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문제

[대한수학회] 대14. 정육면체 분할해 정육면체 만들기

2018.01.31

같이 풀어볼까?

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이번 대한수학회 문제는 3번이 미해결입니다. 1번과 2번은 3번을 풀기 위한 연습문제라고 생각하고 풀어보세요. 그리고 3번 문제에 도전하세요! 그럼 문제 나갑니다.

 


문제1. 한 변의 길이가 \large n인 정사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형 \large n^2개로 분할한다. 분할 후에 만들어지는 \large (n+1)^2의 꼭짓점을 생각하자. 이 꼭짓점 중 동시에 네 점를 뽑아 사각형을 만들 때, 정사각형이 되는 경우의 수를 \large f(n)이라 하자. \large N=12345일 때, 다음 값을 구하여라.

\large \sum_{n=1}^{N} f(n)

 

 

문제2. 한 변의 길이가 \large n인 정삼각형을 한 변의 길이가 1인 정삼각형 \large n^2개로 분할한다. 분할 후에 만들어지는 \large \frac{(n+1)(n+2)}{2}의 꼭짓점을 생각하자. 이 꼭짓점 중 동시에 세 점를 뽑아 삼각형을 만들 때, 정삼각형이 되는 경우의 수를 \large f(n)이라 하자. \large N=12345일 때, 다음 값을 구하여라.

\large \sum_{n=1}^{N} f(n)

 

 

문제3. 한 변의 길이가 \large n인 정육면체를 한 변의 길이가 1인 정육면체 \large n^3개로 분할한다. 분할 후에 만들어지는 \large (n+1)^3의 꼭짓점을 생각하자. 이 꼭짓점 중 동시에 여덟 점를 뽑아 육면체를 만들 때, 정육면체가 되는 경우의 수를 \large f(n)이라 하자. \large N=123일 때, 다음 값을 구하여라.

\large \sum_{n=1}^{N} f(n)

댓글 101

  • 수학장 2018.01.31 17:54:03

    1번 문제 f(n)은 넓이가 1, 4, 9,...인 정사각형으로 나눠 계산하면\sum_{i=1}^{n}i^{2}이네요. 한 변의 길이가 1 늘어날 때마다 들어갈 수 있는 범위는 가로 세로 모두 1씩 좁아지니까요.

    그럼\sum_{n=1}^{N}\sum_{i=1}^{n}i^{2}이니까 1의 제곱이 N개, 2의 제곱이 N-1개..... 이걸 시그마로 표현하면 \sum_{i=1}^{N}(N-i+1)i^{2}고, N이 12345면 \sum_{i=1}^{12345}(12346-i)i^{2}네요. 이걸 계산하면 되요. 계산하면..... 3번도 비슷하게 풀면 되지 않나요?

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    • 수학장 2018.01.31 18:14:05

      숫자로 쓰긴 좀 그렇고, 12345^{2}\cdot 12346^{2}\cdot \frac{49379}{12}네요. 어마어마하게 큰 수....

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    • Leesj 2018.02.05 17:36:15

      맞는것 같은데요?

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    • Leesj 2018.02.06 15:54:36

      님 아이디어 쓰면

      \sum_{i=1}^{n}i^3

       

      \sum_{n=1}^{N}\sum_{i=1}^{n}i^3

      그다음은\sum_{i=1}^{N}(N-i+1)i^3

      숫자 대입하면\sum_{i=1}^{123}(124-i)i^3

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    • 수학장 2018.02.06 22:42:16

      Leesj님 제 아이디어 잘못된 겁니다. 혼자 딴세상에 계시지 마시고 아래에 있는 댓글도 좀 보시죠.

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    • 여백 패르마 2018.02.07 13:35:09

      흐힉. 이럴수가 . 상대를 기분 나쁘게 하는 말은 자제해주십시오

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    • 수학장 2018.02.07 16:55:41

      말이 너무 심했나요?....... 죄송합니다. 그런 뜻으로 한 말이 아닌데.... 기분 나빴다면 죄송합니다.

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    • Leesj 2018.02.12 12:07:33

      괜찮습니다!

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  • 여백 패르마 2018.01.31 18:47:59

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    • 여백 패르마 2018.01.31 18:49:04

      3번 증명입니다. 아이디어는 쉬운데 문제는 계산이에요.

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    • 수학장 2018.01.31 18:50:55

      뭐 계산에 큰 아이디어가 필요한 것도 아니고 이번 문제는 좀 쉬운 것 같은데요.

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    • 여백 패르마 2018.01.31 19:03:17

      네 맞는 말씀입니다. 아뮤리 봐도 최초의 대한수학회 추가문제가 나올 듯? 하네요. 그리고 구머님이 혹시 우리의 계산기가 되어줄까요?

