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[국가수리과학연구소] 국32. 멋진 사각형 문제

2019.08.03

같이 풀어볼까?

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아래 그림처럼 어떤 사각형의 두 쌍의 변 중 한 쌍의 길이가 정수일 때 이 사각형을 멋진 사각형이라고 하자. 1969년 네덜란드 수학자 니콜라스 호페르트 드 브루인은 ‘멋진 사각형으로 꽉 채울 수 있는 사각형은 멋진 사각형임을 보여라’는 문제를 제안했다. 지금까지 총 14가지 풀이 방법이 알려져 있다. 이 중 체스판 풀이를 살펴보자.
 

  

 

[체스판 풀이]


❶큰 직사각형 왼쪽 아래 꼭짓점을 평면좌표의 원점으로 생각하자.
❷아래 그림처럼 원점을 중심으로 각 칸의 가로·세로 길이가 0.5인 체스판을 그리자.
❸만약 큰 직사각형을 작은 멋진 직사각형으로 채우면 각각의 멋진 직사각형 안에 있는
흰색 영역과 검은색 영역의 넓이가 같다. 그러므로 두 영역의 총 넓이도 같다.
❹만약 큰 직사각형의 두 쌍의 변의 길이가 정수가 아니면, 흰색 영역과 검은색 영역의 넓이가 달라 모순이다. 그러므로 한 쌍의 변은 정수다.

 

  

 


1-1. ❸이 성립하는 이유가 무엇일까?
 

1-2. ❹가 성립하는 이유가 무엇일까?

 


어떤 직육면체의 세 변 중 한 변의 길이가 정수일 때 이 직육면체를 ‘멋진 직육면체라고 하자.
 

 

2. 멋진 직육면체들로 꽉 채울 수 있는 직육면체는 멋진 직육면체임을 보여라.

 

 

‘멋진 사각형 문제’를 다양한 방법으로 일반화해 보자.

 

 

3-1. ‘멋진 사각형 문제’의 알려지지 않은 새로운 풀이 방법을 찾아보자.


3-2. ‘멋진 사각형’의 조건을 ‘한 쌍의 변의 길이가 a+b\sqrt{2}다’로 바꿔 일반화해보자. (a, b는 정수).


3-3. 사각형을 원통이나 토러스로 바꿔 일반화해보자.


3-4. 자기만의 풀이 방법으로 일반화해보자.

 

 

댓글 45

  • pilow 2019.08.03 10:10:12 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수0
  • 김우현 기자 2019.08.03 10:14:29

    8월 3일 하루 동안 비밀댓글로 풀이를 달아주세요!

    3일이 지나면 다시 공개로 바꾸겠습니다.laugh

    좋아요2 댓글수2
    • 아인수타인 2019.08.03 10:27:21

      근데 문제 행사 끝나고 올린다고 공지에 나와있지 않았나요?

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    • 김우현 기자 2019.08.03 10:30:38

      네, 맞아요!

      지금 올린 문제는 소문제 일부만 공개한 버전입니다. 모든 소문제가 포함된 버전은 오후즘 올라갈 거예요! 

      좋아요3
  • pilow 2019.08.03 10:37:15 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
    댓글수0
  • Kingsnake 2019.08.03 10:56:19 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
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  • Byzantium 2019.08.03 11:01:59 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
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  • Simon 2019.08.03 11:06:03

    1-1풀이

    (정수변) 방향에서 바라봤을 때 검은색 도형과 흰색 도형의 넓이가 같도록 배열됨을 알 수 있다.

    1-2 풀이

    a×b사각형을 잡자 a와 b가 정수가 아닐 때 넓이가 같지 않음을 보이면 된다.

    가우스 a와 b를 변으로 하는 멋진 직사각형을 잘라낸 뒤 가우스 b와 (a-가우스 a)를 변으로 하는 직사각형을 잘라내면 각 변의 길이가 1보다 작은 그림의 x와 y를 변으로 가지는 직사각형이 남는다.

    둘 중 한 변이라도 0.5이하면 안됨은 자명하므로 넘는 경우를 생각하자

    0.5^2 +(x-0.5)(y-0.5) =0.5(x+y-1)을 만족하는 x y가 존재하는가라는 문제가 된다.

    둘 중 하나 이상은 0.5이하가 됨을 전개시에 알 수 있다.

    2 풀이

    0.5^3의 흰색과 검은색의 정육면체를 잡고 채운 뒤 체스판 풀이와 같이 진행하면 된다.

