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[폴리매스 어셈블] [김다인 멘토] 1학년의 꿈
수학동아 2022.09.22 15:32 조회 94

‘폴리매스 회원이여 모여라!’ 수학 멘토 군단 ‘폴리매스 어셈블’!

 

국제수학올림피아드(IMO) 출신 대학생 멘토 6명이

 

사고력을 요하는 ‘창의 수학’ 문제를 내고

 

수학 공부법과 진로 등에 대한 상담도 해 주고 있죠~!

 

2022년, 여덟 번째 폴리매스 어셈블 문제를 내 준 멘토는 김다인 멘토예요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

안녕하세요! 폴리매스 어셈블 김다인입니다. 오랜만에 인사하네요! 잘 지냈나요?

 

저는 6월부터 8월 첫째 주까지 시카고대학교에서 ‘평균곡률 흐름(mean curvature flow)’을 공부하다가 우리나라로 돌아왔습니다.

 

오랜만에 만난 가족, 친구와 함께 행복한 시간을 보냈어요. 여러분도 즐거운 여름을 보냈길 바립니다.

 

지금은 다시 미국으로 출국 할 준비를 하고 있어요.

 

미국에서도 여러분의 답변을 꼼꼼하게 확인하고 참신한 아이디어를 기다리고 있을게요.

 

이번에 제가 낸 문제는 ‘Freshman’s Dream(1학년의 꿈)’에 관한 문제예요.

 

1학년의 꿈은 곱셈공식을 쓸 때 학생들이 흔히 저지르는 잘못된 식인  (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} 을 말해요.

 

한편으로는 이 잘못된 식이 성립되는 대수적인 공간에서의 정리를 일컫기도 하지요.

 

이번 문제를 통해 1학년의 꿈을 함께 이뤄 봐요.

 

제가 예시로 제시한 (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} 외에 다른 1학년의 꿈도 찾아 [어셈 블에게 물어봐]에 올려 보세요!

 

함께 1학년의 꿈인지 아닌지 이야기 나눠봐요.

 

 

 

 

 

 

김다인 멘토의 폴리매스 어셈블 문제

 

 

 

문제1 

(x+y)^{n}의 올바른 전개식을 찾으세요.

 

 

 

 

문제2

p가 소수이고 x와 y가 정수일 때 (x+y)^{p}와 x^{p}+y^{p}를 p로 나눈 나머지가 같음을 보이세요.

 

 

 

 

문제3

p가 소수가 아닐 때 문제2에 대한 반례를 찾으세요.

 

 

 

 

문제4

1학년의 꿈 (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}에서 (x+y)^{p}를 (x+y+z)^{p}로 바꿨을 때도 비슷한 명제가 성립할까요? 일반적으로 (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k})^{p}에 대해서는 어떨까요?

 

 

 

끝.

  •  
    pure math Lv.7 2022.10.02 14:01
    확인요청중

    (1) (x+y)n = \sum_{r=0}^{n}nCra^rb^{n-r}

    (2) 페르마의 소정리에 의해 ap-1\equiv1(mod p), ap\equiva(mod p) 즉, (x+y)p\equivx+y (mod p), xp+yp \equiv x+y (mod p) 이니 성립한다.

    (3) p=6, x=y=1일때 26\equiv4(mod 6), 16+16\equiv2(mod 6)이므로 반례가 된다.

    (4) 성립한다. 위의 (2)에서 ap\equiva(mod p)이므로 성립한다.

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  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

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