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    • 여백 패르마 2018.02.04 18:18:32

      이앵??? 갑자기 왜 \frac{1}{2^{2}}의 n배가 나오죠??

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    • 무한 2018.08.06 21:19:00

      40723


      120

      계산하면 이정도로 나오네요

       

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  • 수학장 2018.01.31 18:49:45

    한 변의 길이가 n인 정삼각형을 한 변의 길이가 1인 정삼각형으로 나누었을 때, \Delta이렇게 생긴 삼각형과 역삼각형의 개수를 따로 생각하면 쉽다. \Delta이렇게 생긴 삼각형의 개수는

    \sum_{i=1}^{n}\frac{(n-i+1)(n-i+2)}{2}개이고, 역삼각형의 개수는\sum_{i=1}^{n}\frac{(n-2i+1)(n-2i+2)}{2}개이다. 그럼 총합은\sum_{i=1}^{n}\frac{2n^{2}-6ni+6n-9i+5i^{2}+4}{2}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(2n^{2}-6ni+6n-9i+5i^{2}+4)이다.

    그러면\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(2n^{2}-6ni+6n-9i+5i^{2}+4)를 계산하면 되는데, 계산과정은 생략하겠다.(너무 길어서)

    [f(n)]=\sum_{n=1}^{N}f(n)이라고 정의해봐요. 그러면  \frac{5}{6}[n^{3}]+[n^2]+3[n]+2[1]+\frac{5}{4}[n^2]+\frac{5}{12}[n]-\frac{9}{2}[n^2]-\frac{9}{2}[n]-3[n^2]-3[n]이 되고, \frac{5}{6}[n^{3}]-\frac{21}{4}[n^2]-\frac{49}{12}[n]+2[1]이 됩니다. 이걸 전개해서 N에 대한 식으로 풀면 N(N+1)\cdot \frac{5N^2-37N-70}{24}+2N=

     

    12345\cdot 12346\cdot \frac{5\cdot 12345^{2}-37\cdot 12345-70}{24}+24690=\frac{5\cdot 12345^{3}\cdot 12346-37\cdot 12345^{2}\cdot 12346-864172\cdot 12345}{24}이다. 역시 어마어마하게 큰 수..

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  • 수학자 2018.01.31 19:33:38

    정사각형의 한 변의 길이가 꼭 자연수일 필요는 없겠죠. \small \sqrt{2}일 수도 있고, \small \sqrt{5}일 수도 있습니다.

    마찬가지로 정육면체에서도 여러 가지 경우가 생길 수 있습니다. 이 부분을 모두 고려해야 될 거예요...

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    • 수학장 2018.01.31 19:35:36

      n은 자연수인거 같은데요. 문제를 봐도 한  변의 길이가 n인 어떤 정사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형 n^{2}개로 분할하라고 써 있는데, n이 자연수가 아니면 불가능합니다. 2번, 3번 문제도 마찬가지고요.

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    • 여백 패르마 2018.01.31 20:10:54

      무리슈이면 몇개라는 개념이 없습니다.

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    • 구머 2018.01.31 20:21:08

      수학'자'님 의견에 동의합니다.

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    • 수학장 2018.01.31 20:27:39

      전 동의 못하는데 첫번째 이유는 위에 말했고 두 번째 이유는 구해야 하는 값이 \sum _{n=1}^{N}f(n)인데, 이 정의는 알겠지만 n에 1부터 N까지 n값에 1씩 더하며 그 합을 구하라는 겁니다.

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    • 구머 2018.01.31 22:47:50

      수학자님 말은 'N이 루트 2다' 를 주장하는 것이 아닙니다.

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    • 수학장 2018.01.31 22:53:48

      수학자님 말씀은 ‘n이 자연수가 아닐 수도 있다’라고 말씀하신 거 아닌가요? 저는 그래서 ‘n은 자연수일 수밖에 없다’라고 주장하는 건데요

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    • 수학자 2018.01.31 23:49:41

      위에서 말한 정사각형은, "네 점을 뽑아서 만드는 정사각형"에 대한 이야기입니다. 예를 들면, n=3일 때 (0,1),(1,3),(3,2),(2,0)은 한 변의 길이가 \small \sqrt{5}}인 정사각형을 이룹니다.

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  • 수학자 2018.02.01 00:36:16

    뭐 어떻게 되든 합을 구하는 계산은 피할 수 없습니다만, 이 부분을 조금 간단하게 할 수 있는 방법은 있습니다.

    \small \sum_{i=1}^{n} i(i+1)(i+2) \cdots (i+k - 1) = \frac{n(n+1)(n+2) \cdots (n+k) }{k+1}라는 식이 도움이 될 수도 있습니다. 특히, 네제곱수 이상의 합에서는 이렇게 따로 처리해주는 것이 좀 더 간편할 수 있습니다.

