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문제

[국가수리과학연구소] 국29. 시에르핀스키 삼각형의 길이

2019.05.02

같이 풀어볼까?

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국가수리과학연구소의 29번째 문제입니다.

 

 

 

 

 

프랙탈 도형인 시에르핀스키 삼각형은 한 정삼각형에서 시작해 아래 단계를 거쳐 얻을 수 있다.

① 정삼각형 세 변의 중점을 이어 원래 정삼각형 안에 작은 정삼각형을 만든. 이 작은 정삼각형을 없앤다.
② 남은 정삼각형들에도 ①를 실행한다.
③ ②를 무한히 반복한다.

 

 

[문제]

 

한 변의 길이가 1인 시에르핀스키 삼각형에서 임의의 두 점을 고를 때, 두 점 사이의 거리의 기댓값은 얼마일까?

 

 

 

 

댓글 32

  • Cantor 2019.05.02 15:29:11

    같은 변에 있지 않는 이상 \infinity\infty 입니다.

    내부에 있는 삼각형에 갯수가 늘어나면서 길이도 늘어납니다.

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    • Riemann 2019.05.02 16:55:05

      기댓값이기 때문에 무한은 될 수 없습니다. 무조건 1보다 작고 0보다 큰 값이 나와야 합니다.

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    • tommy 2019.05.04 03:34:57

      어떤 두 점을 골라도 두 점 사이의 거리는 언제나 1 이하여야 하지 않나요?

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    • 222 2019.06.09 23:27:15

      그렇죠 tommy님

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  • tommy 2019.05.04 03:48:24

    제 생각에는 n단계 시에르핀스키 삼각형에 대해 기댓값을 먼저 구하고(예를 들어 일반항으로 a_n이 나왔다고 합시다), 그 뒤 극한을 취해 n을 무한대로 (\lim_{n\rightarrow \infty } a_n) 보내면 될 것 같습니다. 아무래도 그게 엄밀하기도 하고 생각이 편할 것 같아서 말이죠.(+최초의 검은 정삼각형은 0단계로 표기하는 게 좋을 것 같습니다.)

     

    다만 전 아직도 완전한(∞단계) 시에르핀스키 삼각형에서 어떤 점을 고를 수 있는지 헷갈리네요;; 검은 삼각형과 하얀 삼각형의 경계(어떤 삼각형의 변) 위의 점은 골라도 되는 건가요?

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    • 출제자(국) 2019.05.04 14:50:42

      '시에르핀스키 삼각형 위에서 임의의 점을 고른다'는 것이 어떤 의미인지 파악하는 것도 이번 문제의 일부분입니다! 다음 두 가지 생각이 도움이 됐으면 하네요

      1. 문제에서 임의의 점을 고른다고 할 때 의도한 것은 최대한 '균일하게' 임의의 점을 고른다는 것입니다. 예를 들어, 변의 길이가 1인 정사각형 안에 임의의 점을 고르면, 이 점이 정사각형을 정확히 반으로 나눈 각 영역에 들어갈 확률은 1/2가 되는 게 자연스러운데요, 마찬가지로 이 문제에선 시에르핀스키 삼각형의 같은 크기의 부분삼각형에는 같은 확률로 점이 들어가 있기를 기대한다고 보면 되겠습니다.

      2. 앞의 예시를 이어서, 변의 길이가 1인 정사각형 안에 임의의 점을 고르면 이 점이 정사각형의 경계에 들어가는 가능성도 고려하지만 점이 경계에 들어갈 확률은 0입니다. 이는 어떤 점이 한 영역에 들어갈 확률을 그 영역의 넓이에 비례한다고 볼 수 있기 때문인데요, 정사각형 안의 점들의 가능성(정확히는 넓이)이 경계의 점들보다 훨씬 많아서 이렇게 계산이 된다고 보면 될 것 같습니다. 마찬가지의 상황이 시에르핀스키 삼각형에서도 똑같이 적용돼요. 사실 좀 더 깊은 논의가 필요하지만, 경계를 고려하는 여부의 문제는 이번 폴리매스 문제를 푸는 데에는 영향을 주지 않아요. 혹시라도 좀 더 설명이 필요한 것 같으면 댓글 달아주세요!

