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문제

[대한수학회] 대31. 끝없는 직사각형

2019.06.30

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형이 한 개씩 있다.

 

무한히 많은 이 직사각형들을 변의 길이가 1인 정사각형 내부에 겹치지 않고 모두 채울 수 있을까?

(참고로 이 직사각형들의 넓이의 합은 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots=1이다.)

-출처 : Exercise 2.37, Concrete Mathematics (Graham, Knuth, and Patashnik)-

댓글 170

  • 아인수타인 2019.07.01 22:34:43

    비슷한 국가수리과학연구소 문제입니다.

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  • tommy 2019.07.03 01:21:18

    일단 직관적으로 생각해 볼까요.

    k번째 직사각형을 \frac{1}{k} \times \frac{1}{k+1} 직사각형이라고 하면, k번째 직사각형을 놓을 차례가 되었을 때 남은 공간의 넓이는 \frac{1}{k}, 즉 놓을 직사각형의 무려 k+1배 크기입니다. 즉 직사각형을 놓으면 놓을수록 직사각형에 비해 여분의 크기가 넓어지는 것처럼 느낄 수 있겠네요. 이렇게 생각하면 저걸 채우는 건 가능하다 못해 쉬울 것 같은 생각도 들긴 하는데...

    아무래도 유한이 아닌 무한 개의 직사각형, 무한급수다 보니 수렴성에 주의해야 할 것 같긴 하네요. 다행히 절대수렴하니까 어떻게 배치하든 총 넓이가 1인 건 확실한데, 음, 수렴 속도가 어느 정도로 빠른지 한 번 느껴 봐야 할 것 같네요. ㅎㅎ

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    • 앨런 during 2019.08.06 21:07:38

      그럼 일단 넓이로 보면 채울 수 있음이 증명된 건가요

      근데 문제는 채우는 규칙을 찾는 문제 아닌가요?

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  • c언어 2019.07.10 23:17:16

    이 문제를 보니까 우리가 흔히 아는 등비급수인 1/2, 1/4, 1/8. . . 을 도형으로해서 합이 1임을 보이는 것이 생각났습니다. 그래서 이 경우와 지금 문제를 푸는 경우에 공통점과 차이점이 무었이 있는지 찾아보기로 했습니다.

     먼저 공비가 1/2은 수열은 직사각형과 정사각형으로 이루어져 있다. 변의 길이를 보면 (1, 1.2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/4), (1/4, 1/4), (1/4, 1/8), (1/8, 1/8), (1/8, 1/16) . . . 으로 공비가 1/2인 수열이 4번 반복되는 꼴이다. 즉 합은 1+4(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...)이 되어서 합은 1 + 4*1=5로 수렴을 하게 된다. 

     하지만 문제의 경우는 (1/2, 1/3), (1/3, 1/4), (1/4, 1/5). . . 으로 합을 구하면 1/2 + 2(1/3 + 1/4 + 1/5 . . .) 이 되는데 이는 발산하는 수열이다.

    by. http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=dalsapcho&logNo=20131917907&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView

    즉 변의 길이의 합이 무한하다는 것이다. 

     

    만약 1x1 정사각형안에 길이의 합이 유한하다는 것을 증명하면 직사각형이 정사각형 안에 들어갈 수 없다는 것이 되는데 잘 모르겠어서 일단 이정도 까지만 적겠습니다. 그리고 좀 참여율이 적은거 같은데 모두 많이 생각해 주세요...!

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    • 앨런 during 2019.08.06 21:06:36

      우오오오와

      발산하는 수열인데 왜 변의 길이의 합이 무한한 건가요

      극한값이 없어서 그런가요

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  • 뉴__턴 2019.07.16 22:27:12

    근데 어짜피     \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}\times \frac{1}{k+1}   이1로 수렴하고, 직사각형은 무한하니까 채울수는 있는데, 이 문제가 유한시간안에 가능한지를 묻는 질문인가요????

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    • Undefined 2019.07.18 12:03:24

      아니요. 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 있는지 묻는 문제입니다.

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    • EulerD 2019.07.27 20:23:38

      넓이 합이 1로 수렴한다고 반드시 채울 수 있지는 않습니다

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    • 앨런 during 2019.08.06 21:05:22

      채울 수 있는지 알기 위해서 규칙을 찾거나 배열을 찾는 문제입니다.

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    • 뉴__턴 2019.08.19 18:28:27

      생각해보니 1로 수렴한다고 해서 꼭 채울 수 있는거는 아니네요^^

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  • 전자기역학 2019.07.26 23:18:33

    수학적 귀납법으로 생각해

    1) 1번째 직사각형이 들어간다는 것을 보이고(들어가죠)

    2) n번째 직사각형까지 어떻게 한 변의 길이가 1인 정사각형에 넣었다 가정하고

    3) n+1번째 직사각형이 빈 곳에 넣어진다는 것을 보이면

    계속 빈 곳에 넣을 수 있으니까 증명되지 않을까요

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    • 구머 2019.07.27 17:15:59

      그게 귀납법..

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    • 전자기역학 2019.08.03 11:23:56

      아니까 올리겠죠?

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  • coshaman 2019.07.27 17:58:38

    어렵네요.

    만약 직사각형들을 채울 수 있는 배열이 없다고 가정하고 모순을 찾아도 될 것 같은데요.(아님 반대의 경우라도)

    직사각형을 채우는 배열이 없으면 직사각형에 대한 모든 배열들이 발산하거나 극한값이 1이 아니게 되는데 그렇게 되면 '(참고로 이 직사각형들의 넓이의 합은 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots=1이다.)'라는 말에 어긋나니까 결론은 이 배열이 있을 수 밖에 없지 않나요?(근데 Undefined님 말대로 배열이 있는지 묻는 문제이면 사각형 안에 사각형을 넣을 수 있는지는 증명 안해도 될 것 같은데여)

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  • coshaman 2019.07.27 18:03:20

    사각형을 배치하다 망한 썰사각형을 배치하는 규칙을 찾으면 되는 건가요?

    어차피 배열을 찾는 문제이든 넓이를 구하는 문제이든 배열의 규칙만 찾으면 될 것 같은데요

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    • 망원급수 2019.07.29 19:43:03

      그걸 증명하여 보이면 됩니다

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  • happy 2019.07.30 23:55:47

    사각형을 채울 때 1/2k꼴은 모두 가로를 향하도록, 1/(2K+1)꼴은 모두 세로를 향하도록 직사각형을 배열해보면 어떨까요?

    그러면 짝수쪽은 좀 더 쉽게 접근 가능할 것 같은데....

    예를 들어 1/4 옆에는 1/8이 2개 들어가고 1/6 옆에는 1/12가 2개 들어가고 이런 식으로 채울 수 있지 않을까요..?