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    • 구머 2018.02.01 18:05:19

      부연설명: 하키스틱 정리로 유도됩니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.04 18:26:03

      정확한 유도과정 부탁들입니다.

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    • 수학자 2018.02.20 14:12:41

      https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity

      이 identity의 결론 \sum_{i=k}^{n+k-1} \binom{i}{k} = \binom{n+k}{k+1}의 양변의 k!을 곱하면 됩니다.

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  • 여백 패르마 2018.02.01 13:15:34

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    • 여백 패르마 2018.02.01 13:16:47

      일번을 수학자님의 의견을 반영했습니다.

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    • ssamtkwon 2018.02.01 14:59:21

      그건 f(12345)를 구한 것 같은데요?

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    • 여백 패르마 2018.02.01 15:11:30

      아 그렇군뇨. 그 아이디어로 답을 구해봅시다.

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    • 수학장 2018.02.01 22:05:24

      대각선으로 된 정사각형 개수 구하는 게 잘못된 것 같은데요.

      어떻게 해서 \sum_{i=1}^{12345}i가 나온 거죠?

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  • ssamtkwon 2018.02.01 15:17:00

    위에 여백 패르마님의 설명을 조금만 바꿔서 대각선과 대각선이 아닌 정사각형을 합치면 한 변의 길이가 m인 정사각형에는 정사각형 m개가 '꽉 채워서' 들어갈 수 있습니다.

    그리고 한 변의 길이가 m인 정사각형은 n인 정사각형 속에 (n-m+1)^{2}번 나오니까 f(n)=\sum_{m=1}^{n}m(n-m+1)^{2}이 됩니다.  이것도 계산하기 힘든데 정작 계산해야 하는 건 \sum_{n=1}^{12345}f(n)이네요...

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    • ssamtkwon 2018.02.01 15:25:54

      다소 복잡한 계산을 한 결과 f(n)=\frac{n^{4}}{12}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{5n^{2}}{12}+\frac{n}{6}=\frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{12}으로 나왔습니다(문제 1).

      \sum_{i=1}^{n}i^{4} 이거 어떻게 구하는지를 몰라서 막혔습니다.

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    • ssamtkwon 2018.02.01 15:52:46

      검색해보니 \sum_{i=1}^{n}i^{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}이라고 하네요. 그걸 이용해서 계산해보면 답은 \frac{\frac{N(N+1)(2N+1)(3N^{2}+3N-1)}{30}+(N(N+1))^{2}+\frac{5N(N+1)(2N+1)}{6}+N(N+1)}{12}=4781542785442349283으로 나왔습니다(N=12345).

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    • 수학자 2018.02.02 17:11:15

      정확한 것 같습니다. \small f(n) = \frac{n (n+1)^2 (n+2)}{12} = \frac{(n-1) n (n+1) (n+2) + n (n+1)(n+2)(n+3)}{24}에서 위에서 제가 언급한 식을 이용하면 \small \sum_{n=1}^{N}f(n) = \frac{(N-1) N (N+1) (N+2)(N+3) + N (N+1)(N+2)(N+3)(N+4)}{120} = \frac{N (N+1) (N+2)(N+3)(2N+3)}{120}으로 좀 더 깔끔하게 정리할 수 있겠네요.

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  • ssamtkwon 2018.02.01 16:57:56

    3번 문제의 경우에도 거의 똑같은 방법을 적용하면 한 변의 길이가 m인 정육면체에는 정육면체 m^{2}개가 '꽉 채워서' 들어갈 수 있고 한 변의 길이가 m인 정육면체은 n인 정육면체 속에 (n-m+1)^{3}번 나오니까 답은 \sum_{n=1}^{N}(\sum_{m=1}^{n}m^{2}(n-m+1)^{3})이네요. 프로그래밍 해보니까 1103791720275가 나오던데 맞나요?

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    • 여백 패르마 2018.02.02 13:14:16

      아니요, 아니에요.

      n은 무리수도 가능합니다.단, 문제에서 n아닙니다.

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    • ssamtkwon 2018.02.02 14:20:05

      그것까지 전부 포함한 겁니다. 한 변의 길이가 m인 정육면체를 m^{3}개의 정육면체으로 나누고 한 면에 있는 (m+1)^{2}개의 꼭짓점들 중 두 모서리의 꼭짓점들을 제외하면(다른 면들과 겹쳐서) m^{2}가 남죠. 그 중 하나와 각 면에서 그것과 같은 위치에 있는 꼭짓점들을 선택하면 가능한 모든 정육면체가 포함됩니다.