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  • muse 2019.05.04 10:33:41

    고른 두 점이 같을 수도 있는 건가요?

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    • 출제자(국) 2019.05.04 14:52:18

      두 점을 각각 독립적으로 뽑기 때문에, 두 점이 같을 가능성도 고려합니다! 다만 앞 답변과 같은 이유로 두 점이 같을 확률(기대값에 영향을 주는 정도)은 0이 될 거에요.

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  • 출제자(국) 2019.05.04 14:54:40

    이 문제는 저도 정확한 답을 모릅니다. 정확한 답이 아니라 기대값을 계산하는 방법도 답이 될 수 있으니, 같이 다양한 접근 방식을 고민해봐요~ 추가로 이걸 고민해봐도 좋을 것 같습니다.

    추가문제: 시에르핀스키 삼각형에서 임의의 두 점을 고를 때, 두 점 사이의 거리의 제곱의 기대값은 얼마일까?

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    • tommy 2019.05.04 15:48:23

      흐음... 이번엔 프랙탈이 아닌 일반 삼각형이군요. 그리고 제곱이 붙었네요. 제 생각엔 기댓값을 구하는 건 간단한 사중적분으로 구할 수 있지 않을까 싶은데, 거리의 제곱을 한다면 피적분함수가 조금 더 간단하게 나타날 것 같네요. ㅎㅎ

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    • 출제자(국) 2019.05.04 16:29:46

      tommy 친구 미안해요ㅜ ㅋㅋ 똑같은 시에르핀스키 삼각형입니다! 제곱이 붙으면 친구가 말한대로 계산이 더 간단해집니다!

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    • tommy 2019.05.04 19:00:46

      으아 이번에도 시에르핀스키 삼각형이었군요ㅠ 으음.. 한번 생각해 보겠습니다! ㅎㅎ

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  • tommy 2019.05.05 01:04:17

    흐아아... 적분으로 하려고 했는데 지치네요.

     

    저는 일단 선택할 수 있는 값이 무수히 많을 때의 기댓값을 구해 보았습니다. 만약 0과 1 사이의 어떤 실수 x를 골랐을 때 f(x)원을 얻을 수 있다면, 얻을 수 있는 돈의 기댓값은 \int_{0}^{1} f(x) dx로써 주어집니다. 마찬가지로, x_1과 x_2 사이의 어떤 실수 x를 골랐을 때 f(x)원을 얻는다면 얻을 수 있는 돈의 기댓값은 \frac{1}{x_2-x_1} \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx이 됩니다.

    이에 착안하여, 저는 우선 속이 꽉 찬 정삼각형 속에서 두 점을 골랐을 때의 기댓값을 구해 보았습니다. 이를 위해 두 점의 좌표를 (a, b), (c, d)로 지정합니다.

    이제 적분한계를 구성합니다. 두 점이 삼각형 전체를 다 돌아다니면 되니까, 네 변수가 모두 독립변수가 되어 삼각형을 쭉 훑으면 됩니다. 그를 위해, y좌표인 d가 0부터 \frac{\sqrt{3}}{2}까지 증가할 때 각 d에 대해 x좌표인 c가 \frac{d}{\sqrt{3}}부터 1-\frac{d}{\sqrt{3}}까지 움직이고, b와 a도 마찬가지로 움직이도록 설정합니다. 그러면 다음과 같이 사중적분식을 세울 수 있습니다:

    기댓값=\frac{1}{d_2-d_1} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{c_2-c_1} \int_{\frac{d}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{d}{\sqrt{3}}} \frac{1}{b_2-b_1} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{a_2-a_1} \int_{\frac{d}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{d}{\sqrt{3}}} f(a, b, c, d) da db dc dd

