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[국가수리과학연구소] 초곡면과 이차곡선

2019.09.04

같이 풀어볼까?

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*이번 달은 국가수리과학연구소 대신 고등과학원 수학부 오정석 박사님께서 문제를 내주셨습니다.smiley

 

 

n차원 평면 P^n은 원점이 아닌 (n+1)개의 복소수 쌍 (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_n_+_1)의 집합이라고 하자. P^n1차 초곡면은 아래 조건을 만족하는 P^n의 원소들의 집합을 뜻한다.
 

어떤 (A_1, \cdots, A_n_+_1)\in P^n에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i=0을 만족한다.

 

 

그리고 P^n2차 초곡면은 아래 2가지 조건을 만족하는 P^n의 원소들의 집합을 뜻한다.

 

 

어떤 (A_1, \cdots, A_n_+_1, B_1_2, \cdots, B_n_,_n_+_1)\in P^{(n+1)(n+2)}에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i^2+\sum_{i\neq j}B_{ij}x_ix_j=0을 만족한다. 
 \sum_{i=1}^{n+1}A_ix_i^2+\sum_{i\neq j}B_{ij}x_ix_j=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}C_ix_i \right )^2을 만족하는 P^n의 원소 (C_1, \cdots, C_{n+1})이 존재하지 않는다.

 

 


 

 


1 (x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1})이 1차 초곡면 혹은 2차 초곡면에 속하면, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})도 1차 초곡면 혹은 2차 초곡면에 속함을 보여라. 단 \lambda \neq 0이다.
 

2 P^2의 두 초곡면 A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3=0A'_1x_1+A'_2x_2+A'_3x_3=0은 무한히 많은 직선에서 만나거나 혹은 한 직선에서 만남을 보여라. 

 

3 2번을 일반화해 "P^n의 1차 초곡면 n1개와 2차 초곡면 n2개는 무한히 많은 직선에서 만나거나, 중근을 중복해서 셌을 때 2n2개의 직선에서 만난다"는 베주 정리를 증명하라. 단, n_1+n_2=n이다.

 

베주 정리를 이용해 P^2 위의 5개의 1차 초곡면에 접하는 2차 초곡면은 무한히 많거나 1개임을 보여라.

 

소문제 4번은 P^5 위에서 5개의 2차 초곡면이 무한히 많은 직선에서 만나거나 32개의 직선에서 만난다는 사실과 모순된 것처럼 보인다. 모순이 아닌 이유를 설명하여라.

 

 

-끝-

 

댓글 3

  • 디듀우 2019.09.04 21:50:10

    1번의 1차 초곡면의 경우에 대한 부분 증명입니다.

    (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})에 대해 \sum_{i=1}^{n+1}\lambda x_iy=0인 y의 집합이 공집합이 아니면 1차 초곡면입니다. 그런데\sum_{i=1}^{n+1}\lambda x_iy=\lambda\sum_{i=1}^{n+1} x_iy=0이고 뒤쪽 두 변을 \lambda로 나누면 \sum_{i=1}^{n+1} x_iy=0이고 이는 (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})에 대한 1차 초곡면의 원소의 조건식이므로 공집합이 아닙니다. 즉, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})에 대한 1차 초곡면 원소의 조건식이 (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})에 대해서와 같게 변형되므로, (x_1, x_2,...,x_n,x_{n+1})가 1차 초곡면이라면, (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1})도 같은 1차 초곡면이 됩니다.

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    • 디듀우 2019.09.05 22:28:03

      2차의 경우도 같은 방법으로 람다를 시그마 밖으로 빼고 람다로 양변을 나누면 곱하기 전과 같은 식이 나오므로 가능합니다.

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    • 디듀우 2019.09.07 09:14:34

      그러면 식의 형태가 같으므로 2차 초곡선의 두 번째 조건도 만족합니다.

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