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    • coshaman 2019.08.01 20:37:26

      근데 똑같은 사각형은 없는데...

      혹시 1/4 옆에 들어가는 1/8 2개 중에 하나가 1/8보다 더 작은 1/9, 1/10...을 말씀하시는 거라면 좀더 자세히 말씀해주시면 좋을 것 같습니다.

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    • KOREA 2019.08.02 23:46:05

      만약 2k가 2^n의 꼴이 아니면 배열하는 방법을 찾기 어려울 것 같은데요...

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    • 앨런 during 2019.08.03 16:40:21

      Korea님 왜죠?

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  • cjmoon 2019.08.06 09:41:19

    1/(1*2)+1/(2*3)=1/2+1/6=3/6+1/6=4/6=2/3,  2/3+1/(3*4)=2/3+1/12=8/12+1/12=9/12=3/4, 3/4+1/(4*5)=3/4+1/20=15/20+1/20=16/20=4/5, 4/5+1(5*6)=4/5+1/30=24/30+1/30=25/30=5/6, 5/6+1/(6*7)=5/6+1/42=35/42+1/42=36/42=6/7

    간단히 쓰면 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=\mathbf{\frac{2}{3}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=\mathbf{\frac{3}{4}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}=\mathbf{\frac{4}{5}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}=\mathbf{\frac{5}{6}}  ,  \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{6\times 7}=\mathbf{\frac{6}{7}}

    위에 식을 보면 답이 \frac{k}{k+1}인 것을 볼수있다.  그러므로 정사각형에 겹치지 않고 채울 수 없다. (겹쳐도 채울 수 없다) 

     

    이해를 못하신 분들을 위해 문제를 알아보기 쉽게 정리 하자면,

    이 문제는 일차적으로는 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}......가 1이 됄수 있는 지를 증명하고,

    이차적으로는 정사각형에 직사각형이 가득 채워 질수 있는 배열을 찾는 문제인데, 아무리 열심히 더해도 \frac{k}{k+1}와 같은 답이 나오기 때문에 최적의 배열을 찾자도 틈이 생겨 정사각형을 가득 채우는 것은 불가능 합니다.

    (\frac{k}{k+1}예시:  \frac{9999}{10000})  (k는 무한이 됄수 없다. 왜냐하면 k는 양의 정수라고 문제의 나오기 때문에)  (틈이 생기는 이유: 정사각형의 넚이보다 직사각형들을 더한 넚비가 더 작으니까.)

    수정:\frac{k-1}{k}를  \frac{k}{k+1}으로

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    • 캐고파고알파고 2019.08.06 12:41:40

      뭘 계산한 식인지 알 수 있을까요?

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    • 구머 2019.08.06 16:38:53

      ..엄청나네요

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    • 앨런 during 2019.08.06 21:04:01

      ...그러게요

      근데 여전히 이해가 안감...

      저 바본가요

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    • 앨런 during 2019.08.07 11:53:28

      \frac{k-1}{k}이면 넓이가 남지 않나요?

      넓이가 남으면 무슨 경우죠?

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    • 구머 2019.08.07 16:25:20

      문제 뜻을 잘못 이해하셨네염ㅜㅜ

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    • 여백 패르마 2019.08.07 16:25:28

      k가 무한으로 가면 결국 1이 됩니다만...

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    • 구머 2019.08.10 02:43:28

      모든 양의 정수 k라는 말에서 k가 무한으로 발산한다는 것을 암묵적으로 내포하고 있습니다

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    • cjmoon 2019.08.10 08:37:17

      무한의 정의는 한없이 커지는 상태입니다. 즉 무한은 한없이 커지는 수가 아닌, 한없이 커지는 상태기 때문에 양의 정가 됄수 없습니다.

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    • Undefined 2019.08.10 21:19:26

      수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데, 제가 직사각형을 무한히 많은 정사각형으로 빈툼없이 채울 수 있는 예를 들어 보이겠습니다.

      가로와 세로의 비가 1:\phi인 직사각형을 생각합시다. 이 사각형에 먼저 한 변의 길이가 1인 정사각형을 집어넣고

      그 다음 한 변의 길이가 \phi^{-1}인 정사각형을 채우고 이를 반복하면 무수히 많은 정사각형으로 공간을 꽉 채울 수 있습니다.

      물론 n번째 시행 이후 에는 항상 \phi^{1-2n}의 면적만큼 남아 있습니다. 

      그런데 \phi^{1-2n}가 n \rightarrow \infty이 되면서 0에 수렴하기 때문에 무한히 많은 정사각형들을 채웠을 때 공간이 남지 않습니다.

      위의 식에서도 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n} = 1이기 때문에 면적은 다 채울 수 있습니다. 

      다만, 서로 겹치지 않으며 채울 수 있는 무한한 직사각형들의 배열이 존재하는지 묻는 문제였습니다.

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    • 인천 오일러 2019.08.12 23:46:49

      cjmoon님, cjmoon께서 말씀하셨던 것처럼 무한은 한없이 커지는 수가 아닌, 한없이 커지는 상태이므로 뺄셈 등의 연산을 하면 오류가 생깁니다.

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    • Undefined 2019.08.17 16:36:29

      cjmoon님 \frac{\infty}{\infty}를 말씀하셨으나 \infty는 숫자가 아니므로 그런 연산을 적용할 수 없습니다. \div(x,y)는 x \in \mathbb{C},~y \in \mathbb{C}-\left \{ 0 \right \}일 때만 정의가 되는데 \infty \not\in \mathbb{C}이기 때문입니다.

      또, 분모와 분자에서 둘다 어떤 수를 뺀다고 해서 분수의 값이 일정하지 않습니다.(뺄셈의 나눗셈에 대한 우분배법칙은 성립하지 않습니다)

      또, \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} =0임을 증명해보겠습니다.

      극한의 정의:

      \lim_{n \rightarrow \infty} f(n)=L \Leftrightarrow 어떤 임의의 작은 양수 \epsilon에 대해 어떤 큰 수 N이 존재하여 \forall n > N(|f(n)-L|<\epsilon)을 만족합니다.

       

      따라서 f(n)=\frac{1}{n}인 경우 임의의 \epsilon에 대해 N(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}라고 하면 \forall n > \frac{1}{\epsilon}\left(\left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon\right)입니다. 

      \therefore\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} =0             Q.E.D.

       

      그리고 제가 말하고자 하는 '정(직)사각형이 무한히 많은 직(정)사각형으로 겹쳐지지 않고 채워져 있다'를 수학적으로 정의하자면 

      채우고자 하는 큰 정(직)사각형의 내부점의 집합을 I_0, 경계점의 집합을 B_0라고 하고

      채우는 직(정)사각형 각각의 내부점, 경계점의 집합을 각각 I_nB_n (n \in \mathbb{N})이라고 합시다. 또, I_k \cup B_k =J_k이라고 합시다.