    여기서 a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2, d_1, d_2는 모두 각각의 변수에 대한 적분한계를 그냥 한 번씩 다시 써 주면 되고, f(a, b, c, d)는 점 (a, b)와 점 (c, d) 사이의 거리를 나타내니까 f(a, b, c, d)=\sqrt{{(c-a)}^2+{(d-b)}^2}을 대입할 수 있습니다. 따라서,

    기댓값=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-0} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{(1-\frac{d}{\sqrt{3}})-\frac{d}{\sqrt{3}}} \int_{\frac{d}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{d}{\sqrt{3}}} \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-0} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{(1-\frac{b}{\sqrt{3}})-\frac{b}{\sqrt{3}}} \int_{\frac{b}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{b}{\sqrt{3}}} \sqrt{{(c-a)}^2+{(d-b)}^2} da db dc dd

    을 얻습니다.(만약 거리의 제곱에 대한 기댓값을 구하고자 한다면 위 식에서 단지 피적분함수를 {(c-a)}^2+{(d-b)}^2으로 바꿔 주기만 하면 됩니다.)

     

    현재 이 끔찍한 사중적분을 계산 중인데, 정말 어마어마한 계산이 필요합니다. 말 그대로 노가다입니다. 현재는 두 개의 적분(a에 대한 것과 c에 대한 것)을 계산했고, 두 개의 적분만을 남겨 놓고 있습니다.

    기댓값=

    \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-d} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-b} (\frac{{(A^2+B^2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{10}{9} - \frac{\ln(3)}{2}) A^3 - A^2 \sqrt{A^2+B^2} + A^2B \ln(\frac{B}{A} + \sqrt{{(\frac{B}{A})}^2+1})) db dd

    여기서 A=d-b이고, B=1-\frac{b}{\sqrt{3}}-\frac{d}{\sqrt{3}}입니다.

     

    이제 저는 저 나머지 두 적분도 열심히 계산해 보겠습니다. 혹시 계산하고 싶으신 분이 계시다면 동참해 주시면 감사하겠습니다. 그나저나 제가 그 이전에 계산 실수를 하지나 않았나 모르겠네요 -_- 수치 계산으로 값 좀 확인해 주실 분도 구합니다...

     

     

    *제가 아무 생각 없이 d라는 변수를 사용해 버려서, 무한소 중에 dd라는 괴상한 무한소가 있는데, 양해 부탁드립니다.

    *제 기댓값 공식 \frac{1}{x_2-x_1} \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx은 아마 맞는 것 같은데, 저는 정말로 정삼각형 전체를 쭉 훑으면서 모든 점에 대해서 거리를 구해서 그 적분으로 기댓값을 구하는 계산식이 맞는지 확신이 서지 않습니다. 즉 제 사중적분식이 옳은 식인지가 불확실하다는 겁니다. 애초에 제 마음대로 a, b, c, d라는 변수를 잡고, 제 마음대로 직교좌표계 위에서 무작위적 순서로 적분 넷을 실행해서 \frac{1}{d_2-d_1} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{c_2-c_1} \int_{\frac{d}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{d}{\sqrt{3}}} \frac{1}{b_2-b_1} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{a_2-a_1} \int_{\frac{d}{\sqrt{3}}}^{1-\frac{d}{\sqrt{3}}} f(a, b, c, d) da db dc dd을 얻었는데, 이 형태의 식이 과연 맞는 식인지 헷갈리네요. 적분과 확률 계산에 전문가이신 분들께서 기댓값의 적분형 공식을 엄밀하게 정립하면서 제 공식을 점검해 주시면 감사하겠습니다.

    *이건 아직 '0단계 시에르핀스키 삼각형'의 경우입니다. 문제에 나온 건 ∞번째 단계이죠. 한참 남았네요 OTL

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    • 누군가 2019.05.05 09:54:45

      그냥 정사각형일때 구하는 방법입니다. 변수를 줄인다음 극좌표를 쓰네요.적분할 때 참고해보세요.

      https://ok97465.github.io/2018/09/180911_DistanceBetweenTwoPointsOfQuadrate

      https://m.youtube.com/watch?v=i4VqXRRXi68

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  • 누군가 2019.05.06 12:23:05

    무작위로 점을 찍어서 대략적으로 구해봤습니다. 거리의 경우 0.422~0.424 거리의 제곱의 경우 0.22 정도 나옵니다.

