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[대한수학회] 대17. [문제 수정 및 추가!] p-적합수

2018.04.30

같이 풀어볼까?

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이번 대한수학회 문제는 오병권 서울대 수리과학부 교수님께서 내주셨습니다. 어떤 문제인지 바로 확인해 볼게요!

 

smiley 6월 14일 오전 11시 문제를 수정합니다. Simon님이 지적대로 문제에 오류가 있어 고칩니다.

오병권 교수님께서 문제를 다시 검토한 결과 문제 2번에서 조건이 하나 빠졌다고 합니다. 이참에 문제도 더 다듬고, 문제 4번을 추가로 내주셨습니다.

대한수학회 폴리매스 17번 문제를 다시 즐겁게 풀어주세요~! 

 

양의 정수 \large n에 대해 \large S_n =\left \{ (a, b, c) \in \mathbb{Z}^3 : a^2 + b^2 + c^2 = n \right \} 이라 정의하자. 단, \large \mathbb{Z}는 정수 전체의 집합이다.

이제 \large T_n =\left \{(a, b, c) \in S_n : a + b + c 는 3의 배수 \right \}는 3의 배수}, \large t_n =\left \{ \frac{a+b+c}{3} : (a, b, c) \in T_n \right \}이라 정의하자.

5 이상의 소수 \large p에 대해, 집합 \large t_n\large p와 서로소인 정수를 포함하고 있으면 \large n \large p-적합수라 정의한다. 

 

예를 들어, \large t_5_0= {0, 2, −2, 4, −4}이므로 임의의 소수 \large p ≥ 5에 대해 \large p-적합수이지만, \large t_9_3= \left \{\pm 5 \right \}이므로 93은 5-적합수가 아니고, \large t_2_7_3=\left \{\pm 7 \right \}이므로 273 역시 7-적합수가 아니다.

 

양의 정수 n은 t_n\neq \varnothing이 성립한다고 가정하고, p는 5 이상의 소수라 하자.

 

문제1. 양의 정수 \LARGE n이, 9의 배수고 \LARGE p^2의 배수가 아니면 \LARGE p-적합수임을 보여라.

 

 

문제2. 양의 정수 \LARGE n이, 3으로 나누면 나머지가 2이고 \LARGE p^2의 배수가 아니면서 \LARGE t_n\neq \left \{ 0\right \} 이면 \LARGE p-적합수임을 보여라.

 

 

문제3.  문제 1과 2에서 양의 정수 \LARGE n\LARGE p^2의 배수이어도 주장이 역시 성립함을 보여라.

 

 

문제4.  3의 배수이면서 5-적합수인 정수 \LARGE n을 모두 구하여라.

 

 

 

※알립니다

Simon 친구가 소문제 (1), (2)번 문제를 해결했어요! laugh

 

댓글 54

  • 여백 패르마 2018.05.04 16:56:35

    이 문제는 꽤 어렵군요. 정수론의 한 부분의 정리 (Lemma (1),(2),(3))를 꼭 알고 있어야 합니다.  (구머님의 >< 표시에 all rights reserved 가 없었기 때문에 사용합니다.laugh)

     Lemma (1)) 양의 정수인 n,m이 존재하고, nm은 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다면, n\cdot m도 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

    pf(1)) n=a^{2}+b^{2},m=c^{2}+d^{2}이라고 하자. 그러면 n\cdot ma^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}이므로 두 제곱수의 합으로 나타내어진다. ><

    Lemma (2)) 소수 p가 두 제곱수의 합으로 나타내어지기 위한 필요충분조건은 p\equiv 1(mod 4)인 것이다.(예외로 p=2가 있지만, 그것은 제외한다.)