      그러면 '정(직)사각형이 무한히 많은 직(정)사각형으로 겹쳐지지 않고 채워져 있다'는 다음 조건을 만족합니다.

      조건: j \in J_0 중 \exists! n \in \mathbb{N} (j \in I_n)\odot\exists n \in \mathbb{N} (j \in B_n)을 만족하는 점의 개수가 countable하다.        (여기서 \odot는 XNOR를 뜻함)(수점: 유한->countable)

       

      그러면 수학적으로 이런 조건을 만족하는 정사각형을 채우는 배열이 있는지를 구해야 합니다.

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    • cjmoon 2019.08.18 12:48:38

      그런데 제가 분명히 직사각형을 더해서 넓비가 1이 됄수 없다고 증명했는데요?

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    • cjmoon 2019.08.18 12:50:52

      그리고 이게 가능하면 A1, A2, A3, A4, A5, A6......으로 직사각형을 만들수 있다는 건데요.

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    • cjmoon 2019.08.18 13:40:33

      이해하기 쉽게 표로 설명 하면

      직사각형의 수 , a 1 2 3 4 5 ...... 100
      직사각형의 넓비의 합(cm^{2})  = \frac{a}{a+1},  b \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} ...... \frac{100}{101}
      직사각형 중 가장 작은 직사각형의 넓비(cm^{2}) = \frac{1}{a(a+1)}, c \frac{1}{2} \frac{1}{6} \frac{1}{12} \frac{1}{20} \frac{1}{30} ...... \frac{1}{10100}
      1-직사각형의 넓비의 합(cm^{2}) = 1-\frac{a}{a +1}, d \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} \frac{1}{6} ...... \frac{1}{101}

      참고로 뒤의 a, b, c, d는 변수 입니다.  d와 c는 a가 증가하면 할수록 값이 감소 하지만 c가 더 빠르게 감소한다. 그러므로 직사각형으로 정사각형을 다 채울수는 없다.

      a가 무한이면 b는 \frac{\infty }{\infty +1}\neq1 c=0  d=?

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    • cjmoon 2019.08.19 15:56:00

      그리고 공식이 너무 어려워요. 숫자를 대입 해서 풀어 주세요.

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    • Undefined 2019.08.25 04:55:37

      1에 수렴한다는 건 1이 된다는 뜻이 아닙니다.

      1에 무한히 가까워진다는 것이죠.

      그리고 저는 극한의 정의대로 극한을 설명을 했는데, 그보다 더 쉽게 설명 할 수 없을 것 같네요.

      물론 유한 개의 직사각형을 채웠을 때에는 공간이 남죠.

      그때 다 채워지면 더 채울 수 없잖아요.

      그러니까 그 직사각형들의 무한집합에 해당하는 것을 다 채웠을 때 (무한개를 다 채운 뒤를 생각하시라고요. 유한개를 채운 뒤가 아니라)

      남는 공간이 없이 다 채워진다고요.

      거의 모든 점이 덮여 있으면 됩니다.

      (이때 특이점은 딱히 어느 사각형으로 덮여 있지 않을 수도 있습니다. 피보나치 나선에서 가운데 점처럼요)

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    • 리프 2019.08.25 12:08:28

      undefined님께 질문이 하나 있는데 직사각형을 채운다는 것의 조건을 말로 풀어서 쓰면 채워지지 않는 특이점의 개수가 유한하다는 뜻인가요?

      만약 그렇다면 제 생각에는 ‘p xnor q를 만족하는 점 j의 개수가 유한하다’가 맞는 표현 아닌가요?

      제가 잘못 이해했을 수도 있는데 p xnor q 를 만족하지 않는 점 j는 p xor q 를 만족하는 점 j와 같은 의미인데 그러면 무한히 많지 않나요?

      (제가 xor과 xnor에 대해 잘 몰라서 착각한 걸수도 있습니다. 만약 틀렸다면 틀린 부분을 알려주시면 감사하겠습니다.)

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    • Undefined 2019.08.25 21:06:20

      오류 지적해주셔서 감사합니다. 수정하였습니다.

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    • cjmoon 2019.08.26 19:55:09

      직사각형이 무한개가 되면 k는 무한 되요. 

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  • 마이구미 2019.08.06 23:13:25

    일단 정사각형의 넓이와 채워야 할 직사각형들 넓이의 총합이 같으니까 채울때 빈공간이 나오지 않게 최대한 빽빽하게 채워야 하는건 분명하네요

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    • 앨런 during 2019.08.07 11:51:55

      그렇겠죠?

      근데 빡빡하게 채워야 하니까 채우는 규칙이나 배열을 찾아야 할 걸요

       

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  • 여백 패르마 2019.08.07 16:27:09

    저는 어떤 자연수 수열의 역수의 합이 1 이 되는 정수 부정방정식을 생각해봤다만... 완전 망했어요...ㅠㅠ

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    • 앨런 during 2019.08.07 17:34:12

      ㅜㅜ

      그래도 올려보세요

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    • cube120 2019.08.09 21:44:42

      저도 그 생각을 해봤는데요...

      추측

      어떤 자연수의 수열 {a1,a2,...,an}에 대하여 모든 자연수의 역수가 1/b_1+1/b_2+...+1/b_m꼴로 나타내어질수 있다. (단, b_i \notin \left \{ a \right \}이다.)

      만약 위 추측이 성립한다면 문제의 조건을 만족하는 방법이 존재할거같습니다.

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  • MATH=? 2019.08.10 15:33:43

    직사각형들의 합이 1이 되어야 한 변의 길이가 1인 정사각형을 가득 체울 수 있습니다.

    우선 각각의 넓이를 구해 보면, 1/2, 1/6, 1/12, 1/20 .... 1/{k(k+1)}이 되고,

    각각의 넓이를 정사각형의 넓이에서 빼보면

    1)1-1/2=1/2

    2)1/2-1/6=1/3

    3)1/3-1/12=1/4

    ...

    k)1/k가 됩니다. 따라서 k*k+1의 직사각형을 하나씩 체울때마다 1/k의 넓이가 비게되므로 직사각형을 이용하여 정사각형을 체울 수 없습니다.

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    • 가우수 2019.08.10 17:53:13

      맞는것 같네요.

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    • Undefined 2019.08.10 21:23:24

      수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데, 제가 직사각형을 무한히 많은 정사각형으로 빈툼없이 채울 수 있는 예를 들어 보이겠습니다.

      가로와 세로의 비가 1:\phi인 직사각형을 생각합시다. 이 사각형에 먼저 한 변의 길이가 1인 정사각형을 집어넣고

      그 다음 한 변의 길이가 \phi^{-1}인 정사각형을 채우고 이를 반복하면 무수히 많은 정사각형으로 공간을 꽉 채울 수 있습니다.