    여기서 직접 해볼 수 있습니다.

    https://scratch.mit.edu/projects/306920502/

    구한방법은 시에르핀스키 삼각형은 프랙탈도형이니 결국 임의의 점이 어떤 삼각형의 꼭짓점이라 볼 수 있습니다. 각 단계에서 왼쪽,오른쪽,위의 삼각형 중 하나를 선택하는 방식을 반복하여 선택된 삼각형의 세꼭짓점 중 하나를 랜덤으로 잡아서 계산했습니다. (삼진법으로 표기된 1이하의 무한소수는 시에르핀스키 삼각형의 한점에 대응시킬 수 있습니다.)

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  • 이재윤_코딩수학 2019.05.08 13:37:52

    위의 '누군가'님이 쓰신 방법은 '몬테카를로 시뮬레이션'이네요.

    폴리매스 코딩수학에 제가 기고한 글도 마침 이와 관련된 내용입니다^^

    R을 통해 몬테카를로 시뮬레이션을 직접 실습해 볼 수 있도록 코딩창도 제공하고 있습니다

    http://www.polymath.co.kr/mini/1142

    위의 시에르핀스키 삼각형의 두 점사이의 거리 문제에 대한, 제가 생각한 슈도 코드(pseudo code)는 다음과 같습니다.

    1. 각 단계에서의, 시에르핀스키 삼각형의 점들로 표본공간을 구성한다.

    2. 표본공간에서 무작위로 두 점을 뽑아, 거리를 계산한다.

       (몬테카를로 시뮬레이션으로 5000번 이상 시행하면 안정적인 수치를 얻을 수 있다)

    3. 시에르핀스키 삼각형의 단계를 계속 늘려가면서 1과 2의 과정을 반복한다.

    4. 각 단계별로 몬테카를로 시뮬레이션으로 구한 안정적인 수치를 그래프에 나타내어, 그 결과가 수렴하는 결과값을 확인한다.

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  • 파스칼 2019.05.08 22:11:13

    한 변의 길이가 1인 x단계 시에르핀스키 삼각형의 임의의 두 점 사이의 거리의 기댓값을 f(x), 한 변의 길이가 1인 x단계 시에르핀스키 삼각형을 이루는 각 삼각형들의 중심들 중 임의의 두 점 사이의 거리의 기댓값을 g(x)라고 놓습니다. 예를 들어, g(0) = 0, g(1) = \frac{1}{3}입니다. 이때 \infty단계 시에르핀스키 삼각형을 이루는 각 삼각형들의 넓이는 모두 극소가 되므로, f(x)g(x)에 수렴하게 됩니다. 따라서 '한 변의 길이가 1인 \infty단계 시에르핀스키 삼각형의 임의의 두 점 사이의 거리의 기댓값'을 '한 변의 길이가 1인 \infty단계 시에르핀스키 삼각형을 이루는 각 삼각형들의 중심들 중 임의의 두 점 사이의 거리의 기댓값' 으로 계산할 수 있습니다. 이렇게 바꿔 계산하면 좀 더 편하지 않을까요?

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    • tommy 2019.05.15 03:23:55

      좋은 방법 같지만 꽤나 엄밀한 논증이 필요할 것 같아 보이는군요!