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    • 구머 2018.02.02 15:21:12

      '한 변의 길이가 m인 정육면체에는 정육면체 m^{2}개가 '꽉 채워서' 들어갈 수 있고'라고 주장하셨는데, 제가 살짝 걱정되는 부분이 '어떤 정육면체 A가 존재하여 A가 꽉 채워서 들어가지는 큰 정육면체가 존재하지 않는다 '  를 만족시키는 A가 있을것 같아서..아직 정확히 계산을 안해보아서 정확한 논리는 설명하기 힘들것 같네요.

       

       

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    • ssamtkwon 2018.02.02 16:47:25

      아, 제가 실수한 게 맞네요.

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  • ssamtkwon 2018.02.02 17:37:04

    그래도 2번은 똑같은 방법으로 풀 수 있습니다. 역삼각형은 비틀어진 삼각형에 포함되니까 따로 계산을 안 해도 되고, 한 변의 길이가 m인 정삼각형은 n인 정삼각형 속에 \frac{(n-m+1)(n-m+2)}{2}개가 들어가죠. 또 한 변의 길이가 m인 정삼각형 속에는 m개의 정삼각형이 (꽉 채워서)들어가니까 f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{m(n-m+1)(n-m+2)}{2}입니다. 즉 답은 \sum_{n=1}^{N}(\sum_{m=1}^{n}\frac{m(n-m+1)(n-m+2)}{2})=\sum_{n=1}^{N}(\sum_{m=1}^{n}\frac{m^{3}+(-2n-3)m^{2}+(n^{2}+3n+2)m}{2})=\sum_{n=1}^{N}(\frac{(n(n+1))^{2}}{8}-\frac{n(n+1)(2n+1)(2n+3)}{12}+\frac{n(n+1)^{2}(n+2)}{4})=\sum_{n=1}^{N}(\frac{n^{4}}{24}+\frac{n^{3}}{4}+\frac{11n^{2}}{24}+\frac{n}{4})=\frac{\frac{N(N+1)(2N+1)(3N^{2}+3N-1)}{30}+\frac{3(N(N+1))^{2}}{2}+\frac{11N(N+1)(2N+1)}{6}+3N(N+1)}{24}=2391255491735616219(N=12345)으로 나오는데 확신은 없네요.

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    • 구머 2018.02.02 17:38:55

      네 맞는것 같네요.

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    • ssamtkwon 2018.03.03 13:00:50

      수학동아 보니까 2번 문제가 미해결이라고 하는데 제 답이 틀린건지 아니면 너무 지저분해서 그런 건지 모르겠네요.

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  • 수학자 2018.02.02 17:41:28

    정육면체의 경우에는 벡터에 대한 지식이 좀 필요할 수도 있겠네요. 정육면체에 대한 문제에서의 핵심은, "길이가 같으며, 서로 수직이고, 각 성분이 모두 정수인" 세 개의 벡터를 찾는 것입니다. 그 세 벡터가 각각 정육면체의 세 변이 됩니다. 생각하기 쉬운 예시는 \small (k,0,0),(0,k,0),(0,0,k)이며, 이는 각 변이 축과 평행한 정육면체입니다. 하지만 다른 예시들이 얼마든지 많이 있습니다.

    \small (2,2,1),(2,-1,-2),(1,-2,2) / \small (3,4,0),(4,-3,0),(0,0,5) / \small (6,3,2),(3,-2,-6),(-2,6,-3) / \small (8,4,1),(-1,4,-8),(-4,7,4) / \small (9,6,2),(2,-6,9),(6,-7,-6)

    위 5가지 정육면체는 각각 \small 5 \times 5 \times 5 , 7 \times 7 \times 5, 11 \times 11 \times 11, 13 \times 15 \times 13, 17 \times 19 \times 17인 직육면체 안에 "꽉 채워서" 들어갑니다. 정육면체의 경우, 항상 각 변이 축과 평행한 정육면체 안에 꽉 채워서 들어간다는 보장은 없습니다.

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    • 구머 2018.02.06 15:16:05

      벡터들의 조합의 일반형을 좀 구해봤습니다.

      1. (a,0,0) ,(0,a,0) (0,0,a)

      2. (b,c,0) (-c,b,0) (0,0,a)  (단, a2=b2+c2)

      3. (a, b, c) (-c, -a, b) (b, -c, a) (단, bc=ab+bc)

      4. (a, b, c) (-b, -a, c) (c, -c, b-a) (단, c2=2ab)

      여기서 조금 회전을 시킬 수 있겠네요

       

      우선 수학자님이 제시한 예시들은 다음 형태로 표현이 됩니다. 제 힘으로는 다른 일반형을 구하기 힘들 것 같아요ㅜ 저 일반항에 포함이 안 되는 반례가 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

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    • 수학자 2018.02.06 18:18:59

      놀랍게도(?) 있네요. \small (11,10,2),(10,-10,-5),(2,-5,14)와 같이, 한 벡터가 다른 벡터의 (성분 재배열 + 부호 바꾸기)를 통해서 나오지 않는 경우들도 존재합니다. 하지만 일반형에 대한 접근 자체는 꽤 좋은 것 같습니다.