      물론 n번째 시행 이후 에는 항상 \phi^{1-2n}의 면적만큼 남아 있습니다. 

      그런데 \phi^{1-2n}가 n \rightarrow \infty이 되면서 0에 수렴하기 때문에 무한히 많은 정사각형들을 채웠을 때 공간이 남지 않습니다.

      위의 식에서도 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0이기 때문에 면적은 다 채울 수 있습니다. 

      다만, 서로 겹치지 않으며 채울 수 있는 무한한 직사각형들의 배열이 존재하는지 묻는 문제였습니다.

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  • MATH=! 2019.08.10 18:32:00

    다시 회원가입하게되어 올립니다.(원래 저는 math=?입니다)

    작은직사각형으로 한 변의 길이가 1인 정사각형을 채울 수 있다.->작은 직사각형의 넓이의 합이 1이다

    남은 넓이를 구하면

    1)1/2

    2)1/3

    3)1/3

    ...

    k)1/k

    이렇게 되어 k가 무한이 되지 않으면 이는 불가능합니다.

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    • c언어 2019.08.16 14:20:10

      이 문제에서는넓이의 합이 1이되는 것은 이미 증명이 된 사실이니까 넓이에 관해서는 더 이상 생각하지 않아도 될거 같아요!

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    • 집돌이 페렐만 2019.08.16 15:55:54

      제 생각에도 넓이보다는 어떻게 채울 수 있는지 규칙이나 배열을 찾아야 할 것 같아요!

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    • cjmoon 2019.08.18 14:18:15

      그리고 무한이 돼도 불가능 합니다. 왜냐하면 \frac{\infty }{\infty +1}\neq 1이거든요.(고등학교 미적분 책에 나와 있습니다. 이유는 무한은 숫자가 아니기 때문에)

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    • cjmoon 2019.08.19 17:16:10

      1/k 생각 하면 안돼요 1-\frac{k}{k+1}라고 생각해야해요.

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    • Undefined 2019.08.25 05:29:03

      cjmoon님 무한대의 개념에 대해 생각해 보신 것 같네요.

      님이 언급하신 것처럼 무한은 숫자가 아닙니다.

      그런데 \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L이라는 것은 x가 점점 커질수록 f(x)의 값이 L에 점점 가까워진다는 뜻입니다.

      즉, 여기 정의에서는 무한이 사용되지 않았죠.

      무한은 수가 아니기 때문에 f(x)에 대입하지 못합니다. 원래 극한은 그 값을 대입하는 것이 아닌 주변 값들의 경향성으로 정의를 합니다.

      다만 점점 큰 수를 대입하였을 때 가까워지는지 보는 것 뿐이죠. 여기서 무한 기호는 그 경향성을 나타내기 위해 나타낸 기호에 불과합니다.

       

      그리고 \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty라는 거는 이 함수가 x가 a에 가까워질수록 어떤 실수값에 점점 가까워지지 않아

      극한이 정의되지 않는데(이걸 '발산'한다고 하죠), x가 a에 가까워질수록 x가 점점 커지기에 그 함수의 값을 경향성을 나타내는 기호 \infty 로 표현하기로 약속한 겁니다.

      설명이 잘 됬는지 모르겠네요.

      구체적인 예시를 들자면 

      \lim_{x\rightarrow\0}\frac{x}{x}=1이라는건 당연하죠. x에 0을 대입하지 않고 0에 점점 가까운 수를 대입했을 때 1이 되니까요.

      \frac{\infty}{\infty}의 값은 모르지만 \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{x+1}=1을 알 수 있습니다. x에 점점 큰 수를 대입해나가다 보아도 항상 그 값이 1이니까요.

      지금 생각하고 있는 극한은 \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+1/x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+0}=\frac{1}{1}으로 생각해 보세요.

      이해가 되시면 좋겠습니다....

      극한 식에 무한을 대입하는 것도 아니고 유한한 값을 대입한 결과의 특성을 보는 게 아닙니다.

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    • cjmoon 2019.08.25 08:05:05

      해석하면 엑스가 무한에 가까워지면 질수록 값이 커지다가 직사각형이 무한개가 되면 0이 됀다. 말이 안 됀다  

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    • Undefined 2019.08.25 21:09:20

      제가 0이라고 한 부분은 분명 \lim_{x \rightarrow\infty}1/x인데요.

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    • cjmoon 2019.08.26 18:58:34

      제가 말한건 \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n+1}\times n이요.

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  • 올리비아 2019.08.18 11:44:34

    정답: 겹치지 않고 모두 채울 수 있다.

     

    풀이:

    만약 겹치지 않고 채울수 있다면, 만들수 있는 모든 직사각형의 넓이의 합이 1 이 되면 된다.

    그렇기에 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 이라면, 직사각형들을 겹치지 않고 모두 채울수 있다.

    "모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형이 한 개씩 있다." 라는건 그 직사각형들의 넓이가 \frac{1}{k(k+1)} 이다. 

    이때 \frac{1}{k(k+1)}  를  \frac{1}{a(b)} = \frac{1}{a-b} ( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} ) 을 이용해 부분분수로 변형할수있다.

    그래서 \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k-k+1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}) = 1(\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)})= (\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}) 이다.   

    이걸 써서 수열의 합을 쉽게 구할수 있다. 

    \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) 

    그리고 수들을 대입 했을때, 

    첫째항부터 제 \infty항까지의 합은 

    (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) +(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+ . . . + (\frac{1}{\infty }-\frac{1}{\infty +1})

    = (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty +1}) 이다. 

     

     \infty 은 수가 한없이 커지는 상태를 나타내는 시호이지 하나의 수를 가르키는 것이 아니기에,  \infty+1 =  \infty 라고 할수있다. 

    그리고 \frac{1}{k(k+1)} 에서 k값이 한없이 커지면 \frac{1}{k(k+1)} 의 값은 0에 한없이 가까워지므로

    \underset{k \rightarrow \infty }{\lim } \frac{1}{k} = 0이다. 그래서 \frac{1}{\infty } = 0이라고 정의 한다. 

     

     

    그럼 (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty +1}) = (\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty}) = \frac{1}{1} - 0= 1 이 된다.

     

     이제 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 이 진실이라고 증명 되었기에

    모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형들 모두를 겹치지 않고 변의 길이가 1인 정사각형에 채울 수 있다.

     

     

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    • 집돌이 페렐만 2019.08.18 18:16:28

      ...!!

      넙이가 딱 맞는다고 해도 채우지 못할 수도 있지 않을까요?

      예를 들어서 넓이가 같더라도 변의 길이에 따라 채우지 못한다던지...