      무한소는 때로 생각과 다르게 작동하기도 하니까 말이죠ㅎㅎ

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  • 장지현 2019.05.11 13:32:24

    1÷(2^e) =0.1839397206

     

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    • 출제자(국) 2019.05.11 22:00:53

      이 값의 의미가 무엇인가요? surprise

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  • Riemann 2019.05.15 12:15:29

    길이 1 시어핀스키 삼각형은 길이 1/2 시어핀스키 삼각형 3개가 붙어있습니다. 길이 1인 시어핀스키 삼각형에서 기댓값을 s라고 놓았을 때 이 s를 길이 1/2인 시어핀스키 삼각형에서의 기댓값인 s/2 에 대해 표현해주어서 그 방정식을 푸는 것이 개인적으로 가장 간단할 거라고 생각되는데.. 근데 방법을 못찾겠네요.

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    • 리프 2019.05.15 22:28:04

      저도 그 방법을 생각해보았는데 서로 다른 삼각형에서 점을 고를 때의 기댓값을 구하기 힘들고 단계가 진행될수록 식이 더 복잡해질 것 같네요

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    • tommy 2019.05.15 22:48:52

      단계 n에 대해 기댓값을 s_n이라는 수열로 만들어서 점화식을 세우면 어떨까요?(달라진 건 없지만요)

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  • 수학자 2019.05.17 01:41:26

    "각 단계에서 왼쪽,오른쪽,위의 삼각형 중 하나를 선택하는 방식을 반복"한다는 게 괜찮은 아이디어네요.

    추가문제를 풀었습니다. 거리의 제곱의 기댓값은 정확히 2/9입니다. 실험 결과에서 0.22 정도가 나오는 걸 설명할 수 있겠습니다.

     

    [증명]

    처음 정삼각형의 중심을 (0,0)으로 놓고, 한쪽 꼭짓점의 방향을 y축으로 놓으면, 1단계에서 나오는 작은 정삼각형들의 중심들의 좌표는 다음과 같습니다.

    \frac{\sqrt{3}}{6} (0,1) , \frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{6} (-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}) 이제v_1 = (0,1) , v_2 = (\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}), v_3 = (-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})라고 정의하면, 시에르핀스키 삼각형의 임의의 점은 다음과 같이 나타내어집니다.

    \frac{\sqrt{3}}{6} v_{i_0} + \frac{\sqrt{3}}{12} v_{i_1} + \frac{\sqrt{3}}{24} v_{i_2} + \cdots = \frac{\sqrt{3}}{6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}v_{i_n}

    이제 벡터 \vec{a} , \vec{b}에 대해 \left| \vec{b} - \vec{a} \right| ^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{b} \cdot \vec{a}의 기댓값을 구하면 됩니다. 한편 v_1 + v_2 + v_3 = \vec{0}이고, v_i \cdot v_i = 1, v_i \cdot v_j = 0 (i \neq j)입니다.

    점의 표현에서 i_k들은 서로 독립이고, 또 서로 다른 두 벡터의 각 성분들은 모두 독립이기 때문에, \vec{a} \cdot \vec{b}의 기댓값을 구하면 0입니다. \vec{b} \cdot \vec{b}에서는, v_{i_a} \cdot v_{i_b} 형태의 식들은 모두 기댓값이 0이며, 제곱 항들만 남게 되어 구하려는 값은 \sum _{n=0} ^{\infty} \left( \frac{\sqrt{3}}{6\times 2^n} \right )^2 = \frac{1}{9}입니다. \vec{a} \cdot \vec{a}의 기댓값도 마찬가지로 1/9이므로, 최종 기댓값은 2/9입니다.

     

    시에르핀스키 삼각형의 임의의 점을 시그마 형태로 나타낼 수 있다는 결과가 중요한 아이디어인 것 같습니다.

    *주의: 제곱의 기댓값을 구했지만, 거리의 기댓값은 완전히 다른 문제입니다. 답이 sqrt(2/9) 같은 게 바로 되거나 하지는 않습니다.

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    • 김우현 기자 2019.05.20 11:38:26

      수학자 친구 정다아아아아압!surprise

      토론 중 나온 추가 문제지만, 부분해결 딱지를 붙입니다! (백진언 연구원의 깊은 뜻)

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    • 모두다같이 2019.05.20 20:15:56

      i,j가 서로 다를 때 Vi 내적 Vj 은 -1/2 아닌가요?

