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문제

[대한수학회] 대31. 끝없는 직사각형

2019.06.30

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

모든 양의 정수 k\geq 1에 대하여, 변의 길이가 각각 \frac{1}{k}, \frac{1}{k+1}인 직사각형이 한 개씩 있다.

 

무한히 많은 이 직사각형들을 변의 길이가 1인 정사각형 내부에 겹치지 않고 모두 채울 수 있을까?

(참고로 이 직사각형들의 넓이의 합은 \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots=1이다.)

-출처 : Exercise 2.37, Concrete Mathematics (Graham, Knuth, and Patashnik)-

댓글 4

  • 아인수타인 2019.07.01 22:34:43

    비슷한 국가수리과학연구소 문제입니다.

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  • tommy 2019.07.03 01:21:18

    일단 직관적으로 생각해 볼까요.

    k번째 직사각형을 \frac{1}{k} \times \frac{1}{k+1} 직사각형이라고 하면, k번째 직사각형을 놓을 차례가 되었을 때 남은 공간의 넓이는 \frac{1}{k}, 즉 놓을 직사각형의 무려 k+1배 크기입니다. 즉 직사각형을 놓으면 놓을수록 직사각형에 비해 여분의 크기가 넓어지는 것처럼 느낄 수 있겠네요. 이렇게 생각하면 저걸 채우는 건 가능하다 못해 쉬울 것 같은 생각도 들긴 하는데...

    아무래도 유한이 아닌 무한 개의 직사각형, 무한급수다 보니 수렴성에 주의해야 할 것 같긴 하네요. 다행히 절대수렴하니까 어떻게 배치하든 총 넓이가 1인 건 확실한데, 음, 수렴 속도가 어느 정도로 빠른지 한 번 느껴 봐야 할 것 같네요. ㅎㅎ

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  • c언어 2019.07.10 23:17:16

    이 문제를 보니까 우리가 흔히 아는 등비급수인 1/2, 1/4, 1/8. . . 을 도형으로해서 합이 1임을 보이는 것이 생각났습니다. 그래서 이 경우와 지금 문제를 푸는 경우에 공통점과 차이점이 무었이 있는지 찾아보기로 했습니다.

     먼저 공비가 1/2은 수열은 직사각형과 정사각형으로 이루어져 있다. 변의 길이를 보면 (1, 1.2), (1/2, 1/2), (1/2, 1/4), (1/4, 1/4), (1/4, 1/8), (1/8, 1/8), (1/8, 1/16) . . . 으로 공비가 1/2인 수열이 4번 반복되는 꼴이다. 즉 합은 1+4(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...)이 되어서 합은 1 + 4*1=5로 수렴을 하게 된다. 

     하지만 문제의 경우는 (1/2, 1/3), (1/3, 1/4), (1/4, 1/5). . . 으로 합을 구하면 1/2 + 2(1/3 + 1/4 + 1/5 . . .) 이 되는데 이는 발산하는 수열이다.

    by. http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=dalsapcho&logNo=20131917907&parentCategoryNo=&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView

    즉 변의 길이의 합이 무한하다는 것이다. 

     

    만약 1x1 정사각형안에 길이의 합이 유한하다는 것을 증명하면 직사각형이 정사각형 안에 들어갈 수 없다는 것이 되는데 잘 모르겠어서 일단 이정도 까지만 적겠습니다. 그리고 좀 참여율이 적은거 같은데 모두 많이 생각해 주세요...!

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  • 뉴__턴 2019.07.16 22:27:12

    근데 어짜피     \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}\times \frac{1}{k+1}   이1로 수렴하고, 직사각형은 무한하니까 채울수는 있는데, 이 문제가 유한시간안에 가능한지를 묻는 질문인가요????

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