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    • cjmoon 2019.08.19 16:05:21

      오류가 있습니다. (1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...+(1/\infty -1/\infty+1)=1/2+1/6+1/12+1/20+...+0인데  \frac{1}{k}\times \frac{1}{k+1} =0이라는 것은 k가 무한이라는 건데 무한은 실수가 아닌니다.

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    • Undefined 2019.08.25 04:58:11

      k가 무한에 가까워질수록(커질수록) 0에 가까워진다는 소리입니다.

      극한의 정의 자체가 그래요.

      엡실론-델타 좀 공부하시고 오시면 안될까요?

      그리고 \sum_{k=1}^{\infty } (\frac{1}{k(k+1)}) = 1 은 \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)} \right )=1을 줄여놓은 겁니다.

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  • cjmoon 2019.08.18 14:30:00

    여러분 k가 무한이 됄수 없음을 간단하게 증명하겠습니다. 무한대는 실수가 아닙니다.

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    • 뉴__턴 2019.08.19 16:00:37

      무한대는 실수가 아니지만, k를 끝없이 커지는 수로 증가시켰을 떄의 얘기를 말하는 것입니다.(리미트, 시그마 등에서는 '끝없이 증가시켰을때~ '라는 의미를 같습니다.그리고 수렴과 발산의 이해를 잘못하시고 계시는 것 같네요..)

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    • cjmoon 2019.08.19 16:06:41

      k가 수면 결국 다 채울 수 없습니다

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    • 뉴__턴 2019.08.19 18:27:37

      k를 수로 보는게 아니라 '끝없이 했을떄의 결과를 보자'라는 뜻입니다angryangryangry 예를 들어서 이 문제의 수렴값 \lim_{k\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{k}\frac{1}{k(k+1)}의 극한값을 구하면, 우선 k=1인 경우부터 시작하니까 k=1이면  \frac{1}{2}, k=2이면 \frac{1}{6}.....이 되서 다 더해보면 점점 1에가까워지다가, k가 끝없이 커지니까(무한대로 가니까) 1이 되서 1로 수렴합니다. 그리고 참고로  cjmoon님께서 말씀하신 말중에서 a가 무한으로 갈때  \frac{a}{a+1}+0\neq 0이라고 하셨는데, a가 끝없이 커지기 때문에 a+1에서 1쯤은 무시할 수도 있어서(a가 무한이니까 무한에서 1은 무시해도 됨) \frac{a}{a}=1이 됩니다.     (참고로 cjmoon님께서 말씀하신거는 수렴과 발산에 대해서 조금만 공부를 하면 쉽게 알 수 있는 것들입니다)  +  (이 문제에서 채울 수 있느냐, 없느냐 묻고 있기는 한데, 채우기 위해서는 채울 수 있는 배열이 필요합니다. (배열이 있어야지 채울 수 있어요!!!!))

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    • cjmoon 2019.08.20 15:56:08

      무한은 무한은 숫자가 아니어서 \frac{\infty }{\infty }\neq1입니다. 무한 분의 무한을 1이라고 생각하는 건 무한을 숫자로 보는 오류입니다. 

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    • cjmoon 2019.08.20 16:02:35

      무한의 대해서 공부를 조금하면 알수 있을 거예요.

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    • 뉴__턴 2019.08.20 16:41:33

      cjmoon님 말씀대로 \frac{\infty }{\infty }는 계산할 수 없습니다. 하지만, 리미트는 극한값을 보는것이고, 분모와 분자가 a로 같이때문에 a로 나누어서 극한값이 1이 됩니다.(참고로 위의 문제에 보면 \frac{1 }{1\times 2 }+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+.....=1이라고 나와있습니다만.......)

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    • 뉴__턴 2019.08.20 16:42:45

      그리고 무한에 대해서 공부를 하면 알 수 있다고 하셨는데, 무한의 개념은 저도 알고, 리미트, 시그마등은 무한의 개념을 조금 다르게 봐야합니다

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    • cjmoon 2019.08.21 19:50:23

      그러면 A1, A2, A3, A4......을 이용 해서 완벽한 직사각형을 만들수 있겠네요. A1을 1로 지정하고, A2는 \frac{1}{2}, A3는 \frac{1}{4}등으로 했을때 자연수가 나오면, 완벽한 직사각형이 나오니까,

      \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1=2

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    • 바람개비 2019.08.21 20:20:36

      저도 k는 실수가 아닌 무한이 될 수 없다고 봅니다. 애초에 그렇게 정의된 값은 수학적 의미가 없으니까요.

      님께서는 제논의 역설 ('화살의 패러독스')이나 '선은 점으로 이루어져 있다.'라는 명제에 대해 어떻게 이해하고 있나요?

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    • cjmoon 2019.08.21 20:31:56

      헉, 이 시간에...... 잠시만 생각을...... 

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    • cjmoon 2019.08.21 20:42:36

      (화살의 속도는 일정하다 치고)화살은 일만큼 움지기고, 그 사이에는 무한대가 준재한다해도 화살은 같은 시간동안 일만큼 움지기기 때문에 무한대는 무시댄다. 라고 생각합니다.

        

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    • cjmoon 2019.08.21 21:54:10

      만약에 k가 수로 보는게 아니라 무한을 끝없이 했다면, 이미 양의 정수, 즉 자연수의 법위를 너머 갔다는 건데 그러면 이미 문제의 조건에 안 맞고, 이런게 만 쓰면 불랍불라 할테니 다른 예를 들면 리미트에서  \frac{\infty }{\infty +1}에 무한을 수로 본다면, 그것은 더 이상 무한이 아닌 수기 때문에 더 이상 무한 더하기 1은 무한이 아니다. 그러니 리미트에서 \frac{\infty }{\infty +1}은 약분이 불 가능 하다. 그리고 1도 아니다.

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    • cjmoon 2019.08.21 21:56:57

      이해가 안 돼시면 여기에 설명이...https://namu.wiki/w/극한#s-1.1.3.에서 1.1.3. 참고하세요.

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    • 리프 2019.08.23 20:03:08

      1.1.3이 없는데 어떻게 하죠?

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    • 바람개비 2019.08.24 13:04:51

      바로 답하셨군요. 제 대답을 계속 기다리셨다면 사과드릴게요sad(그랬을 리는 없겠지만....)

      화살이 과녁까지 이동하기 위해서는 '일'과 '시간'이 필요하다는 것이네요. 다만 '화살과 과녁 사이에 있는 무한대'가 무엇이고 그걸 어떻게 무시하는지에 관해 설명을 보충해주실 수 있나요?

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    • cjmoon 2019.08.24 15:42:26

      2.3으로 수정 돼었내요.

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    • cjmoon 2019.08.24 15:45:53

      2와 3사이에는 2.5가 있고, 2.5와 3사이에는 2.75가있고, 2.75와 3사이에는 2.875가 있는데, 이걸을 다 세보면 무한개가 넘지만 한번에 일만큼 움직이니까, 사이에 무한개의 수는 무시할수있다.

