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문제

[대한수학회] 대18. '색'다른 축구공

2018.06.01

같이 풀어볼까?

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이번 대한수학회 문제는 신희성 인하대학교 수학과 교수님께서 내주셨습니다. 다가오는 러시아 월드컵에 딱 맞는 문제예요!

 

러시아 월드컵의 공인구인 ‘텔스타 18’은 1970년 멕시코 월드컵에서 사용된 공인구 ‘텔스타’에서 유래했다. 텔스타는 아래 사진에서 보듯이 육각형 20개와 오각형 12개 이어 붙은 모양으로, 육각형에는 흰색, 오각형에는 검정색이 칠해져 있다. 그러다 문득 궁금증이 생겼다.

 

 

 

문제. 만약 육각형, 오각형 모양을 구별하지 않고 축구공의 20개의 면에는 흰색을, 12개의 면에는 검정색을 임의로 칠할 수 있다고 한다면, 서로 구별되는 색칠 방법의 총 개수는 얼마나 될까? (단, 회전해서 같으면 한 가지로 센다.)

 

 

 

댓글 21

  • Euler 2018.06.01 18:28:51

    아마도 이 문제는 정n면체 색칠하는 방법으로 풀수 있을것 같네요.

    일단 축구공을 고정시킨 후에 색칠하는 경우에서 색칠한 축구공을 돌리거나 뒤집어서 만들 수 있는 것의 갯수를 나누면 풀릴 것 같아요.

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    • Euler 2018.06.01 19:22:00

      계산중에 발견한 건데 검은색 으로 칠해진 5각형 갯수를 기준으로 하나하나 해봐야 할것 같아요.

      예를 들어 정오각형 2개만 검은색으로 칠하면

      축구공에서 오각형에 검은색 칠하기(고정X):2가지?

      검은색을 고정한 후에 남은 정오각형 흰색으로 색칠하기 1가지

      정육각형 20개중 10개를 검은색으로 칠하기 20C10 / 2가지 (여기서만인데 그 이유는 검은색 정오각형이 2개만 있으면 양쪽으로 같은게 있어서2로 나눴습니다. 정오각형이 3가지일때도 있겠죠.그때는 노가다가 좀 필요할것같아요.)

      남은 정육각형 흰색으로 칠하기 1가지

      이래서 20C10 가지가 되요.

      이 풀이는 제가 아까 썻던거로 안풀었어요.

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    • Euler 2018.06.01 20:05:56

      나머지도 구해보겠습니다. 시간이 좀 걸리겠네요.

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  • 수학장 2018.06.01 21:20:57

    축구공의 면을 점으로 표현하고 붙어 있으면 선으로 연결된 단순그래프로 만든 다음에 색을 칠하는 가짓수를 세고 그 그래프를 돌렸을 때 같은 경우를 제외하면 될 것 같아요. 근데 종이에다가 그래프를 그리는 게 쉽지 않네요ㅠ

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  • math 2018.06.02 09:07:48

    (물론 이것도 다 수작업으로 한거라 틀릴 확률이 매우 높지만)일단 공이 좌우로만 돌렸을때 겹치는 것만 한 가지로 계산하고, 아직 공 전체를 회전시키는 것까지는 계산을 안했는데, 값이 75264420가지가 나왔네요. 그래서 돌려도 모양이 같은 것들은 따로 배제를 시키고, 20으로 나눈뒤, 나중에 다시 배제시킨 것들을 더해주려고 했는데 쉽게 되지 않네요 ㅠㅠ.

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  • math 2018.06.03 11:25:06

    댓글이 너무 없네요 ㅠㅠ. 저는 지금 3개의 아이디어로 접근중인데, 1. 밑면과 아랫면을 고정시킨뒤 경우의 수를 구하고, 그것을 또 돌려서 겹치는 부분을 배제시킨다.(지금 하고 있는 방법), 2. 축구공은 깎은 정이십면체이므로 먼저, 정이십면체를 생각한뒤, 그것을 깎아서 모양을 만든다고 생각해 경우의 수를 구한다, 3. 깎은 정이십면체외에 깎은 정사면체, 깎은 정육면체등 모양이 조금 더 간단한 준정다면체의 경우의 수를 구한뒤, 규칙을 찾아서 구한다. 이렇게 3가지를 염두해 두고 있는데, 더 쉬운 아이디어는 없을까요?

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    • 0gzg♡ 2018.07.10 18:17:10

      제생각엔 2,3번이 그나마 쉬울 것 같고, 다를 방법으로는 한 도형을 기준으로 해서 구하는 방법이나, 전개도로 펼쳐 구하는 방법이 있을 것 같아요.

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  • Mathdragon 2018.06.03 20:49:24

    이렇게 나누어서 생각해 봅시다.

    육각형 20개 모두에 흰색을 칠하는 경우 1가지

    육각형 19개에 흰색을 칠하는 경우 4가지

    이렇게 해 나가면 되지 않을까요?

    또 전개도를 활용하면 더 쉬울 듯 합니다.

