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[KPP의 퍼즐라이프] 퍼즐의 MSG, 경우의 수
수학동아 2020.02.26

 

KPP와 함께하는

퍼즐라이프

 퍼즐러가 사는 법 

 

 

 

퍼즐을 좋아하는 사람들이 모인 단체

KPP_Korean Puzzle Party 멤버들이 

매달 재밌고 유익한 퍼즐 이야기를 들려드립니다. 

KPP와 함께 신기한 퍼즐을 살펴보고

그 속에 숨은 수학도 즐겨보세요!

 

 

 

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안녕하세요,

‘퍼즐라이프’의 세 번째 주자인 KPP의 ‘퍼즐러갱’입니다.

저는 ‘퍼즐박물관(Puzzler Gang’s Puzzle Museum)’ 블로그와 ‘퍼즐러갱TV’라는 유튜브 채널을 운영하고 있으며, ‘친구에게 자랑하고 싶은 신기한 종이퍼즐’이라는 책을 짓기도 했습니다.

오늘은 종이 퍼즐인 '12개의 별 찾기'와 '토끼의 질문'을 통해  경우의 수로 퍼즐을 분석하는 방법을 소개할게요! 

 

 

 

 

 

1

퍼즐의 단짝 경우의 수

#12개의별찾기 #실루엣퍼즐 #토끼의질문

 

12개의 별 찾기는 20세기 초 런던에서 열린 로버츠경 추모 워크숍*에서 임무 수행 중 몸을 다친 군인이 개발해 선보인 퍼즐을 제가 쉽게 변형해 만든 종이 퍼즐입니다. 이 퍼즐은 한 정사각형의 상하좌우에 4개의 정사각형이 날개처럼 붙어있어, 꼭 면이 1개 부족한 정육면체의 전개도와 비슷하게 생겼는데요, 4개의 날개에는 서로 다른 위치에 검정색 별이 그려져 있고, 창문처럼 생긴 작은 사각형 구멍이 나있습니다.

 

 

*로버츠경 추모 워크숍은 퇴역 군인이 만든 수공예품이나 장난감을 전시하고 판매하는 행사로, 판매 기금은 퇴역 군인을 위해 쓰였다. 퇴역 군인 후원에 앞장섰던 영국군 최고 장교를 지낸 프레더릭 로버츠 경을 기려 이름 지었다.

 

 

 

12개의 별 찾기.

 

 

 

12개의 별 찾기의 목표는 4개의 날개를 가운데 정사각형과 포개지도록 안쪽으로 접어 마지막에 별 12개가 보이게 하는 것입니다. 날개를 포갰을 때 아래 날개의 별의 위치가 윗 날개의 구멍 위치와 같아야만 별이 보이겠죠? 각 날개의 별과 구멍의 위치가 모두 다르기 때문에 날개를 접는 순서에 따라 마지막에 보이는 별의 수가 다릅니다. 즉, 경우의 수가 퍼즐의 MSG인 셈이죠.   

종이를 배열하는 방법에 따라 다양한 경우를 만들 수 있는 퍼즐은 이것 말고도 여러 가지가 있습니다. 서로 다른 모양이 새겨진 판을 겹쳐 마지막에 원하는 모양이 보이도록 하는 ‘실루엣 퍼즐’이 대표적이죠. 판을 1개만 살짝 회전하거나 뒤집어도 마지막에 보이는 모양이 바뀌니까요.

 

 

 

실루엣 퍼즐 중 하나인 ‘토끼의 질문’. 5개의 정팔각형 조각을 마지막에 토끼 모양이 보이도록 포개야 한다. 각 조각을 뒤집거나 돌려도 모양이 바뀌므로 포개는 경우의 수가 무척 많다.

 

 

 

 

 

2

MSG 넣는 2가지 방법

#12개의별찾기 #실루엣퍼즐 #토끼의질문

 

곱셈만 알면 12개의 별 찾기와 토끼의 질문 모두 경우의 수를 구할 수 있지만, 계산 방법이 서로 다릅니다.

토끼의 질문에서 각 정팔각형 조각을 원래 모양과 겹치게 회전하는 방법은 8가지고, 각 경우에 한 축을 기준으로 뒤집을 수도 있으므로 1개의 조각의 상태를 바꾸는 방법은 16(=8×2)가지입니다. 이때 다른 조각에 상관없이 모든 조각을 16가지 방법으로 바꿀 수 있으니 ‘독립시행’이고, 5개 조각을 포개는 방법은 총 1048576(=165)가지 입니다. 독립시행은 앞서 한 조작이 다음 조작에 영향을 주지 않는 걸 말합니다.  

