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문제

[대한수학회] 대33. 완전제곱의 합 만드는 신비의 수

2019.09.02

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

양의 정수 a, B, c에 대해 f(x, y)=ax^2+Bxy+cy^2라 하자. 주어진 다항식 f(x, y)

f(x, y)=(a_1x+b_1y)^2+(a_2x+b_2y)^2+\cdots +(a_nx+b_ny)^2

로 표현 가능한 정수 a_i, b_i, 그리고 양의 정수 n이 존재할까? 그런 정수가 존재하기 위해서는

B는 짝수이고 4ac\geq B^2   (1)

을 만족해야 함이 자명하다. 모델(L. J. Mordell)의 5-제곱 정리에 의하면 조건 (1)을 만족하는 모든 다항식 f(x, y)에 대해 n=5이면 주어진 조건을 만족하는 정수 a_i, b_i가 항상 존재한다.

예를 들어,

2x^2+2xy+4y^2=(x+y)^2+x^2+y^2+y^2+y^2

으로 표현할 수 있다. 또한 5-제곱 정리에 의하면, 모든 양의 정수 n에 대해

x^2+ny^2=x^2+(b_1y)^2+(b_2y)^2+(b_3y)^2+(b_4y)^2

을 만족하는 정수 b_i가 항상 존재하므로, 모든 정수는 4개의 정수의 제곱의 합으로 표현될 수 있음을 알 수 있다.

양의 정수 m, n에 대하여

S_m(n)={(x_1, x_2,\cdots , x_m)} : x_1^2+x_2^2+\cdots +x_m^2=n

이라 정의하고

\mathfrak{S}_m(n)=\left \{ x_1+x_2+\cdots +x_m : (x_1, x_2, \cdots , x_m)\in S_m(n) \right \}

이라 정의하자. 예를 들어, \mathfrak{S}_5(10)=\left \{ -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 \right \}임을 쉽게 확인할 수 있다.

만약 S\in \mathfrak{S}_m(n)이면 S^2\leq mn이어야 하고, S-n은 짝수여야 함이 자명하다. 즉,

\mathfrak{S}_m(n)\subseteq \mathfrak{T}_m(n)=\left \{T:T^2\leq mn, T-n\right \}

임이 자명하다. 이때 T-n은 짝수다.

 

1. 양의 정수 m5 \leq m\leq 7을 만족한다고 하자. 모든 양의 정수 n에 대해, \mathfrak{S}_m(n)= \mathfrak{T}_m(n)이 성립함을 증명하라. 모델의 5-제곱 정리를 사용해도 좋다.

 

2. 모든 양의 정수 n에 대해, \mathfrak{S}_8(n)= \mathfrak{T}_8(n)이 성립함을 증명하라.

 

3. 이제 m=9인 경우를 고려하자. 이 경우, n=19이면

\mathfrak{T}_9(19)-\mathfrak{S}_9(19)=\left \{ -13, 13 \right \}

이 성립하므로, 두 집합이 같지 않은 양의 정수 n이 존재함을 알 수 있다. 다음 등식 \mathfrak{S}_9(n)= \mathfrak{T}_9(n)을 만족하는 양의 정수 n을 모두 구하라.

 

4. 다음 등식 \mathfrak{S}_1_2(n)= \mathfrak{T}_1_2(n)을 만족하는 양의 정수 n을 모두 구하라.

댓글 10

  • 여백 패르마 2019.09.03 19:30:09

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    • 여백 패르마 2019.09.03 19:31:30

      1번에 m=5인 경우의 풀이입니다.

      1번 풀이에 도움이 될 것 같아서 올립니다.

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  • 구머 2019.09.04 22:57:45

    근뎅 모델 5제곱 정리가 뭐죵 알면 문제이해에 도움이 될듯 싶네요

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    • 김우현 기자 2019.09.05 09:58:24

      모델의 정리는 1930년 수학자 미국계 영국 수학자 루이스 모델이 A NEW WARING'S PROBLEM WITH SQUARES OF LINEAR FORMS에 발표한 결과로, 내용은 아래와 같습니다.