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  • Mathdragon 2018.06.03 20:51:29

    이 그림은 정육각형 20개 중 19개에 흰색을 칠할 때 검은색이 칠해진 정육각형을 기준으로 하고, 정오각형에 흰색을 칠할 때 기준이 되는 정육각형과 같은 거리에 있는 경우가 돌렸을 때 같은 경우가 되므로 기준으로부터 같은 거리의 면에 같은 숫자를 적어 나타낸 경우를 나타낸 것입니다.

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    • math 2018.06.03 21:27:08

      기준이 한 개일때는 단순하지만, 기준이 5~6개로 올라가면 더 복잡해지고, 공을 돌렸음에도 불구하고, 똑같은 모양이 나와서 약간의 오차가 있지 않을까요?

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  • Peoyn 2018.06.10 00:15:03

    개인적인 생각입니다만 오각형 개수를 기준잡아서 각각의 경우에 대해 번사이드 공식(보조정린가요?) 써서 회전축 개수하고 각으로 풀어내면 될 것 같은데 계산이 너무 복잡해지나요...

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  • 컨버터 2018.06.13 01:09:24

    저는 축구공의 전개도를 이용하면 편할것같아서 이용하고있어요.

    그리고 축구공 전개도 중에서 기준을 하나 잡고 경우의 수를 구해도 되겠다는 생각이 들어서  연구 중입니다.

    경우의 수는 순열과 조합으로 해보려고 합니다.

    혹시라도 이상한 부분은 댓글 달아주세요!

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  • 이서준 2018.06.13 16:57:00

    2^{25}가지 같습니다.

    우선 축구공의 평면그래프를 그렸을 때 중심에 정오각형이 위치한다고 생각하면 주변에 5개의 육각형이 둘러싸게 됩니다.

    가운데 오각형 색칠 개수는 2가지이고 주변 색칠 개수는 돌려서 같아지는 것은 하나이므로 \frac{2^{5}-2}{5}+\frac{2}{1}로 8가지 입니다. 

    이 축을 고정시키면 나머지의 개수는 자유이므로 총 면의 개수인 32에서 6을 제외한 2^{26}가지 입니다.

    처음 고정 시킬 도형은 32가지 즉, 2^{5}이므로 경우의 수는 \frac{2\times 8\times 2^{26}}{2^{5}}으로 2^{25}가지 입니다.

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    • Simon 2018.06.13 17:58:32

      이 문제에서는 검은색과 흰색의 개수를 정해 두었다는 것을 잊지 말아주세요! 또한, 돌렸을 때 같은 것이 나올 수도 있어요. 다시말해 그러한 방식으로 문제를 생각한다고 해도 2^{25}보다는 커질 것이라는 이야기죠

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  • 작동이 2018.06.15 11:10:40

    이 문제는 일단 전체 갯수를 구하고

    겹치는 부분만 빼면 됩니다

    전체 갯수: (20+12)!

    겹치는 횟수:  위에있는 모양처럼하면 ...어렵네요;;;;

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  • 컨버터 2018.07.01 01:27:27

    저는 지금 중복되는 것을 생각하지 않고 모든 경우의 수를 모두 구하고 그다음에 중복되는 것을 구해서 빼는 방법을 생각해보고 있습니다.

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  • 수학 매니아 2018.07.05 01:27:40

    저는 이 문제를 20개의 면과 12개의 면으로 나누어서 생각을 해보았습니다.

    32개의 면에서 20개의 면으로 나누어지는 갯수를 순열과 조합 중에서 조합을 이용해서 풀었습니다.

    그렇게 조합으로 20개의 면으로 나누어지는 가짓수를 구한 다음에 2를 곱했습니다.

    왜냐하면 20개의 면이 흰색일 수 도 있고 12개의 면이 흰색 면일 수 도 있기 때문입니다.

    이렇게 칠판에다가 풀었습니다.

    수학동아에서 깜짝 힌트로 답이 2의 25제곱보다 작다고 하셨는데 실제로 답도 그렇게 나왔습니다.

    현재 제가 생각하기에는 답이 아닌 것 같지만 그래도 답이 맞나 올려봅니다.

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  • 코딩의 달인 2018.08.01 22:59:05

    별로 도움이 될 것 같지는 않겠지만...

    꼭 축구공에만 국한되지 말고, 그냥 32면체라고 생각하면 풀기 더 쉽지 않을까?  라는 생각이 문득 드네요...

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    • orbital 2018.08.01 23:04:29

      같은 32 면체라도 근데 한면이 다른면과 몇개 맞닿아 있는지는 다 차이가 있어서 무작정 32면체에서 생각하면 안될것 같아요! ㅎㅎ

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    • math 2018.08.01 23:34:03

      또, 깎은 정이십면체인 축구공은 오각형과 육각형의 배열이 반복되고 있어서 축구공의 배열이 겹치는 경우가 많고, 다양하다는 특징이 있죠.

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    • 코딩의 달인 2018.08.01 23:35:51

      그...렇군요..

      좋은 의견 감사합니다!

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