      참고로 위 벡터들을 보면, 모두 길이(\small =\sqrt{a^2+b^2+c^2})가 자연수임을 알 수 있습니다.

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    • 구머 2018.02.06 20:36:29

      ㅜ 그렇군요. 그럼 다음과 같은 접근으로 해봅시다. N=123으로 극단적으로 큰 수는 아니기 때문에, 한 벡터가 다른 벡터의 (성분 재배열 + 부호 바꾸기)를 통해서 나오지 않는 경우는 그렇게 많이 나오지 않을 것 같습니다. 따라서 이 경우만 다 구해주면, 다른 벡터들은 위의 일반항으로 유도가 될 것이고, 어쩌면 답까지도 구할 수 있게 되겠지요.

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    • 구머 2018.02.10 12:58:47

      왜 길이가 자연수일까..혹시 이것도 반례가 있나요?

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    • 수학자 2018.02.10 19:56:46

      길이가 언제나 자연수임은 증명할 수 있습니다. 즉 반례가 없습니다.

      길이가 \sqrt{n}인 두 벡터가 수직이라면, 이들과 동시에 수직인 벡터들은 모두 서로 평행합니다. 즉, 방향이 하나로 정해지는 것입니다. 그리고 그 방향을 나타내는 벡터는 두 벡터의 외적입니다. 각 성분이 자연수인 두 벡터를 외적한 결과 역시 각 성분이 자연수이며, 그 크기는 \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot cos (\pi/2) =n입니다. 이 때 길이가 \sqrt{n}인 벡터가 나머지 두 벡터와 수직이려면, 이 벡터와 외적한 벡터의 비율이 유리수여야 합니다. 그러므로 \sqrt{n}이 자연수여야만 합니다.

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    • 구머 2018.02.10 23:22:43

      아..외적을 생각하면 되는 문제군요. 감사합니다.

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  • 구머 2018.02.02 19:50:09

    그런데 3번의 경우 N=123으로 그렇게 큰 숫자는 아닌것 같아서, 답은 구할 수 있을 것 같습니다. 문제는 N으로 일반화를 시키는 것인데..

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    • 수학자 2018.02.20 10:46:44

      아무래도 (1),(2)에 비해 N의 크기가 작아졌다는 데서, 일반항을 찾는 것이 어려울 수도 있습니다. 사각형 채우기 문제처럼, 프로그래밍을 통해서 풀어야 될 수도 있겠다는 생각이 듭니다.

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    • 구머 2018.02.20 11:22:41

      저는 프로그래밍으로 길이가 자연수인 벡터들을 다 구해보았는데, 생각보다 너무 많았습니다;; 내적을 고려하서 프로그래밍을 하기에는 제가 너무 초보라서ㅠ 만들수가 없었습니다

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    • 수학자 2018.02.20 14:51:17

      일단 길이가 123 이하인 자연수가 되는 서로 다른(부호, 순서 바꿔서 같은 것은 같음) 벡터의 개수는 대략 1000개쯤입니다. 꽤 많긴 합니다. 프로그래밍으로 수직인 쌍들을 찾아봤는데, 손으로 풀 수 있는 정도의 양은 아닌 것 같습니다. 위에 올리신 일반형이 도움이 되지 않을까 싶은데, 서로 다른 세 벡터인 경우를 따로 처리하고, 같은 벡터가 있는 경우를 각각 나누어 처리한다면 프로그래밍으로 예외 없이 처리할 수 있을 것 같습니다. 그렇다면 각 경우에 따라, 1\times1\times1부터 N \times N \times N까지의 정육면체에서 이 모양이 몇 개 나오는지를 세는 게 관건이 되겠네요.

      예를 들면, 일반형에서 (a,b,c),(c,a,-b),(b,-c,a)의 경우, 언제나 한 변이 a+b+c인 정육면체에 꽉 채워서 들어가게 되는데, 이 때 한 변이 a+b+c인 정육면체 안에 이런 모양이 들어갈 수 있는 개수를 안다면(아마 6개일 듯 합니다), 1\times1\times1부터 N \times N \times N까지의 정육면체에서 한 변이 a+b+c인 정육면체의 개수는 세제곱의 합으로 간단하게 나오고, 여기에 이 개수를 곱하면 그 일반형이 총 몇 개 포함되어 있는지를 계산할 수 있습니다. 참고로 (2k,2k,k) 3개가 서로 수직인 경우는 따로 처리해야 되는 것 같습니다. 

