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문제

[국가수리과학연구소] 국30. 유리수 낳는 유리수

2019.06.02

같이 풀어볼까?

네이버밴드 구글플러스

 

국가수리과학연구소의 30번째 문제입니다

 

 

칠판에 어떤 수가 적혀있을 때 아래 두 조건에 따라 칠판에 수를 추가로 적을 수 있다. 

 

① 칠판에 어떤 수 \large x가 적혀있으면 역수 \large \frac{1}{x}를 적을 수 있다. 이때 기존의 수는 지우지 않는다.

② 칠판에 두 수 \large x_{1}\large x_{2}가 적혀있으면 두 수의 평균 \large \frac{x_{1}+x_{2}}{2}를 적을 수 있다.

 

 

 

[문제]

 

칠판에 양의 유리수 \large a가 적혀있다. 이때 \large a 하나로 시작해 1을 적을 수 있는 \large a의 조건은 무엇인가?

 

 

※ 문제가 어렵다는 의견이 많아 조금 난이도를 낮춘 문제를 출제했습니다. 문제를 푼 친구는 비밀 댓글로 풀이를 달고, 공개 댓글로는 미완성된 아이디어를 공유해 보세요!

댓글 28

  • 출제자(국) 2019.06.02 22:03:12

    이 문제는 올림피아드 문제로 나온 문제인데, 폴리매스 참가를 위해선 답을 온라인에 검색하지 않았으면 좋겠어요 (출처를 안다면 다 같이 문제를 푸는 기회를 위해 참아주세요 ㅎㅎ). 같이 아이디어를 공유하면서 답을 우리 스스로 찾아보아요! 저도 답을 모르니 참가자 여러분들이랑 같이 생각해볼게요~

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  • Undefined 2019.06.02 22:06:50

    a=1이 적혀있으면 1을 적을 수 없는 것인가요?

    이미 적혀있는 수는 '적을 수 있다'고 표현하기가 애매할 것 같네요.

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    • 출제자(국) 2019.06.02 22:22:00

      똑같은 숫자를 한번 더 적는 걸로 생각하시면 되겠습니다!

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    • Undefined 2019.06.02 22:26:22

      문제에 '새로운 수'를 적는다고 표현되어 있는데,

      '새로운 수'는 기존의 수와 같아도 된다는 겁니까?

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    • 출제자(국) 2019.06.02 22:42:58

      표현에 애매모호한 부분이 있네요. 지적 감사합니다 smileyyes 똑같은 수도 여러 개를 새로 적을 수 있다고 보시면 될거에요. '새로운 수를 적을 수 있다' 보다는 '수를 추가로 적을 수 있다'가 더 맞는 표현일 것 같아요. 표현은 기자님과 상의해서 내일 중으로 수정할 수 있도록 할게요!

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    • 김우현 기자 2019.06.02 22:50:50

      모호한 부분을 수정했습니다!crying

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  • bholicleo 2019.06.02 23:25:47

    a가 2의 배수면 된다는 거 말고는 잘 모르겠어요ㅠㅠ

    좋아요1 댓글수6
    • Undefined 2019.06.02 23:31:19

      a가 2의 배수면 왜 되는지 설명해 주세요.

      참고로 a=3일 때 됩니다.

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    • bholicleo 2019.06.02 23:37:39

      일단 저는 2의 거듭제곱을 먼저 생각해봤어요

      2의 거듭제곱인 수를 첫 번째 조작을 두번 하면 똑같은 수가 생길 것이고, 이 두수를 두번째 조작을 시행하면 반이 되는데, 이 과정을 계속 반복하면 무조건 1이 만들어지니까요

      2의 거듭제곱이 아닌 경우에는 조금 더 정리해봐야 할 것 같아요ㅠ

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    • bholicleo 2019.06.02 23:49:19

      a가 정수가 아닌 경우 a=p/q 가정 (p,q는 서로소인 양의 정수)

      조작 1로 q/p, p/q 를 만들 수 있다

      p,q 중 하나가 2의 거듭제곱이면 2의 거듭제곱이 아닌 나머지 수를 만들 수 있다.

      그 정수가 1을 만들 수 있는 a라면 1을 만들 수 있다

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    • Undefined 2019.06.02 23:50:58

      평균과 반은 다른 의미를 가지는 것 같네요...