       

      f(x, y)=ax2+Bxy+cy2 ←주어짐

      a≥0,  B는 짝수,  4acB2 ←조건 3개

      ax2+Bxy+cy2=(a1x+b1y)2+(a2x+b2y)2+(a3x+b3y)2+(a4x+b4y)2+(a5x+b5y)2로 표현 가능하다 ←결과

      (ai, bi는 정수) 

       

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    • 구머 2019.09.06 16:37:22

      감사합니다^^><

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  • 모두다같이 2019.09.14 18:48:26

    '모든 자연수는 4개의 정수의 제곱 합으로 나타낼수있다' 설명부분에서 B = 0 일때도 짝수로 간주한건가요? 짝수개념을 자연수에 그치지않고 0 그리고 음수도 포함한건지 확인 부탁드립니다..!

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    • tommy 2019.09.14 21:33:39

      저도 그 부분에서 좀 혼란스러웠던 게, 위에서 f(x, y)=ax^2+Bxy+cy^2이라고 정의할 때 a, b, c가 모두 자연수라고 하셨는데(아마 a, B, c인데 오타가 난 거겠죠..?) 0을 짝수로 볼 수는 있어도 0이 자연수는 아니니까 f(x, y)=1x^2+0xy+ny^2로 둘 수 없습니다. 그래서 저도 그 부분을 질문하려고 했었어요 O_O

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    • 김우현 기자 2019.09.16 09:14:50

      이전에 수정 과정이 있었는지 여부를 알 수 없어 현재 상태를 기준으로 답변드려요!

       

       ①문제 첫 줄에 a, b, ca, B, c로 고쳐야 합니다. 오타가 났네요! 현재 수정 완료! (죄송합니다^_ㅜ)

       ②a, B, c양의 정수이므로 0 또는 자연수입니다. '짝수'는 n=2k(k는 정수)를 만족하는 n을 뜻하므로, B=0인 경우도 포함합니다.

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  • tommy 2019.09.14 22:32:52

    문제를 보니 많은 생각들이 드네요. ㅎㅎ

     

    1. (추리) 일단 문제를 보면 다 특정 m 값에 대해 \mathfrak{S}_m(n)과 \mathfrak{T}_m(n)이 언제 같은지를 보이는 문제네요. 1번 문제는 m=5, 6, 7, 2번 문제는 m=8, 3번 문제는 m=9, 4번 문제는 m=12. 출제자의 의도를 생각해 본다면, 이렇게 수를 준 이유가 있다는 거겠죠. ㅎㅎ 1, 2번 문제를 보면 m=5, 6, 7인 경우를 한 번에 증명할 수 있는 방법이 있고(모델 5-제곱 정리를 이용해서 말이죠), 그 방법이 m=8일 때는 통하지 않기에 그때는 새로운 방법이 필요한 것 같네요. 그리고 3번 문제는 그냥 m\geq 9 정도부터는 어떤 n에 대해서는 \mathfrak{S}_m(n)\neq \mathfrak{T}_m(n)인 경우가 생겨서 그런 것 같고(실제로 m\geq 9면 \mathfrak{S}_m(1)\neq \mathfrak{T}_m(1)입니다), 4번 문제를 보면 m=12일 때는 무언가 또 특별한 일이 발생하게 될 것 같네요. ㅎㅎ

    그렇다면 일단 제 생각엔 m=1, 2, 3, 4인 경우에는 무슨 일이 일어나는지도 살펴보면 좋을 것 같습니다. 그리고 혹시 가능하다면 모든 자연수 m을 관통하는 일반적인 법칙을 찾을 수 있다면 더 좋겠네요.