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    • cjmoon 2019.08.24 16:20:24

      그리고 저는 모든 사람의 답글을 기다림니다.

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    • 바람개비 2019.08.25 00:11:11

      제가 이해한 바로는 무한대란 화살과 과녁 사이에 있는 임의 지점의 집합이고 화살의 이동은 집합의 원소(지점 간) 일부를 일의 양만큼 '무시' 즉 뛰어넘는 것인데 맞나요?

       

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    • Undefined 2019.08.25 05:03:15

      cjmoon : "그러면 A1, A2, A3, A4......을 이용 해서 완벽한 직사각형을 만들수 있겠네요. A1을 1로 지정하고, A2는 \frac{1}{2}, A3는 \frac{1}{4}등으로 했을때 자연수가 나오면, 완벽한 직사각형이 나오니까,

      \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1=2"

      네 맞습니다. 만들 수 있어요

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    • cjmoon 2019.08.25 08:00:01

      ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 미끼를 던졌는데 물줄이야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1은 n이 자연수 일때는 계속 늘지만 무한이돼는 순간0이 됀니다. 이유는 \frac{1}{\infty }\times (\infty -1)=0 영 곱하기 몇을 해도영이다. 이걸 해석하면 n이 무한에 가까워지면 값이커지다가, 무한히 종이가 많아지면 갑자기 값이 떨어진다. 이런 경우는 부정극한이라고하며 쳐울수없고, \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a}{a+1}도  부정극한입니다. 그러므로 무한개에 직사각형이 있으면 넚이는 0입니다.  

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    • Undefined 2019.08.30 20:15:06

      누가 미끼를 물었다는 건지는 모르겠네요.

      설마 본인이 본인의 미끼에 걸리진 않으셨겠죠?

      An 용지에 대한 토론은 매스펀 질문으로 옮겨갑니다.

      http://www.polymath.co.kr/puzzle/1363

      cjmoon 님이 한 질문입니다.

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    • 디듀우 2019.08.30 22:45:37

      맞나요?

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    • cjmoon 2019.08.31 08:27:51

      \lim_{n \to \infty }(\frac{2^{n}-1}{2^{n}})+1에서 n이 무한이 돼면 1이 됀니다. (2^{\infty }-1)\times \frac{1}{2^{\infty }}+1=1, 그리고 여러분 수렴한다고 다채워지는게 아님니다. \lim_{n \to \infty }\sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}에서 n이 무한까지 간다라는 내용은 없고, n이 계속 커진다는 내용입니다. 이런 문제에서 가장 잘 속아 넘어가는게 1로 수렴한다가 다쳐워지는거라고 생각하는거에요. 이 공식에서 1로 수렴한다는 것은 n이 무한에 가까워지면 \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}이 1과 가까워지는 거지 \sum_{n=1}^{n}\frac{1}{n(n+1)}=1이 아님니다. 다르게 생각하서 무한번째 수열을 생각하면 1이 맞는데 무한번째 수열이 있다는 것은 직사각형이 무한개라는건데 k와 직사각형의 수는 같습니다. 즉 직사각형의 수=\infty이라는 것은 k=\infty이라는 건데 무한은 실수가 아닙니다.      

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    • 디듀우 2019.08.31 15:33:56

      로피탈의 정리를 쓰면 2가 나오는데요? (맨 첫 줄)

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  • 리프 2019.08.18 22:54:38

    댓글을 읽다가 문제를 제대로 이해하지 못하는 사람들이 너무 많아서 적습니다.

     

    이 문제의 의도는 '주어진 직사각형들로 1*1짜리 정사각형을 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 존재하는가?' 입니다.

    주어진 직사각형들의 넓이의 합이 1이거나 1이 아님을 증명하는 것이 아닙니다.

    (넓이의 합이 1인 것과 문제는 필요충분조건이 아니기 때문입니다.)

     

    그리고 cjmoon님의 댓글에서 정사각형의 빈틈의 크기가 줄어드는 속도가 직사각형의 크기가 줄어드는 속도보다 느려서 반드시 채울 수 없다고 하셨는데

    무한히 많은 직사각형으로 채운다면 얘기가 조금 달라집니다. (문제에 무한히 많은 직사각형으로 채운다고 적혀 있습니다.)

    왜냐하면 속도가 더 느려도 결국 정사각형의 빈틈의 크기와 직사각형의 크기는 둘 다 0에 수렴하게 되기 때문에 직사각형의 넓이의 합은 반드시 1이 되기 때문입니다.

     

    다시 한 번 강조하지만 이 문제는 주어진 직사각형들의 넓이의 합이 1이거나 1이 아님을 증명하는 것이 아닙니다.

    문제의 의도는 '주어진 직사각형들로 1*1짜리 정사각형을 겹치지 않고 채울 수 있는 배열이 존재하는가?' 입니다.

     

     

    참고: 주어진 직사각형들의 넓이의 합은 1입니다.

    증명:

    \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{k\left ( k+1 \right )} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{n} \right )=1

    (1/n이 0으로 수렴한다는 것에 대한 증명은 Undefined님이 하셨기 때문에 생략하도록 하겠습니다.)

     

    잘못된 부분 있으면 댓글로 알려주시기 바랍니다.

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    • cjmoon 2019.08.19 15:54:00

      무한 분에 일이면 0인데 그럼 앞에 있는 분수끼리 더해서 1이 만들어 졌다는 것데,  분수끼리 더하면 \frac{k}{k+1} 꼴로 답이 나와요.  

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    • 리프 2019.08.19 16:08:38

      무한을 숫자로 생각해서 k에 대입하면 안되고 극한의 개념으로 생각하셔야 합니다. 문제에서도 무한히 많은 직사각형으로 채운다고 했고 무한은 실수가 아니기 때문에 k의 값이 될 수가 없다는 주장은 옳지 않다고 생각합니다.

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    • cjmoon 2019.08.19 16:12:12

      수정 했는데......ㅋ

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    • 리프 2019.08.19 16:39:41

      값이  \frac{k}{k+1}  형태로 나와도 극한을 취하면 1이 됩니다.

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    • cjmoon 2019.08.19 17:03:14

      극한? 무한이요?

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    • cjmoon 2019.08.19 17:05:05

      \frac{\infty }{\infty }\neq1인데요?  왜냐하면 무한은 숫자로 생각 하면 안되 거든요.