    pf(2)) p\not\equiv 0(mod 4)인 것은 자명하다. 그리고 p\equiv 2(mod 4)이면,  p는 소수가 되지 않기 때문에 p\not\equiv 2(mod 4)이다. 다음으로 p\equiv 1(mod 4)이라고 하자. 이때 (\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1이므로 이차합동식 x^{2}\equiv -1(mod p)의 해가 존재한다. 즉, a^{2}\equiv -1(mod p), 1\leq a\leq p-1인 정수 a가 존재하고 또 a^{2}+1^{2}=kp인 정수  k가 존재한다. 그런데 1\leq kp=a^{2}+1\leq (p-1)^{2}+1<p^{2}이므로 1\leq k\leq p-1이다. 그러므로  1\leq k\leq p-1인 적당한 정수 k에 대하여 x=a,y=1은 방정식 x^2+y^2=kp의 정수해이다. 이제 정수해를 가지는 방정식 x^2+y^2=kp,  1\leq k\leq p-1중에서  k의 값이 가장 작은 것을 m이라고 하고 m=1이라는 것을 증명하자. 이와 반대로 1\leq m\leq p-1이라고 가정하고 x=a,y=b를 방정식 x^2+y^2=mp의 정수해라고 하자. 이 때 a^2+b^2=mp이므로a_1\equiv a(mod (m)), -\frac{m}{2}\leq a_1\leq \frac{m}{2}         b_1\equiv b(mod (m)), -\frac{m}{2}\leq b_1\leq \frac{m}{2}인 정수 a_1,b_1을 택하면  a_1^2+b_1^2\equiv a^2+b^2\equiv mp\equiv 0이므로 a_1^2+b_1^2=k_1m인 정수 k_1가 존재하고 이때 k_1m=a_1^2+b_1^2\leq \frac{m^2}{2}=\frac{m}{2}m이므로 0\leq k_1<\frac{m}{2}<m이다. 그런데, k_1=0이라고 가정하면, 분명히 a_1=b_1=0이므로 a\equiv b\equiv 0(mod(m))이고 또 a^2+ b^2=mp이므로 m^2\mid mp 즉 m\mid p로 되어 1<m\leq p-1이라는 사실에 모순된다. 그리고, k_1m^2p=(a_1^2+b_1^2)(a^2+b^2)=(a_1a+b_1b)^2+(a_1b-b_1a)^2, a_1a+b_1b\equiv a^2+b^2\equiv 0(mod(m)), a_1b-b_1a\equiv ab-ba\equiv 0(mod (m))이므로, \frac{a_1a+b_1b}{m}\frac{a_1b-b_1a}{m}는 모두 정수이고 또 다음이 성립한다: (\frac{a_1a+b_1b}{m})^2+(\frac{a_1b-b_1a}{m})^2=k_1p 이것의 뜻은 1\leq k_1<m인 정수  k_1에 대해 방정식 x^2+y^2=k_1p가 정수해를 가진다는 것이고, 이것은  m의 최소성에 모순된다. 그러므로 m=1이고, 방정식 x^2+y^2=p는 정수해 x=a, y=b를 가진다. ><

    Lemma (3)) 양의 정수 n이 두 제곱수의 합으로 나타내어지기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족해야 한다.   

    (i) n=t^{2} (t\geq 1)   (ii)  n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot \cdot \cdot p_r^{e_r}t^2(e_1\geq 1,...,e_r\geq 1,t\geq 1)

    pf(3)) 양의 정수 n에 대해서 (i),(ii) 또는 다음이 성립한다: (iii) p^{2e+1}\parallel n(e\geq 0) 이고 p\equiv 3(mod 4) 인 소수 p가 존재한다. 

    먼저, (i)의 경우에 n=0^{2}+t^{2}이므로 두 제곱수의 합으로 나타내어 진다. 

    그리고 (ii)의 경우에 Lemma (2)에 의해 각 p_i는 두 제곱수의 합으로 나타내어 지고 또 t^{2}은 두 제곱수의 합으로 나타내어지므로 Lemma (1)에 의해 n도 두 제곱수의 합으로 나타내어진다. 

    마지막으로, (iii)의 경우에 대해 생각해보자. 여기에서 gcd(a,b)는 a,b의 최대공약수이다. 

    두 정수 a,b에 대해 n=a^{2}+b^{2}이라고 가정하자. 또, d=gcd(a,b)이라고 하자. 이때, d^{2}\mid n이므로 a_1=\frac{a}{d},b_1=\frac{b}{d}, m=\frac{n}{d^2}이라고 놓으면 a_1^{2}+b_1^{2}=m이고 gcd(a,b)=1이다. 이제 정수 k에 대해 p^{k}\parallel d라고 하자. 이때, p^{2k}\parallel d^{2}d^{2}\mid n이므로 p^{2k}\mid n이고, 또 가정에 의해 p^{2e+1}\parallel n이므로 2k\leq 2e+1이다. 그런데 n=d^{2}m이므로 p^{2e+1-2k}\mid m이고, 또 2e+1-2k는 홀수이기 때문에 2e+1-2k\geq 1이고 따라서 p\mid m이다. 