     

    2. (아이디어 1) v=(x_1, x_2, x_3, ..., x_m)을 m차원 벡터라고 생각한다면, 그 노름은 x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_m^2으로 주어집니다. 그렇게 생각한다면, x_1+x_2+x_3+...+x_m은 벡터 vm차원 벡터 u=(1, 1, 1, ..., 1)의 내적으로 볼 수 있습니다. 음... 이 생각이 갑자기 떠올랐는데, 이걸 어떤 방식으로 응용할 수 있을지는 사실 잘 모르겠네요. ㅎㅎ

     

    3. (아이디어 2) 이것도 어떤 식으로 응용할 수 있을지는 모르겠지만, 그냥 다른 분들이 어떤 아이디어를 낼 수 있도록 써놓아 볼게요(?). 복소해석학에서 사용하는, 세타 함수라는 함수를 사용하면 주어진 음이 아닌 정수 n에 대해 x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_m^2=n이 성립하는 정수 순서쌍의 개수를 정확히 셀 수 있습니다. 세타 함수 \theta(z)는 다음과 같이 정의됩니다:

    \theta(z)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi ik^2z}=\sum_{k=-\infty }^{\infty }q^{n^2}=1+2q+2q^4+2q^9+... (여기서 q=e^{\pi iz})

    이 세타 함수를 m제곱하게 되면, q의 지수에 m개의 제곱수를 모두 더한 결과값이 나타나고 그 항의 계수에는 그 조합이 총 몇 번이나 나타났는지가 표시되기 때문에, 이 전체 급수의 계수로부터 어떤 음이 아닌 정수 n을 m개의 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수를 알 수 있게 되는 겁니다.

    \theta(z)^2=(\sum_{x_1=-\infty }^{\infty }e^{\pi ix_1^2z})(\sum_{x_2=-\infty }^{\infty }e^{\pi ix_2^2z})=\sum_{x_1=-\infty }^{\infty }\sum_{x_2=-\infty }^{\infty }e^{\pi i(x_1^2+x_2^2)z}

    =1+4q+4q^2+4q^4+8q^5+4q^8+4q^9+8q^{10}+...

    위 식을 보시면, 예를 들어 q^5항의 계수 8로부터 우리는 5를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 수가 8가지(5=1^2+2^2=(-1)^2+2^2=1^2+(-2)^2=(-1)^2+(-2)^2=2^2+1^2=(-2)^2+1^2=2^2+(-1)^2=(-2)^2+(-1)^2)가 있다는 사실을 알 수 있습니다. 이것만으로는 어차피 세타 함수의 m제곱을 일일이 전개해야 하므로 직접 계산하는 것과 다를 것이 없다고 생각할 수 있지만, 사실 세타 함수는 모듈러 형식이라는 매우 특별한 종류의 함수로 다음과 같은 성질을 띱니다:

    \theta(-\frac{1}{z})=\sqrt{-iz}\theta (z)

    이 식에 대해서 자세한 설명을 하지는 않겠지만, 그냥 세타 함수의 이런 특별한 성질 때문에 세타 함수의 m제곱의 급수 전개의 계수는 어떤 공식을 통해 계산이 가능하게 된다고만 언급하겠습니다.

    음... 그래서, 기존에 이런 연구가 있었는데, 여기서 어떤 부분을 약간 발전시켜서 이 문제에 적용시킬 수도 있지 않을까요? ㅎㅎ

    (예를 들어, \theta(z) 대신 \vartheta(z;\tau )=\sum_{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi ik^2\tau +2\pi ikz}로 정의되는 \vartheta(z;\tau )m제곱해 보면 x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_m^2=n이고 x_1+x_2+x_3+...+x_m=S인 정수쌍 (x_1, x_2, x_3, ..., x_m)의 개수에 대해 연구할 수 있지 않을까요?)

     

    4. (아이디어 3) 약간 귀납적인 방법으로 증명하는 방식을 생각해 볼 수 있을 것 같습니다. 예를 들어, 수학적인 방법을 통해, 또는 막노동을 통해 \mathfrak{S}_5(99)가 \mathfrak{T}_5(99)=\left \{ -21, -19, -17, ..., 17, 19, 21 \right \}와 같다는 걸 보였다고 합시다.(여기서는 이 아이디어의 구체적인 실행 과정을 설명하기 위해 실례를 모두 구했다고 가정하겠습니다.)