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    • cjmoon 2019.08.19 17:14:07

      못 채운다는 걸 이해하기 쉽게 표로 설명 하면

      직사각형의 수 , a 1 2 3 4 5 ...... 100
      직사각형의 넓비의 합(cm^{2})  = \frac{a}{a+1},  b \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} ...... \frac{100}{101}
      직사각형 중 가장 작은 직사각형의 넓비(cm^{2}) = \frac{1}{a(a+1)}, c \frac{1}{2} \frac{1}{6} \frac{1}{12} \frac{1}{20} \frac{1}{30} ...... \frac{1}{10100}
      1-직사각형의 넓비의 합(cm^{2}) = 1-\frac{a}{a +1}, d \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} \frac{1}{6} ...... \frac{1}{101}

      참고로 뒤의 a, b, c, d는 변수 입니다.  d와 c는 a가 증가하면 할수록 값이 감소 하지만 c가 더 빠르게 감소한다. 그러므로 직사각형으로 정사각형을 다 채울수는 없다.

      a가 무한이면 b는 \frac{\infty }{\infty +1}\neq1 c=0  d=?

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    • cjmoon 2019.08.19 17:29:08

      이 문제에서는 채울수 있는냐, 없느냐 묻고 있지, 다 채올 수 있는 배열이 준재 하냐고는 묻고 있지는 않고 있습니다.

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    • cjmoon 2019.08.19 17:32:56

      그리고 이 문제는 미국 스탠퍼드대학교 컴퓨터공학과 수학 강의에서 쓰는 책에 있는 미해결 문제입니다. 그러므로 아직 답이 없기 때문에 처음 의도랑 다른 답으로 채울수 없다고 증명 됄수있습니다. 

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    • cjmoon 2019.08.19 17:37:13

      그리고 이 문제의 의도는 이 문제가 써저 있는 책을 쓴 3명의 저자 만 압니다.

       

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    • 리프 2019.08.22 01:22:41

      제가 문제의 의도라고 적어놓은 것은 주어진 문제와 동치인 명제이기 때문에 문제의 의도라고 적은 것입니다. 물론 문제의 의도는 조금 다를 수 있지만 넓이가 1인지 묻는 문제는 아닙니다. (문제에 넓이의 합이 1이라고 이미 주어져 있습니다.) 그리고 극한에 대해 잘 모르신다면 공부를 하고 오시는 것을 추천드립니다. 지금 수렴과 발산에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데 직사각형들의 넓이의 합이 1이 되는 것은 아주 간단하게 알 수 있습니다.

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    • cjmoon 2019.08.23 16:10:19

      리미트에서 무한은 x와 같은 변수가 되요. \frac{a }{a+1}여기서 a가 무한이면 1이 아닌 기약분수에요. 여기에서 a+1이 a면 무한 분의 무한도 1이 아니에요.

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    • 리프 2019.08.23 20:09:45

      극한에 대해 잘못 이해하고 계신 것 같은데 x가 a로 갈 때의 극한값은 x=a일때의 함숫값과 관련이 없습니다. (본질적으로 그렇다는 겁니다. 연속함수라는 조건이 있으면 같겠죠)

      x가 무한대로 갈 때도 마찬가지로 x가 무한대의 값을 가질 때의 함숫값을 의미하는 것이 아닌 x를 무한대로 가깝게 보낼 때 함숫값이 어디에 가까워지는지를 관찰해야 합니다. (이를 수학적으로 엄밀하게 정의한 것이 엡실론-델타 논법입니다. 위키백과에 들어가서 참고하시면 좋을 것 같습니다.)

      따라서, a/a+1에서 a가 무한으로 갈 때의 극한값은 a에 무한을 대입해서 계산하는 것이 아니라 a를 점점 크게하면 1에 가까워지기 때문에 1이 되는 것입니다.

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    • cjmoon 2019.08.24 15:54:06

      아니 제말뜻은 리미트에서는 무한이 정의 돼기 때문에 무한을 변수로 보면 됀다고요.  그러니까\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n+1}

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    • cjmoon 2019.08.24 15:55:57

      쉽게 설명하면 리미트에서는 무한을 수로 생각한다는 거에요.

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    • 리프 2019.08.24 23:36:09

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+x%2F%28x%2B1%29

      1 맞습니다.

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    • cjmoon 2019.08.25 08:07:39

      저 사이트를 믿을수 없는데다. \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+1} 은 부정극한인데요

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    • cjmoon 2019.08.25 08:43:20

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+1%2F%28x%2B1%29

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%E2%86%92%E2%88%9E+x

      을 보면 \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x+1}=0이고, \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty, 0\times \infty=0, \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x+1}\times x=0네 참이 돼었다. 거짓이 돼었다가, 이게 부정극한이라는 증거 입니다.  

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  • 구머 2019.08.21 15:13:09

    오랜만에 접속했는데 댓글 상태 완전 개판이네옄ㅋㅋㅋ 진짜 실망 많이 했습니다.

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    • cjmoon 2019.08.21 19:33:43

      삭제 부탁드립니다.

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    • cjmoon 2019.08.21 19:35:55

      풀리매스 첫번째 규칙의 정답이 아니어도 괜찮으니 댓글로 자유롭게 의견을 단다라고 써져 있어요 

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    • 리프 2019.08.22 01:24:40

      댓글을 달아도 되지만 댓글로 이미 증명된 내용을 아니라고 우기는 건 좀...

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    • cjmoon 2019.08.23 16:13:55

      증명 됐다고 생각 돼는 문제를 틀렸다고 증명하면 틀린거죠, 제논의 역설도 한때는 질실이었습니다. 히지만 틀렸다고 증명을 했자나요. 틀렸다고 증명을 하면 틀린게 되는게 수학입니다. 

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    • 뉴__턴 2019.08.23 19:16:03

      cjmoon님, 제논의 역설은 그때는 진실로 믿고 있었다는것이 참입니다. 하지만 진실로 믿고 있었던 이유는 그때의 수학 수준이 거기에만 미쳤기 떄문이고, 지금 우리가 다루는 수렴과 발산은 현재 우리의 수학수준으로는 진실이고, 수학은 새로운 것이 발견되지, 수렴과 발산을 깨버리는 그런 새로운 수학 지식이 나오기는 쉽지 않기 때문에 cjmoon님이 새로운 틀렸다는 증명 방법을 찾으시지 않은 이상 더 이상 맞지 않는 내용은 말하지 않아주셨으면 좋겠습니다.smiley

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    • 리프 2019.08.23 20:11:36

      만약 x/x+1에서 x가 무한으로 갈 때의 극한값이 1이 아니라는 것을 증명하려면 극한에 대한 정의를 다 바꿔야 가능할 것 같은데요..

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    • cjmoon 2019.08.24 15:57:19

      리미트에서 무한은 x와 같은 수로 정의 돼요.