      넉넉하게 계산해본 결과, 답이 C++의 long long(64비트 정수) 범위(2^{63}-1 \approx 9 \times 10^{18}) 내에 들어온다는 것은 확신할 수 있습니다. 프로그래밍보다 깔끔한, 손으로 쓸 수 있을 정도의 풀이가 나올 수 있다면 좋겠지만, 프로그래밍을 통해 찾아낸 여러 case들은 더 깔끔한 풀이가 나올 수 있는지 의문을 갖게 합니다. 일단 프로그래밍을 시도해볼 것이고, 다만 프로그래밍에서 활용하는 부분에 대한 증명은 따로 할 것입니다.

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  • muse 2018.02.04 10:06:22

    문제의 해답을 f(n)이라 한다면

    f(n+1) = 8f(n)+(n*n*n 정육면체에 딱 맞는 정육면체의 개수)가 되겠죠. f(1)=1이고요.

    저 n*n*n 정육면체에 딱 맞는 정육면체 개수에는 벡터 개념이 들어갈 것 같습니다.

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    • muse 2018.02.04 10:33:54

      그럼 정육면체의 여덟 개 점들을 최소한의 변수로 나타내야 합니다. (한 점은 0, 0, 0으로 두고요,)

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    • 수학자 2018.02.20 15:08:18

      좋은 접근입니다. 다만, 점화식이 정확히 저렇게 나타나지는 않을 듯 합니다. 일단 "n*n*n 정육면체에 딱 맞는 정육면체의 개수"의 정의를 잘 해야 됩니다. 제가 찾았던 여러 케이스들은, 구하려는 정육면체가 꼭 정육면체에 딱 맞지는 않을 수도 있다는 것을 보여주고 있습니다. "n*n*n 정육면체에서부터 나타날 수 있는 정육면체의 개수"로 나타내면 이를 누락 없이 셀 수 있을 것 같습니다.

      또한, 위의 점화식대로 계산을 하면 중복되는 경우가 발생할 것 같습니다. 점화식에서 8의 의미는 알 것 같습니다. 한 변의 길이가 n+1인 정육면체의 각 꼭짓점에 한 변의 길이가 n인 정육면체를 맞추면 총 8개의 위치가 생기죠. 하지만 이 방법으로 세면 누락은 없지만 중복은 생깁니다. 예를 들면, 1*1*1 정육면체는 2*2*2 내에 8개가 존재하지만, 3*3*3 내의 2*2*2가 들어가는 위치 8개에서의 1*1*1들을 모두 세면, 가운데 있는 정육면체는 8번까지도 세질 수 있고, 다른 정육면체도 4번이나 2번 셀 가능성이 생깁니다. 중복되는 경우를 잘 빼는 식을 생각하면 점화식을 이용한 풀이가 가능할 수는 있겠습니다.

      정육면체의 8개 점을 최소한의 변수로 나타내는 방법은, 1개의 위치 벡터 \vec{x}와 3개의 서로 수직이고 길이가 같은 벡터 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}로 나타내는 것입니다. 경우의 수만 세는 경우 위치 벡터는 생각하지 않아도 되겠습니다. 8개의 점들의 위치 벡터는 각각 \vec{x},\vec{x}+\vec{a},\vec{x}+\vec{b},\vec{x}+\vec{c},\vec{x}+\vec{a}+\vec{b},\vec{x}+\vec{b}+\vec{c},\vec{x}+\vec{a}+\vec{c},\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}가 됩니다.

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  • 여백 패르마 2018.02.04 18:09:24

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    • 여백 패르마 2018.02.04 18:13:22

      첫번째는 4번째 사진이여야 하고요,  두번째사진은 3번째여야하고요, 세번째 사진은 1번째, 네번째 사진은 2번째이여야 했습니다. 순서가 ㅠㅠ

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    • 여백 패르마 2018.02.04 18:15:04

      정말 오랜만이고, 고심과 고심후에 나온 3번 풀이입니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.04 18:36:33

      계산기로 계산해보니 오류 라고 뜨네요.

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    • ssamtkwon 2018.02.04 22:32:46

      닮음이 왜 나왔는지 모르겠네요. 어차피 모든 정육면체는 닮음 아닌가요?

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    • 구머 2018.02.05 01:54:47

      제 생각에는 닮음이 '모든 대응하는 변이 평행함'을 의미하는 것 같네요.

      Lemma 3)의 '한 모서리의 길이가 a인 정육면체에서 만들어지는 정육면체'가 뭔지 정확하게 설명해주실수 있으신가요?

      그리고 2번째 부분(4번째 사진) 마지막의 계산식에서 n=1을 대입하면 f(1)이 분수가 되네요. 어디서 오류가 생긴 듯 합니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.07 13:40:27

      앗 오류가 있군뇨. 수정중..

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    • 여백 패르마 2018.02.18 20:05:06

      수정을 끝네었습니다.