    한편, p\mid a_1이라고 가정하면 b_1^{2}=m-a_1^2이므로 p \mid b_1^{2}이고 따라서 p \mid b_1으로 되어 gcd(a_1,b_1)=1이라는 사실과 모순이다. 

    그래서 gcd(a_1,p)=1이므로 일차합동식 a_1x\equiv b_1(mod p)의 해 x가 단 하나 존재한다. 이 해를 x\equiv c(mod p)라고 하면, a_1^{2}+b_1^{2}\equiv a_1^{2}+(a_1c)^{2}\equiv a_1^{2}(1+c^{2}) (mod p)이고 , 1+c^{2}\equiv 0(mod p), 즉 c^{2}\equiv -1(mod p) 그러므로 이차합동식 x^{2}\equiv -1(mod p)의 해가 존재한다. 한편, p\equiv 3(mod 4)으므로 (\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=-1이고, 따라서 모순이 생긴다. 그러므로 (iii)의 경우는 모순이다. ><

    본 증명) 이 문제의 대우명제를 증명하자. 1번과 3번의 반절을 증명하자. 1번과 3번의 반절은 다음과 같다: 'n이 9의 배수이면 n은 p-적합수임을 증명해라.' 이의 대우 명제는 다음과 같다: 'n이 p-적합수가 아니면 n은 9의 배수가 아니다.' 이 명제를 증명해야 한다. 

     a^{2}+b^{2}+c^{2}=n이다. 즉, a^{2}+b^{2}=n-c^{2}a^{2}+c^{2}=n-b^{2}b^{2}+c^{2}=n-a^{2}이다. Lemma (3)에 의해 a^{2}+b^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2} 모두 제곱수의 배수이다. 즉, n-a^{2}=\alpha t^{2}n-b^{2}=\beta m^{2}n-c^{2}=\gamma k^{2}이다. 즉, a=\sqrt{n-\alpha t^2}, b=\sqrt{n-\beta m^2}, c=\sqrt{n-\gamma k^{2}}이다. 당연히 이 식들의 값은 모두 정수이여야 한다. a,b,c\in t_n이라면 \sqrt{n-\alpha t^{2}}+\sqrt{n-\beta m^{2}}+\sqrt{n-\gamma k^{2}}\equiv 0(mod 3)이다. 그리고 n이 p-적합수 가 아니기 때문에 \sqrt{n-\alpha t^{2}}+\sqrt{n-\beta m^{2}}+\sqrt{n-\gamma k^{2}}\equiv 0(mod p)이다. \sqrt{n-\alpha t^{2}}+\sqrt{n-\beta m^{2}}+\sqrt{n-\gamma k^{2}}를 x라고 치환하면 \left\{\begin{matrix}x\equiv 0(mod 3)) \\ x\equiv 0(mod p) \end{matrix}\right.이라는 연립일차합동식이 나온다. 

    Lemma (4)) 두 양의 정수 m_1,m_2가 서로소일때, 다음이 성립한다: 임의의 두 정수 c_1,c_2에 대해 연립일차합동식 \left\{\begin{matrix}x\equiv c_1(mod m_1) \\ x\equiv c_2(mod m_2) \end{matrix}\right.는 법 m_1m_2에 관해 단 한개의 해 x\equiv u(mod m_1m_2)를 가진다. 증명은 귀찮다. 중국인의 나머지 정리이기 때문에 쉽게 증명을 알아낼 수 있을 것이다. 