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    • cjmoon 2019.08.24 16:35:18

      그리고 리미트에서 무한을 \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty라고 생각하면 문제를 확장할수 있습니다. 해석 \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n}{n}\frac{\frac{1}{0}}{\frac{1}{0}}=\frac{1}{0}\times \frac{0}{1}=0 

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    • 뉴__턴 2019.08.24 19:57:13

      cjmoon님, 참고로 \lim_{n\rightarrow 0}\frac{1}{n}\neq +\infty입니다.(+\infty이거나 -\infty임)

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    • Undefined 2019.08.25 05:08:58

      뉴_턴 님 +\infty,~-\infty 둘 다 아니고, 뭐 이미 알고 계시겠지만

      \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty,        \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty 이므로 극한의 정의에 따라 좌극한과 우극한이 다르므로

      \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}는 정의되지 않으며 +\infty,~-\infty 둘 다 아닙니다.

      즉, 어떤 값 중 하나이다 또는 어떤 값이다 라고 말할 수 없다고요.

      (cjmoon 님의 \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty는 맞습니다)

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    • cjmoon 2019.08.25 08:58:33

      출처 : https://namu.wiki/w/%EB%AC%B4%ED%95%9C%EB%8C%80에 4.1위상수학

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    • cjmoon 2019.08.25 08:59:49

      https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%2B0

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  • 구머 2019.08.21 15:17:24

    To cjmoon.

    님 그러면 'k'는 어디까지 커지는걸로 생각하고 계시는지요

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    • cjmoon 2019.08.21 19:27:26

      계속 커지겠죠? 

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    • cjmoon 2019.08.21 19:30:21

      그러다보면 그러다보면 무한과 가까워 지겠지만 결국 무한에는 도달 못하조

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    • cjmoon 2019.08.21 21:32:45

      1씩 더한다고 그 숫자가 무한이 됄수는 없자나요.  

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    • cjmoon 2019.08.21 21:42:42

      왜냐하면 1은 자연수고 무한은 실수가 아니니까 범위 자체가 다르자나요. 자연수안에서 아무리 더해도 자연수라는 울타리 밖으로 나올수 없자나요.

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    • 뉴__턴 2019.08.24 14:53:34

      하지만 \sum_{k=1}^{\infty }k는 발산합니다만....

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    • cjmoon 2019.08.24 16:03:00

      \sum_{n=1}^{\infty }k=\infty 아님니까? 1+2+3...+\infty이니까......

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    • cjmoon 2019.08.30 19:39:02

      그리고 발산한다고 무한이 아니라 계속 커지고 있는 수 입니다.

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  • 리프 2019.08.23 20:12:25

    cjmoon님께 질문이 하나 있습니다.

    0.9999999999...의 값은 얼마라고 생각하십니까?

    좋아요0 댓글수5
    • cjmoon 2019.08.24 15:48:50

      1이요. 하지만 0.9999999999......=\frac{9}{9}임으로  \frac{a}{a+1}이 아님니다.

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    • 리프 2019.08.24 23:10:33

      x=10^n-1이라고 할때 0.9999999...=x/(x+1) 꼴이 되는데요..

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    • cjmoon 2019.08.25 08:52:52

      n=1, 10^n-1=1, 1/2=0.5

      n=2, 10^n-1=10, 10/11=0.909009090909.........

      n=3, 10^n-1=100 100/101=0.990099009900......

      n=4, 10^n-1=1000 1000/1001=0.999000999........

      n=\infty 10^n-1=\infty \infty /\infty +1=?

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    • 리프 2019.08.25 18:05:05

      x=10^(n-1)이 아니라 x=(10^n)-1입니다.

      n=1: 0.9

      n=2: 0.99

      n=3: 0.999

      n->inf: x/(x+1)=0.999...=1

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    • cjmoon 2019.08.26 19:49:32

      n=\infty x=(10^n)-1=\infty-1=\infty\frac{\infty }{\infty +1}=\frac{\infty }{\infty }=? 

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  • cjmoon 2019.08.24 15:50:42

    그러면 여러분. 배열을 찾아보세요. 배열을 찾아야 한다면서 안 찾고있자나요!!!

    좋아요0 댓글수8
    • 리프 2019.08.24 23:15:59

      배열을 찾는 시도는 문제를 올렸을 때부터 진행되었고 난이도가 높기 때문에 배열을 못 찾거나 배열이 없음을 증명을 하지 못한 상태입니다. 그리고 지금 님이 넓이의 합이 1이 아니라고 주장하시는데 만약 님의 풀이가 맞다면 배열을 찾는 것은 무의미하기 때문에 님의 풀이가 틀렸다는 것을 보이고 있는 상태인데요..

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    • cjmoon 2019.08.25 08:20:55

      근데 저도 배열을 찾아보았는데 님들에 풀이데로 직사각형이 무한개면 배열을 어떻게 찾아요. k가 왜 양의 정수여야 돼는지 무한이 왜 안돼는 왜 제가 강조한지 알아요? 왜냐하면 넚이는 다채울수 있지만 무한개에 직사각형의 위치를 어떻게 일일이 다 계산해요. 그러니까 k를 무한개에 직사각형을 일일이 다 계산을 다못하니까 무한은 안됀다고고요!!!!!! (무한개의 직사각형을 다 계산하면 저도 인정하겠지만 그런일은 없습니다) 답 : 직사각형이 계속 작아지니까 배열은 있지만 배열을 찾지못한다.(그런데 직사각형이 무한개가 되면 k는 무한이다. )     

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    • 아인수타인 2019.08.26 20:31:55

      그러니 불가능하다는 걸 증명하든지, 아니면 배열이 존재할 경우에는 직사각형을 채우는 규칙 같은 게 있겠죠.

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    • cjmoon 2019.08.30 19:42:19

      가설을 증명하려면 1억개 정도에 직사각형을 배치해 바야할걸요.

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    • cjmoon 2019.08.30 19:45:41

      그리고 1/2사이즈에 직사각형을 배치하는 방법도 k가 1억이 돼면 눈금이 가로 1억 세로 1억이 돼면 1/2사이즈 직사각형을 배치하는 방법만 2억개 되요.

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    • cjmoon 2019.08.30 19:46:39

      그리고 직사각형이 무한개면? 그건 여러분도 알거에요.

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    • Undefined 2019.08.30 20:45:22

      1억개로는 부족합니다. 

      리만가설도, 골드바흐의 추측도 모두 1억 까지는 컴퓨터로 밝혀냈죠.

      하지만 그것을 증명이라고 받아들이는 사람은 아무도 없습니다.

      그러니 수학적인 증명을 해야겠지요.

      어느 시점에 반드시 못 채우도록 여백이 흩어져 있다던가

      어떤 알고리즘을 이용하여 무한히 반복하면 꽉 채워진다는 가설을요.

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    • cjmoon 2019.08.31 08:34:12

      과연 가로 눈금무한에 세로 눈금무한이 있는 정사각형에 직사각형 무한개에 배열을 컵퓨터로 찾을수 있을가요? 

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