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  • 여백 패르마 2018.02.18 20:13:31

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    • 여백 패르마 2018.02.18 20:15:11

      이게 3번 풀이입니다. 정말 힘들었어요.

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    • 구머 2018.02.18 21:00:33

      Lemma2가 뭔 내용인지 잘 이해가 안되네요. 부연설명 가능한가요?

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    • 여백 패르마 2018.02.18 21:36:58

      정육면체가 n *n*n 정육면체의 한 변에 있으면(단, 대각선 방향으로 ) 한 모서리의 길이는 무리수가 되고 그러면 높이도 무리수인데, 무리수의 길이인 격자는 존제하지 않습니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.18 21:38:21

      한 변에 있는 경우이기 때문에 성립합니다. 한번 그려봐보시면 더 이해가 잘 될 것같습니다.

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    • 구머 2018.02.18 21:49:11

      (3,4,0), (-4,3,0), (0, 0,5)벡터로 하면 되지 않나요?

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    • 여백 패르마 2018.02.18 21:59:35

      이엥? 갑자기 마마이이너너스스가가??

      그리고 lemma 2는 틀려도 크게 문제없는 명제입니다(적어도 제 생각으로는...)

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    • ssamtkwon 2018.02.18 22:30:42

      굳이 대각선을 이용하지 않은 것, 이용한 것으로 나누지 말고 1번 문제처럼 합쳐서 풀면 더 쉬워질 것 같습니다. 그런데 사실 저는 Lemma 3 다음의 본정리부터는 못 따라가겠네요.

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    • 수학장 2018.02.19 09:02:04

      거의 대부분이 계산이네요ㄷㄷㄷㄷ

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    • 구머 2018.02.19 10:46:53

      대각선 수랑 f(n)이 왜 같은 거죠?

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    • 구머 2018.02.19 11:34:41

      그리고 n=3넣어도 f(n)이 자연수가 되지 않습니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.19 15:24:57

      f(n)에 피타고라스 수들의 개수를 더해야 하군뇨. 피타고라스 수는 다음의 식을 따른다고 알고있는데요, 

      ((m^2-1)/2)^2+m^2=((m^2+1)/2)^2

       또,f(n)은 대각선 개수가 아닙니다. 그래서 계산할때 n^3위 시그마 값을 넣었습니다. 

       

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    • 수학자 2018.02.20 10:41:23

      제가 위에 올려놓은 댓글을 확인해보면 이 문제를 벡터에 대한 것으로 바꾸어 놓은 것을 확인할 수 있을 겁니다. 이를 이용해서 만드는 정육면체는 다음과 같이 생각하면 됩니다.

      "세 개의 서로 수직이고 길이가 같은 벡터 a,b,c에 대해, 임의의 위치 x를 잡고, x,x+a,x+b,x+c,x+a+b,x+b+c,x+a+c,x+a+b+c의 8개 점을 모으면 이들이 정육면체를 이룬다."

      이렇게 만들어진 정육면체 중에서는, 어느 변도 축에 평행하지 않은 정육면체들이 있습니다. 또한, 단순히 대각선을 세는 것만으로 정육면체를 세는 것이 어려울 수도 있습니다.

      참고로, 피타고라스 수의 일반적인 형태는 x=2mnk, y=(m^2-n^2)k, z=(m^2+n^2)k입니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.20 15:52:56

      그 닮음이라는 것은 축과 평행이 아니라 전전단계와 모든모서리가 평행입니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.20 16:00:27

      그리고 수학자님 제 풀이를 잘못 이해하신것 같은데 저는 대각선의 개수를 센것이 아니라 대각선을 모서리로 하는 정육면체 개수의 식을구한 것 입니다.

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    • 수학자 2018.02.20 20:10:20

      <Lemma 3> 부분에서, "모든 곳이 일정한 양만큼 늘어나야 한다"는 말을 잘 생각해봐야 될 것 같습니다. "닮음", 즉 모든 모서리의 평행이 유지되기 위해서는 새로운 정육면체의 한 변의 길이가 원래 정육면체의 정수"배"가 되어야 합니다. 즉, 모든 길이를 2배로 늘리는 것입니다. 예를 들면, 5*5*5에 내접하는 정육면체와 모든 모서리가 평행한 다음으로 작은 정육면체는 10*10*10에 내접해야 할 것입니다. <Lemma 1>과 <Lemma 2>는 "우리가 본격적으로 다루어야 할 것"이 아닌 것들에 대한 예외 처리이고, 좋은 부분인 것 같습니다.

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  • 여백 패르마 2018.02.20 16:02:48

    그리고 가재님이 매스펀 램지정리에 댓글을 다셨던데.. 

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    • 여백 패르마 2018.02.24 21:40:35

      아 다른 사람이더군뇨...

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  • 쌀밥공기 2018.02.21 00:47:56

    내적을 이용해 프로그램을 설계하는 건 어떨까싶네요.