    (6, 5, 5, 3, 2) → 21
    (7, 5, 4, 3, 0) → 19
    (6, 5, 5, 3, -2) → 17
    (6, 5, 5, 2, -3) → 15
    (7, 7, 0, 0, -1) → 13
    (6, 5, 3, 2, -5) → 11
    (5, 5, 3, 2, -6) → 9
    (6, 5, 3, -2, -5) → 7
    (6, 5, 2, -3, -5) → 5
    (5, 5, 2, -3, -6) → 3
    (6, 3, 2, -5, -5) → 1

    (각각의 순서쌍은 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=99를 만족하는 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) 순서쌍을 의미하며, 화살표 오른쪽의 수는 x_1+x_2+x_3+x_4+x_5의 값을 의미합니다. 위에서는 총합이 1, 3, 5, ..., 17, 19, 21이 되는 실례를 들었으며, 총합이 -21, -19, -17, ..., -5, -3, -1이 되는 실례는 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 각각에 -1을 곱함으로써 얻을 수 있습니다.)

    이제 이것을 이용하면 \mathfrak{S}_6(100)=\mathfrak{T}_6(100)이라는 사실을 (거의) 밝힐 수 있습니다. 단지 각각의 순서쌍의 끝에 x_6=1을 추가해 주기만 하면 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2=100을 만족하는 순서쌍들을 얻을 수 있기 때문입니다.

    (6, 5, 5, 3, 2, 1) → 22
    (7, 5, 4, 3, 0, 1) → 20
    (6, 5, 5, 3, -2, 1) → 18
    (6, 5, 5, 2, -3, 1) → 16
    (7, 7, 0, 0, -1, 1) → 14
    (6, 5, 3, 2, -5, 1) → 12
    (5, 5, 3, 2, -6, 1) → 10
    (6, 5, 3, -2, -5, 1) → 8
    (6, 5, 2, -3, -5, 1) → 6
    (5, 5, 2, -3, -6, 1) → 4
    (6, 3, 2, -5, -5, 1) → 2

    음의 정수에 대해서도 같은 과정을 반복하면(다만 x_6=-1을 추가해야겠죠), \pm 2, \pm 4, \pm 6, ..., \pm 20, \pm 22가 모두 \mathfrak{S}_6(100)의 원소가 됨을 알 수 있습니다. 하지만 \mathfrak{T}_6(100)=\left \{ -24, -22, ..., -4, -2, 0, 2, 4, ..., 22, 24 \right \}입니다. 즉, 0과 \pm 24가 문제입니다. 0의 경우 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)=(6, 3, 2, -5, -5)에 x_6=1 대신 x_6=-1을 추가하면 간단히 해결되지만, \pm 24의 경우에는 같은 방법으로 \pm 24\in \mathfrak{S}_6(100)임을 밝힐 수 없을 듯합니다. 실제로

    (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)=(5, 5, 4, 4, 3, 3)이면 총합이 24가 되지만(-24의 경우도 부호를 제외하곤 동일), 이 순서쌍은 S_5(99)의 원소들로부터 얻어내기 힘듭니다. 그래서 이 귀납적 방법은 꽤 좋은 방법 같기는 하지만 n과 m이 커지면 \pm 24의 경우처럼 누락되는 부분이 많아져 효과적이지 못할 것 같습니다. 그래도 이 방법은 어느 정도 발전의 여지가 있을 것 같아서 일단 아이디어로 적어 둘게요. ㅎㅎ

    (약간 결과론적 해석 같기도 한데, 어쩌면... S_5(91)의 원소인 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)=(5, 5, 4, 4, 3)으로부터 (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)=(5, 5, 4, 4, 3, 3)을 얻어낼 수도 있을까요? S_6(n)의 원소를 찾기 위해 S_5(n-1), S_5(n-4), S_5(n-9), ... 등을 모두 동원하는 거죠.)

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  • 모두다같이 2019.09.15 09:37:44

    (기자님도 여유시간에 폴리매스 문제 푸나요? ㅋㅋ..)

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