    본 증명)  즉, \left\{\begin{matrix} x\equiv 0(mod3)\\x\equiv 0(mod p) \end{matrix}\right.의 일차연립합동식의 해는 x\equiv 0(mod 3p)이다.  즉,  \sqrt{n-\alpha t^{2}}+\sqrt{n-\beta m^{2}}+\sqrt{n-\gamma k^{2}}은 3p의 배수이다. 즉, 다음 명제를 증명해야 한다: \sqrt{n-\alpha t^{2}}+\sqrt{n-\beta m^{2}}+\sqrt{n-\gamma k^{2}}이  3p의 배수이면 n은 9의 배수가 아님을 증명해야 한다. 수학적 귀납법을 쓰자. n=9일 때는 자명하다. \sqrt{n-\alpha t^{2}}이 정수가 되는 경우가 없기 때문이다. 이제 9r\rightarrow 9r+9일떄 성립함을 보이자. 그러면 \sqrt{9r-\alpha t^{2}}\rightarrow \sqrt{9r+9-\alpha t^{2}}\sqrt{9r-\beta m^{2}}\rightarrow \sqrt{9r+9-\beta m^{2}}\sqrt{9r-\gamma k^{2}}\rightarrow \sqrt{9r+9-\gamma k^{2}}이다. \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}{a}이라는 것을 응용하자. \sqrt{9r+9-\alpha t^{2}} -\sqrt{9r-\alpha t^{2}}=\frac{\sqrt{9r+9-\alpha t^{2}} +\sqrt{9r-\alpha t^{2}}}{9}\sqrt{9r+9-\beta m^{2}} -\sqrt{9r-\beta m^{2}}=\frac{\sqrt{9r+9-\beta m^{2}} +\sqrt{9r-\beta m^{2}}}{9}\sqrt{9r+9-\gamma k^{2}} -\sqrt{9r-\gamma k^{2}}=\frac{\sqrt{9r+9-\gamma k^{2}} +\sqrt{9r-\gamma k^{2}}}{9}이다. 즉, 9r\rightarrow 9r+9일때 문제의 a+b+c=\sqrt{9r+9-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r+9-\beta m^{2}}+\sqrt{9r+9-\gamma k^{2}}이다. 9r일때의  a+b+c는 \sqrt{9r-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r-\beta m^{2}}+\sqrt{9r-\gamma k^{2}}이다. 두 둘의  a+b+c의 차는 \frac{\sqrt{9r-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r-\beta m^{2}}+\sqrt{9r-\gamma k^{2}} +\sqrt{9r+9-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r+9-\beta m^{2}}+\sqrt{9r+9-\gamma k^{2}} }{9}이다. \sqrt{9r+9-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r+9-\beta m^{2}}+\sqrt{9r+9-\gamma k^{2}}=x\sqrt{9r-\alpha t^{2}}+\sqrt{9r-\beta m^{2}}+\sqrt{9r-\gamma k^{2}}=y라고 치환하면 x-y=\frac{x+y}{9}\rightarrow x=\frac{5}{4}y이다. 즉, y가 9의 배수가 아니면 x도 9의 배수가 아니다. 수학적 귀나법으로 증명 끝.

                                          Q.E.D

     

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    • 여백 패르마 2018.05.04 16:58:02

      정말정말 죄송합니다. 이것이 뭔 말을 숨기고 있는지 궁금하시겠지요... 아직 미완성인 풀이를 담고 있습니다. 양해부탁드립니다. ㅠㅠ

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    • 여백 패르마 2018.05.13 18:36:55

      이제 나왔습니다!! 1번과 3번의 반절입니다. 따끈따끈하네요...

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    • 구머 2018.05.13 23:08:28

      초등학생이 르장드르 기호를 다루다니..진짜 수준 쩌는데욥ㅎㅎ

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    • 구머 2018.05.14 00:41:45

      Lemma (3)에 의해 a^{2}+b^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2} 모두 제곱수의 배수이다.  의 반례 4^2+5^2=41

      \sqrt{9r+9-\alpha t^{2}} -\sqrt{9r-\alpha t^{2}}=\frac{\sqrt{9r+9-\alpha t^{2}} +\sqrt{9r-\alpha t^{2}}}{9}\sqrt{9r+9-\beta m^{2}} -\sqrt{9r-\beta m^{2}}=\frac{\sqrt{9r+9-\beta m^{2}} +\sqrt{9r-\beta m^{2}}}{9},식의 전개에서 우변의 분모분자가 바뀌었습니다.

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    • 수학장 2018.05.14 22:58:36

      중국 나머지 정리의 증명입니다 (출처: 인천대학교 과학영재교육원)

      여백 패르마님 초등학생 아니죠? 설마...

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    • 여백 패르마 2018.05.15 08:38:13

      초등학생 맞는데요...^^

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    • Simon 2018.05.30 22:11:48

      이 풀이가 맞는 풀인가요?? 중간에 이해하지 못하는 부분이 있어서....

      이런 내용을 초등학생분이 다루신다니.... ㄷㄷ

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  • 일곱바늘 2018.05.14 10:46:31

    여백페르마님~ 말씀하신것처럼 그렇게 복잡한 정리가 필요하지는 않습니다. 물론 그러한 것들을 이용하면 좀 쉬운 풀이가 있을 수는 있겠네요.