    한 점을 A(x, y, z)라하고, A와 인접한 점들을 B(a1, b1, c1), C(a2, b2, c2), D(a3, b3, c3)라 하겠습니다.

    그럼 정육면체의 성질에서

    \\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 0\\ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD} = 0\\ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB} = 0\\ \overline{AB} = \overline{AC} = \overline{AD}를 만족하고

    각 점들은 좌표계상 격자점에 위치하니 성분으로 표시된 벡터의 내적을 이용한 프로그램을 설계할 수 있을 것 같습니다.

     

    헛! 지금생각하니 N이 너무 크군요!

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  • 여백 패르마 2018.02.23 10:15:22

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    • 여백 패르마 2018.02.23 10:16:47

      수학자님의 아이디어와 벡터, 피타고라스수를 합친 풀이입니다. 제 전 풀이는 너무 계산만 있고, 벡터가 꼭 있어야 할 것 같습니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.24 21:41:12

      확인 부탁들입니다.

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    • 수학자 2018.02.24 23:37:49

      일단 계산은 http://www.wolframalpha.com/ 에서 해 보면 될 것 같습니다.

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    • 여백 패르마 2018.02.25 20:28:04

      Really.. 계산 실수...

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    • 김우현 기자 2018.02.26 09:42:58

      여백 패르마 님의 풀이를 (아래 나온 결과값까지 고려해) 확인 중에 있습니다!!

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    • 여백 패르마 2018.02.26 14:14:40

      f(n)+4가 아니라 f(n)+24입니다. 그래서 d도 24입니다..

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    • 여백 패르마 2018.03.04 20:42:10

      왜 d=5이지?? d=24인데.

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  • 수학자 2018.02.25 17:36:27

    프로그래밍을 이용하여 문제를 푼 결과입니다.

    source file(cpp)

    output file(txt)

    txt 파일은 visual studio 등으로 여는 것을 추천합니다...

    답은 14311196450으로 나왔습니다.

    일단 벡터들을 모두 추가하였습니다. 예를 들면, (6,3,2)의 경우, 이들의 순서와 부호를 바꾸어 나올 수 있는 48가지 중 24가지를 추가하였습니다. 절반인 이유는, 정확히 반대되는 벡터는 수직 조건이 그대로 유지되며, 같은 종류의 정육면체를 만들기 때문입니다.(ex. (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)로 만드는 정육면체와 (-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1)로 만드는 정육면체는 같은 종류입니다.) 하지만 그것이 아니라면 만드는 정육면체의 종류는 다르게 됩니다. 이렇게 같은 종류의(순서와 부호를 바꾸어 같아지는) 벡터들을 모두 추가한 이유는 예외 처리를 하는 것이 너무 까다로웠기 때문입니다.

    그리고 이들 벡터들의 모든 쌍을 조사해보며, 서로 수직인 3개의 벡터들을 찾았습니다. 이렇게 하면 모든 정육면체를 중복 없이, 누락 없이 셀 수 있습니다. 그리고 이렇게 찾은 벡터들 각각에 대해, 3개의 벡터로 만들어지는 정육면체가 어떤 직육면체에 "꽉 채워서" 들어가는지 조사하고, 그 직육면체가 정육면체들 안에 총 몇 개 있는지 셌습니다.(단, 이 직육면체는 돌리지 않습니다.) 그리고 이 결과들을 출력했습니다. 구하려는 정답, 즉 이들을 모두 더한 값을 가장 마지막에 출력하였습니다.(output file 참조)

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    • 구머 2018.02.25 19:21:44

      이제 저도 학교에서 배우긴 하겠지만, 항상 프로그래밍 잘하는 수학자님이 부럽습니다..존경합니다.

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    • 뉴턴의 사과 2018.02.26 19:41:15

      뭐에요 저번에는 프로그래밍 한지 얼마 안됬다고 하시더니 이제보니 나보다 잘하시는 구먼...

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    • 구머 2018.08.03 21:12:10

      @수학동아

      확인이 필요합니다.

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  • 여백 패르마 2018.02.25 19:40:07

    제가 액셀로 해보면 1408429309 가 나옵니다. 제 풀이에 의하면 말이죠.

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    • 여백 패르마 2018.02.25 19:43:19

      제 풀이에 오류가 있던가 아니면 수학자님이 뭘 잘못하신것 같은데요...

      (당근 재가 잘못했겠죠..)

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    • 여백 패르마 2018.02.25 20:46:44

      아 다시 계산하니 1408431716 이 나오네요.

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  • Mathdragon 2018.02.25 21:40:26

    근데 이 문제는 답이 중요한 게 아니라(그냥 계산만 잘 하면 되니까) 그 답이 어떻게 나오는지 식만 제대로 구해도 될 듯 하네요

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