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    • 출제자(국) 2019.05.21 13:25:10

      모두다같이님! 말씀하신 부분이 맞습니다. 나머지 기대값 계산하는 부분도 맞아서 풀이의 전체적인 흐름에는 문제가 없습니다. 찾아줘서 감사해요!

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  • 인간의 이중성 2019.05.25 19:10:31

    다음 그림을 보시면, 두 점을 고르면 A, B, C 세 영역 안에 두 점이 있다는 것을 알 수 있습니다.

    이 때, 경우를 두 가지로 나눕니다.

    1. 두 점이 다른 영역에 있을 때

    들어갈 수 있는 영역은 AA, AB, AC, BB, BC, CC로 6가지고, 다른 영역에 있을 때는 3가지 입니다.

    따라서 확률은 0.5입니다.

    이 경우의 기댓값을 구하면,

     

    그림의 a, b영역 중 1개, c, d영역 중 1개에 점이 있고, a와 c에서 임의의 점을 하나씩 고른다고 합시다.

    고른 점을 P, Q라고 하면, P를 X에 대해, Q를 Y에 대해 대칭한 점을 각각 R, S라고 합시다.

    P와 X 사이의 거리를 e, Q와 Y 사이의 거리를 f라고 한다면,

    PQ, PS, RQ, RS 사이 거리의 총합은 (0.5+e-f)+(0.5+e+f)+(0.5-e-f)+(0.5-e+f)=2이고, 따라서 평균(=기댓값)은 0.5입니다.

    임의의 P, Q에 대해 값을 정했지만, 대칭함으로써 영역 b, d에 있는 모든 점도 고려가 되고, 이 때의 기댓값은 0.5입니다.

    따라서 기댓값은 (\frac{1}{2})^{2}입니다.

    2. 두 점이 같은 영역에 있을 때

    확률은 위에서 구했듯이 0.5입니다.

    이 영역도 시에르핀스키 삼각형이므로 똑같습니다. 단지 거리가 0.5배 된 것 뿐이죠.

    따라서 이 경우에서도 2가지로 나뉩니다.

    같은 방법으로 0.5배 되었으므로 첫 번째 경우는 (\frac{1}{2})^{3}\times \frac{1}{2}= (\frac{1}{2})^{4}이고, 두번재 경우는 또 2가지로 나뉩니다.

    그 경우 중 하나는 (\frac{1}{2})^{6}이고, 하나는 또 2가지로 나뉩니다.

    따라서 기댓값은 (\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{4}+(\frac{1}{2})^{6}+(\frac{1}{2})^{8}+ ......이 되고, 값은 \frac{1}{3}이 됩니다.

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    • 인간의 이중성 2019.05.25 19:13:19

      \left ( \frac{1}{2}\right )^{3}\times \left ( \frac{1}{2}\right )가 이해가 안 되시는 분들!

      거리가 0.5배 되어 기존에서 3제곱으로 바뀐 것이고, 뒤 0.5는 그 경우에서의 확률입니다!

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    • 리프 2019.05.25 20:33:10

      잘못된 부분이 몇군데 있네요.

      일단 다른 영역에 있는 점을 뽑을 확률은 2/3입니다. (3x2/3^2)

      또, 다른 영역에 있을 때 기댓값을 계산할때 x까지의 거리랑  y까지의 거리만 고려하셨는데 그렇게 하면 높이를 고려하지 않게되서 잘못된 값이 나오게 됩니다.

      그리고 위에 누군가님이 코딩으로 구한 0.422~0.424라는 수치와 너무 차이가 많이 납니다.

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    • 출제자(국) 2019.05.28 11:52:18

      리프님이 말씀해주신 부분들을 신중히 고려해야 할 것 같아요. 하지만 이 아이디어를 이용하면 거리의 제곱 문제를 다른 방식으로 해결할 수 있을 거에요. 좋은 접근 방향이라고 생각합니다!

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  • cube120 2019.06.27 22:15:51

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