    1번은 무척 쉽고요, 2번이 하이라이트입니다~ 

    3번은 아마 고등학교 교과과정으로는 풀이가 없을 거라고 생각됩니다. 찾으시면 저 좀 가르쳐 주세요~

    출제자드림

     

     

     

     

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    • 수학장 2018.05.14 22:51:49

      진짜 출제자님인가? 아니면 그냥 낚신가? 이번에는 출제자님이 원래 내던 분이랑 달라서 모르겠네요.. 그런데 1번이 무척 쉽다는 건 뭐죠

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    • 일곱바늘 2018.05.14 23:35:57

      출제자인 서울대 오병권교수 맞답니다. 그리고 저 계속 문제 내고 있습니다. 1번은 정말 쉬워요~~

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    • 수학장 2018.05.14 23:54:29

      아... 이번 문제에 오병권 교수님이 출제해주셨다고 따로 써져 있어서 평소에는 다른 사람이 내주시나 착각했네요.ㅎㅎ

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  • 수학장 2018.05.15 23:05:12

    댓글이 너무 적은데요;; 수학동아 기자님들 이거 기사로 쓰실 때 난감하시겠어요 *-*

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    • 김우현 기자 2018.05.16 09:02:10

      cryingcryingcrying

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  • Simon 2018.05.22 16:26:26

    교수님은 이 풀이를 기대하고 계셨었나요? 훨씬 쉽긴 한데

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    • 수학장 2018.05.22 16:46:18

      아... 저도 거의 다 풀었는데 4^{\alpha }(8\beta +7)을 이용할 생각을 미처 못했네요

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    • 일곱바늘 2018.05.22 21:27:52

      잘 하셨습니다!

      여기에서 질문 하나 더~

      t_n이 공집합이 아니라는 조건만 써서 증명할 수 있을까요? 즉,

       

      n이 9의 배수이고, 세 정수의 제곱의 합으로 쓰여지면 항상

      3의 배수인 세 정수의 제곱의 합으로도 쓰여진다.

       

      를 주어진 '알려진 사실'을 사용하지 않고 증명할 수 있을까요?  예를들어, n=99인 경우, 1^2+7^2+7^2=99이므로 9^2+3^2+3^2=99인 해도 존재한다.

      이렇게 문제를 내려고 했는데요, 처음부터 너무 어려워 보여서 '알려진 사실'을 힌트로 주었답니다~   

       

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    • 수학장 2018.05.22 23:19:30

      "t_n이 공집합이 아니라는 조건"이 무슨 뜻인가요?

      양의 정수 \large n\large 4^\alpha (8\beta + 7)꼴이 아니고 3으로 나눈 나머지가 1이 아니면 \large t_n\neq \varnothing이 성립한다.

      이걸 말하시는 건가요?

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    • Simon 2018.05.23 23:39:04

      이 방식을 언급하셨던게 맞나요???

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    • 일곱바늘 2018.05.24 15:42:48

      예, 맞습니다. 잘하셨습니다~

      이제 2번을 도전해 보시기 바랍니다~

      일곱바늘

       

       

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    • 여백 패르마 2018.05.28 15:50:28

      딱 하나 궁금한데, 왜 p-적합수가 아니면  p\mid \frac{a+b-c}{3}이죠?

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    • Simon 2018.05.29 08:02:39

      n = a^{2}+b^2+(-c)^2이기 때문입니다

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  • 수학장 2018.05.25 00:10:23

    2번 문제 simon님 1번 풀이랑 비슷하게 가봤는데 마지막 단계에서는 simon님 논리를 적용할 수가 없더라고요.

    let n=3k+2, p^{2}\nmid n         a^2+b^2+c^2=3k+2 이 때, a, b, c는 3의 배수 하나와 3의 배수가 아닌 정수 2개로만 나타난다. (3k+1)^2\equiv (3k+2)^2 \equiv 1(\mod 3)이기 때문이다. 3의 배수인 것을 c라고 놓으면,

    \begin {Bmatrix} a+b \equiv 0(a \not\equiv b)\\ a-b\equiv 0(a \equiv b)\end{matrix}이다. 여기까지는 했습니다만, 1번과는 다른 풀이 방법으로 풀어야 할 수도 있습니다.