      (수정)

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    • 출제자(국) 2019.06.03 11:41:22

      Undefined님~ 괜찮으시다면 문제에 관해 토의할 때 상대방을 조금 더 배려해 부드럽게 의견을 전해줄 수 있나요? 같은 내용이어도 어투에 따라서 느낌이 다르고, 어떤 표현 방식은 어쩌면 공격적으로 받아들여질 수도 있어서 혹시라도 undefined님의 뜻이 잘못 전달될 수도 있을 것 같아요. '아닙니다.' '...인겁니까?' '..하세요'와 같은 명령조보다는 '...라서 아니라고 생각해요.' '...라서 아닌 것 같은데 어떻게 생각하시나요?' '...가 부족한데 좀 더 설명해주실 수 있으세요?' 처럼 상대를 배려하는 토의방식을 쓰면 서로 오해 없이 문제를 같이 해결하는 데 도움이 많이 될 것 같아요yes

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    • 출제자(국) 2019.06.03 11:48:13

      bholicleo님! Undefined님이 말한 것처럼 어떤 두 수가 있을 때 두 수의 평균을 쓸 수는 있지만, 그게 어떤 수의 반을 쓰는 건 아니에요. 그래도 bcholicleo님이 말씀하신 구간을 반절씩 나누는 아이디어를 이용하면 밑에 Undefined친구가 올려준 것처럼 a=2^n-1일때 항상 1을 만들 수 있어요 (이게 어떤 의미인지는 스스로 생각해보는 걸 권유해드리고, 혹시 모르겠으면 같이 얘기해봐요 ㅎㅎ). 놓친 부분이 있어도 아이디어를 잘 활용하면 새로운 사실을 찾아낼 수가 있으니, 자유롭게 다양한 아이디어를 올려주세요! smiley

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  • Undefined 2019.06.02 23:48:52

    a=2^n-1~or ~a=\frac{1}{2^n-1}일 때 성립

    a=1,3,7,15 일때 되어서 추측 후 증명했습니다.

    다른 경우는 모르겠습니다.

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    • 출제자(국) 2019.06.03 12:04:15

      아이쿠 코멘트를 깜박했네요 crying smiley a1/a 사이를 평균을 내는 과정을 반복해 반절로 계속 나누면 1이 나온다는 멋진 관찰입니다!

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    • ha-lin 2019.06.03 21:56:12

      아니죠 0을 제외한 수를 반절로 계속 나눠도 0이 안 되는 것처럼 차이는 항상 있습니다.

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    • 출제자(국) 2019.06.03 22:14:31

      ha-lin님. 코멘트를 짧게 쓴다는 게 내용이 충분히 전달되지 못한 것 같네요. 두 수의 사이 구간을 반절내는 것으로 보시면 되겠습니다. 이를테면 3과 1/3이라는 숫자로 시작하면 1/3에서 시작해 3으로 끝나는 구간 [1/3, 3] 이 평균을 내는 과정을 통해 [1/3, 5/3], [1/3, 3/3] ... 이렇게 앞쪽 반절로 계속 나눠지는 걸 말한 거에요. 말씀하신 것처럼 숫자 자체는 반이 되지 않습니다~

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  • Undefined 2019.06.03 02:37:02 비밀댓글
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    • Undefined 2019.06.03 02:37:31 비밀댓글
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    • 출제자(국) 2019.06.03 11:51:38 비밀댓글
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    • 222 2019.06.03 17:14:25

      출제자님 이분 정답인가요?

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    • 출제자(국) 2019.06.03 22:11:30

      저도 아직 모릅니다 smiley 이번 문제는 이번달이 끝나기 전까지는 저도 답을 확인하지 않고 진행하려고 해요~

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    • 구머 2019.06.11 09:16:26 비밀댓글
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  • 구머 2019.06.08 23:06:47

    별로 특별한 발견은 어닌것 같지만, a = k/(2^n - k) 꼴은 다 된답니당

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    • 구머 2019.06.08 23:27:09

      풀다보니 다 풀었네요!! 우선 제가 제시한 꼴을 힌트로 삼아서, 문제에 나오는 "변형"을 아무리 해도 바뀌지 않는 불변량을 잘 찾아보도록 해요!

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  • 구머 2019.06.08 23:37:54 비밀댓글
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    • Undefined 2019.06.09 01:52:27 비밀댓글
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    • 출제자(국) 2019.06.10 22:46:33 비밀댓글
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