반면 12개의 별 찾기는 맨 처음에는 날개 4개 중에서 1개를 고를 수 있고, 두 번째에는 앞서 접은 1개를 뺀 3개 중에 하나를 고를 수 있습니다. 비슷하게 세 번째는 2개 중 1개를, 마지막엔 1개만 남아있죠. 결국 날개를 접는 순서의 수는 24(=4×3×2×1)가지입니다. 고를 수 있는 날개의 수가 1개씩 줄어들죠? 이렇게 앞서 한 조작이 뒤에 하는 조작에 영향을 주는 경우를 종속시행이라고 합니다.

결국 12개의 별 찾기는 24가지 순서를 모두 시도하면 그중 하나에서 반드시 12개의 별이 보이게 됩니다. 그런데 이렇게 풀면 재미가 없겠죠? 진정한 재미를 느끼려면 각 날개에 있는 별과 구멍의 위치를 잘 관찰해서 어떤 순서로 접어야 할지 추론해 보세요. 이렇게 시도해야 할 경우의 수를 줄이는 것이 이 퍼즐의 진짜 재미입니다!

 

 

 

 

 

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함 께 풀 어 보 세 요

 

경우의 수로 분석한 2개의 종이 퍼즐!

내용을 이해했으면 아래 문제에 도전해보세요.

 

문제를 풀 아이디어 및 정답을 댓글로 달면

KPP 멤버가 직접 답변해 줍니다!

 

 

 

 

1.

‘12개의 별 찾기’는

원래 4개의 날개가 모두 분리돼 있는 구멍 뚫린 원반 퍼즐입니다.

각 날개를 회전할 수 있기 때문에 배열하는 방법의 수가 더 많죠.

‘구멍 뚫린 원반 퍼즐’에서 날개를 모두 포개는 경우의 수는 몇 가지일까요?

 

2.

‘토끼의 질문’에서

조각을 겹치는 실제 경우의 수는 1048576보다 작습니다.

이유가 무엇일까요? 

 

 

 

 

 

-끝-

 

  •  
    code Lv.4 2020.03.02 비밀댓글
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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2020.03.17 비밀댓글
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  •  
    KPP Lv.1 2020.03.31

    code님 안녕하세요?
    댓글에 감사드리고 답변이 늦어 죄송합니다.

    1. 이유를 간단하게 설명해 주시면 제가 코멘트를 달기가 더 쉬울 것 같네요.

    2. 멋진 추론입니다. 다만 한가지가 더 남아 있습니다. 그 부분의 논리는 무엇일까요? 

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    •  
      code Lv.4 2020.03.31

      1. 저는 한조각마다 4번 돌릴 수 있기 때문에, 4×4×4×4에 4개를 배열하는 방법의 수를 곱하여 풀었습니다. 풀이에는 오류가 있을 수 없기 때문에, 틀렸다면 아마 제가 이해를 잘못했을 것 같네요..

      2. 2조각을 뒤집는 거나, 다른 3조각을 뒤집는 거나 똑같네요! 다시말해, 특정한 조각 몇 개를 뒤집는 것이 그 조각들을 제외한 다른 조각들을 뒤집는 것과 똑같습니다.

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    •  
      KPP Lv.1 2020.04.01

      1. 문제는 정확히 이해한 상태인 것으로 생각합니다.

      그리고 제시한 답도 맞습니다.


      2. 1번 문제를 맞혔다고 하면 본 2번 문제는 틀렸습니다.

      만일 본 2번 문제를 맞혔다고 하면 1번 문제의 답은 틀린 것이 됩니다.

      왜 그럴까요? 

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    •  
      code Lv.4 2020.04.01

      제 댓글에 대한 비밀대댓글은 보이지만, 그게 아닐경우 전 권한이 없어서 보이지 않아요.....

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    •  
      code Lv.4 2020.04.01

      퍼즐러답게 말도 퍼즐처럼 하시네요!

      혹시 1번에서는 뒤집는 것을 생각하지 않았는데, 2번에서는 그 점을 고려했기 때문인건가요?

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    •  
      KPP Lv.1 2020.04.02

      예 맞습니다~~

      그런데 2번 문제의 답으로 수학적인 계산 말고 여전히 다른 이유가 하나 더 있습니다. 

      수학적 논리로 유추하는 것보다는 각 조각의 모양을 유심히 살펴본 뒤에 오는 관찰력과 직관력에 의해 그 이유를 유추할 수 있습니다. 

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  •  
    MathlabJ Lv.6 2020.04.02 비밀댓글
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    •  
      KPP Lv.1 2020.04.02

      전반적으로 앞의 code님이 말씀하신 내용과 거의 유사하군요. 

      앞의 대댓글들을 참고하십시오~~

      고맙습니다.

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