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    • 여백 패르마 2018.05.25 15:23:41

      a는 3으로 나누면 나머지가 0, b는 3으로 나누면 나머지가 1, c를 3으로 나누면 나머지가 2입니다. 뭐, 순서는 바뀔 수 있지만.. 그리고 3의 배수 하나와 3의 배수가 아닌 정수 2개로만 나타난다가 아니라 3의 배수 1개, 3k+1 한개, 3k+2 한개입니다. 즉, 증명해야 하는 것은 If a+b+c\equiv 0(\mod p)p^2\mid n입니다. 

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    • 수학장 2018.05.25 21:38:12

      아하 -1이랑 2랑 합동이니까 그렇네요

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    • 낙하운동중인 사과 2018.05.30 22:48:21

      오랜만에 복귀합니다.

      죄송한데, 제 컴퓨터가 너무 느려서 사진 업로드가 안 되네요... 꽤 괜찮은 아이디어가 나왔다고 생각하는데.

      어떻게 사진을 올릴 수 있을까요??

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    • 낙하운동중인 사과 2018.05.30 22:51:00

      제가 증명한 것은 a+b+c가 법 p에 대해 0과 합동일때, p의 제곱이 n을 나눈다는 여백 패르마님의 아이디어입니다....

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    • 김우현 기자 2018.05.31 00:34:32

      낙하운동중인 사과 친구! 수학동아 이메일(mathdonga@naver.com)로 사진을 보내줄 수 있나요???surprise

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  • 여백 패르마 2018.06.02 20:48:53

    3번도 풀 수 있다고 생각합니다. 

    3-(1) n이 9의 배수일때 n은 p-적합수이다. 

    Simon님의 풀이에 의하면 a\equiv 0(\mod 3), b\equiv 0(\mod 3), c\equiv 0(\mod 3)입니다. 그리고, n이 p-적합수가 아니라고 하자. 그런다면 Simon 님의 풀이에 의하면 p\mid a, p\mid b, p\mid c입니다. 그런데 a=9, b=27, c=81이라고 하면 p\mid a, p\mid b, p\mid c일 수 가 없습니다. 

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    • 수학장 2018.06.02 21:49:24

      무슨 뜻인지 자세히 설명해주실 수 있나요? 잘 이해가 안 가서요.

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    • Simon 2018.06.03 11:33:54

      그런 방식으론 어려울 것 같습니다. 제가 모순점을 찾은 곳은 p|a, p|b, p|c이므로  p^2|n라는 논리인데, 사실 p^2|n이 가능해 진다면 여기서 모순이 나올 수는 없습니다. 이런 접근이 아닌  a\equiv 0(\mod 3), b\equiv 0(\mod 3), c\equiv 0(\mod 3)이 성립하지 않는 근을 일반적인 경우에 대하여 찾으면 모순이 나오지 않을까 조심스레 예상해 봅니다.

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  • Simon 2018.06.06 17:16:47

    이 문제와 OEIS A025172가 관련이 있을까요? 문제를 풀던 도중에 이 수열의 절댓값과 같은 수열이 나오던데 왜 그런지 증명은 못하겠어요ㅠㅠ

    link: https://oeis.org/A025172

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  • Simon 2018.06.06 21:06:13

    문제가 제가 원하던 데로 수정되었으니 그에 맞추어 마무리를 하도록 하겠습니다.

    n은 존재 불가하다를 이야기 하기 전에 밑에서 얘기하는 부분을 봐주셨으면 해요

    위 과정을 반복하다 보면 x_a + y_a \equiv b(mod\3^\infty)\ where \; a, b\in\mathbb{Z}

    z_a \equiv c(mod\3^\infty)\ where \; a, c\in\mathbb{Z}를 얻어 x_a = y_a=z_a=0이라는 것을 알 수 있습니다.

    이를 위 식에 대입해 보면 n = (3l+1)^2+(3l+1)^2+0^2가 되며, 이 상황에서 t_n = \{0\}이 됨은

    어렵지 않게 알 수 있습니다.

    Quod\;Eart\;Demonstrandum

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    • 수학장 2018.06.16 22:12:40

      simon님의 식 변형 능력에 감탄할 뿐입니다.... 어떻게 인수분해(는 아니지만)를 저렇게 하셨는지 궁금합니다.

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    • Simon 2018.06.17 21:55:33

      인수분해를 목적으로 한 것이니까 인수분해 맞습니다 ^^(별로 인수분해같이 보이진 않지만요)

      저 식 변형 3^k을 인수분해 해 보다 보니까 굉장히 신기한 일이 일어나더라고요.