    정수변 방향에서 바라봤을때 dl×dh×정수변 으로 보면 검은색 부피와 흰색 부피가 같은 막대가 무한히 많이 붙여져 있으므로 증명완료되었다

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  • 아인수타인 2019.08.03 11:14:08 비밀댓글
    비밀댓글 입니다.
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  • tommy 2019.08.03 11:14:56

    아래와 같은 경우 직사각형이 멋지지 않음에도 불구하고 흰 영역과 검은 영역의 넓이가 같습니다. 풀이가 성립하기 위해서는 직사각형의 멋짐과 두 면적의 일치가 필요충분조건이 아니어도 되나요? ㅎㅎ

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    • KOREA 2019.08.03 11:25:41

      질문의 전제에서 왼쪽 아래를 (0,0)으로 둔다고 했으므로,

      백과 흑이 만나는 점을 기준으로 한 점대칭 도형은 (두 변이 정수가 아닌 한)만들 수 없어요

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  • 배고팡 2019.08.03 11:18:28

    며칠전 왜우리는 수학을싫어하게 됐을까? 라는 영화에서 연구소에서 윈하는 연구를 마음껏하고 돈받고 맛있는 음식도 먹는다는 것을 알게됗는데 구가수리과학연구소는 어떨지 궁금해요

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  • Byzantium 2019.08.03 11:21:25

    멋진 직사각형의 조건을 한 변 이상이 2분의 n꼴이나 3의 배수꼴인 경우라고 바꿔서 생각해도 문제는 성립하겠죠?

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  • Leesj 2019.08.03 11:23:58 비밀댓글
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    • Leesj 2019.08.03 11:26:16 비밀댓글
      비밀댓글 입니다.
  • pi low 2019.08.03 11:26:26 비밀댓글
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  • 원슝이math 2019.08.03 12:26:56

    (멋진 사각형)문제에서 멋진 직육면체 문제 에 관해 질문 드립니다.

     

    큰 직육면체 속 작은 직육면체들을  그리고 모든 직육면체들이 높이만 정수이다고 가정했을 때 모든 직육면체의 꼭짓점에 있는 사람들은 모두 악수를 1번만 하게 되지 않나요?

     

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    • pi low 2019.08.03 12:48:43

      높이가 포함된 한 면에서의 경우로 생각해 보면 되지 않을까요?

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    • KOREA 2019.08.03 14:59:54

      중간에 있는 꼭짓점에 서 있는 사람의 경우 위와 아래 두 사람에게 악수를 2번(짝수번) 하게 되네요

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  • Asiana# 2019.08.03 13:02:26

    혹시 악수하는 방법 설명해주실 수 있나요..

    이해가 안되네요ㅠ

     

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    • KOREA 2019.08.03 15:06:10

      모든 꼭짓점에는 사람이 한 명씩 서 있어요

      그리고 정수 변을 가빈 사람끼리 악수를 합니다.

      그러면 전체 직사각형의 꼭짓점에서 꼭짓점으로 가는 연결고리가 2개가 생겨요(증명된 사실)

      그런데 여기서 어디서 어느 꼭짓점으로 가든지 그 두 꼭짓점 사이의 길이는 악수한 사람들이 정수 길만 연결했으므로 정수에요

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  • Undefined 2019.08.03 14:41:35

    3-2 악수풀이 적용

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    • Undefined 2019.08.03 14:45:21

      한 큰사각형의 꼭짓점에서 변길이가 a+b √2 인 변을 따라 이동하면 반드시 이웃한 큰사각형의 꼭짓점으로 이동할 수 있으며, 그러면 가로 또는 세로변의 길이가 a+b √2 꼴들의 의 합/차가 되므로 성립

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  • Sky 2019.08.03 15:20:01

    혹시 멋진직사각형 풀이방법으로 멋진직사각형 넓이에 대한 경우의 수를 찾는 것도 방법일까요? 

    답변 부탁드립니다

     

     

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  • 다르게놀자 2019.08.03 15:22:19

    1-1

    정수는 0.5로 나눌때에 무조건 짝수가 되게 된다

    따라서 0.5를 한변으로 하는 직사각형과 이웃한 직사각형을 한 묶음으로 볼때 

    한변이 정수일 경우 무조건 검은색 사각형들의 넓이가 하얀색 사각형들의 넓이가 같다

     

    1-2

    정수인 변이 존재하지 않는 경우에는

    위의 풀이같이 묶음을 만들어도 남는 직사각형이 생긴다

    따라서 멋진 직사각형이 아니면 각각 다른 색 사각형의 넓이가 다르다

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    • 앨런 during 2019.08.03 20:49:25

      1-1번 풀이에서 정수변이 체스판에 딱 맞지 않는다고 해도 성립이 하나요?

      예 : 

      이러한 경우에는 정수 변에 0.5짜리 사각형들이 들어가고 남은 공간의 합이 0.5임을 보여야하지 않나요

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  • KOREA 2019.08.03 15:22:37

    새로운 풀이 방법 찾기 문제는 선생님이 소개해주신 두세가지 풀이 방법 말고 다른 것이면 다 괜찮나요?

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  • deepblue 2019.08.03 15:27:42

    그런데,한 변이 1인 정사각형으로멋진 사각형을 채운다면,항상  실수 부분으로남는 넓이가 남을탠데, 그 부분만 처리하면 되는것 아닌가요?

    (저도 잘 이해가 안되서...)

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    • 앨런 during 2019.08.03 20:50:40

      한 변이 0.5인 체스판으로 채웠으니까 짝이 지어지지 않는 위에 있는 부분만 봐도 될 것 같은데요

      (저 역시 이해가 안되서...)

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  • deepblue 2019.08.03 15:28:56

    질문입니다.

    멋진 사각형을 채우는 작은 멋진 사각형들의 크기가 달라도 되나요?

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    • pi low 2019.08.03 15:41:44

      네 됩니다

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