명을 해야 할 것 같다는 것이 제 개인적인 소견입니다.

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    • MATHEMATIC 2018.06.05 22:22:07

      Simon 님, 그 함수는 어떻게 해서 나온 것이죠?

      궁금해서 물어봅니다laugh

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    • Simon 2018.06.06 10:07:43

      검토 중에 오류가 하나 생겨 더 확장하고 있습니다. 확실하게 검토한 후 올리겠습니다. (근데 위에 증명하신 분 있지 않았나요?? 제가 잘못 생각했었는데 그분 증명 맞나요??

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  • 푸른물결 2018.06.18 00:49:24

    2+\frac{\sqrt{2}}{2}

     

    이렇게 되면 겹치는 거라고 보나요?

     

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    • 시그마 2018.06.18 14:35:23

      겹친겁니다.

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  • 애플파이 2018.06.21 23:27:26

    연속으로 3개의 정사각형(ㅁㅁㅁ)의 경우에는 큰 직사각형의 한변의 길이인 2를 넘지 못하는게 확실하고, 큰 직사각형 옆에 작은 직사각형 2개를 놓는 경우에는 큰 정사각형의 한변인1 더하기 나머지 작은 두 직사각형의 한변의 길이의 합1 인 2를 넘지 못하기 때문에 2 이하인 것 같습니다.

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  • 구머 2018.06.22 19:00:22

    복귀

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    • 수학장 2018.06.25 21:17:23

      저도 복귀요!

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    • 김우현 기자 2018.06.26 08:59:17

      yes

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    • Euler 2018.07.01 23:15:32

      저도 복귀!(오래 쉰것 같진 않네요

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  • aqua797 2018.07.02 21:54:24

    \frac{5}{2}\sqrt{2}가 나옵니다.

    이 직사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형으로 나눈 후 그 정사각형의 중점을 이으면 한 변이 \sqrt{2}인 정사각형이 총 2개가 나옵니다.그리고 직사각형의 긴 변의 중점에서 빈 공간에 한 변의 길이가 \frac{1}{2}\sqrt{2}인 정사각형이 나오며, 이를 모두 합치면 \frac{5}{2}\sqrt{2}가 됩니다. 이의 대략적인 값은 약 3.182이며 이 값은 2를 넘습니다.

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    • 구머 2018.07.02 21:57:12

      구한 값에 2를 나눠야 하실것 같은데요 ㅜㅜ

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    • aqua797 2018.07.02 22:00:51

      2로 나눠야 하는 이유가 뭔지 조금만 자세하게 설명해 주실 수 있나요?

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    • 구머 2018.07.02 22:03:23

      설명이 될까요?

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    • aqua797 2018.07.02 22:04:33

      이해됐어요ㅠㅠ설명 감사합니다

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  • 약간 수학 2018.11.06 22:17:54

    정사각형이 겹치지 않는다면 정사각형안에 정사각형이 들어가 있어도 되나요?

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    • 김우현 기자 2018.11.07 12:47:18

      한 사각형 안에 다른 사각형이 있는 경우도 겹치는 걸로 생각합니다. smiley

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