      그걸 OEIS에 검색해 봤더니 https://oeis.org/A025172 요놈이 나오더라고요

      이 수열을 이용해서 비에타의 공식과 같은 것과 점화식을 풀어 보니까 이렇게 되더라고요

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    • 김우현 기자 2018.06.26 09:02:31

      주정훈 멘토가 '잘 풀었다'는 답변을 보내왔습니다. 교수님께서 최종 확인하면 소문제 (2)번도 해결!!laugh

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    • Simon 2018.06.26 17:17:32

      감사합니다!

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    • Simon 2018.07.02 20:10:14

      혹시 언제쯤 답변해 주실지 알 수 있을까요ㅠㅠ

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    • 김우현 기자 2018.07.05 09:59:05

      검토가 늦어져서 미안해요, Simon 친구! 불철주야 대기하다가 답변이 오는 즉시 알려줄게요!!!surprise

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    • 일곱바늘 2018.07.06 13:03:35

      Simon님~

      잘 하셨습니다. 정답입니다. 축하축하~

      시간이 꽤 걸리지 않을까 했는데 의외로 빨리 푸셨네요.

      그리고 연락이 늦어 미안해요... 어떤 때는 매일 들어오다가도

      바빠지면 또 자주 못 오고 그래요.

      좀 더 자주 들를게요.

      아무튼 이 싸이트에 들어오는 모든 젊은 친구들 Go! Go! 입니다.

      일곱바늘

       

       

       

       

       

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    • Simon 2018.07.07 11:19:05

      감사합니다~

      문제 4번에 먼저 도전해 보도록 하겠습니다!

      Simon

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  • Simon 2018.06.07 01:13:35

    잠시만요  p|0을 인정하게 된다면은 문제 2는 참이 아님을 n=2일때 알 수 있습니다. 위에서 0은 세지 않는다고 생각하고 풀었는데 곤란해 졌네요...

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    • Simon 2018.06.10 21:27:46

      다시말해 문제 (2)는 n=2일때 t_n=\{0\}이 된다는 반례를 가지고 있고, n=8일때 또한 같은 이유로 반례가 됩니다. 원소 '0'만 있는 집합을 t_n으로 가질 때 p-적합수가 아니라는 것은 n=42일때 p-적합수가 아니라는 것으로 예시를 주셔서 분명하다고 생각합니다.

       문제가 증명하라는 명제가 모순이 나오는 이상한 상황이 생겼네요(?)

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    • 여백 패르마 2018.06.10 21:36:12

      헉 그러면 2번 명제가 틀린 것이라고 결론낼 수 밖에... 그러면 2번은 증명할 필요가 없네요.

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    • Simon 2018.06.11 18:36:03

      제 생각에는 문제가 수정될 것 같네요(그랬으면 좋겠다는 생각도 들고요)

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    • 일곱바늘 2018.06.13 12:50:18

      문제에 조건을 하나 빠트렸네요. Simon님, 지적해 주어서 감사합니다.

      기자분게 수정본을 보내드렸으니 조만간 올리실 것으로 생각됩니다.

      Enjoy Math~ 

      일곱바늘

       

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  • Simon 2018.06.14 19:39:23

    위에 (2)번 풀이 공개댓글로 전환하였습니다~

    확인 부탁드립니다

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    • 김우현 기자 2018.06.19 22:35:40

      현재 주정훈 멘토의 답변을 기다리는 중입니다~!!laugh 혹시 그 전에 교수님이 나타나실지도!!!surprise

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  • Simon 2018.06.26 18:11:44

    문제 4에서 t_n = \{0\} 일때도 포함하는 건가요?

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    • 김우현 기자 2018.07.03 13:37:06

      그러면 n이 5-적합수가 되지 않기 때문에 t_{n}=\left \{ 0 \right \}인 경우는 포함되지 않습니다~.laugh

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    • Simon 2018.07.03 14:04:11

      그럼 (2)에 풀이는 맞나요 아님 틀리나요?

      언제쯤 답을 받을 수 있을까요 ㅠㅠ

       

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    • 수학동아 2018.07.06 13:40:19

      일곱바늘님께서 답글을 달아주셨어요~^^ 문제 풀이 대댓글을 확인해 주세요!

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    • Simon 2018.07.07 11:18:23

      부분해결 딱지 붙여주세요~

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  • 여백 패르마 2018.09.16 21:38:04

    코딩으로 해보니 4번의 답중 3, 12, 27, 48, 108, 147, 192가 있는 것같네요.

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