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[폴리매스 어셈블] [조영준 멘토] 절대부등식 문제
수학동아 2022.08.24 14:44 조회 244

 

‘폴리매스 회원이여 모여라!’ 수학 멘토 군단 ‘폴리매스 어셈블’!

 

국제수학올림피아드(IMO) 출신 대학생 멘토 6명이

 

사고력을 요하는 ‘창의 수학’ 문제를 내고

 

수학 공부법과 진로 등에 대한 상담도 해 주고 있죠~!

 

2022년, 일곱 번째 폴리매스 어셈블 문제를 내 준 멘토는 조영준 멘토예요.

 

 

 

 

 

 

 

안녕하세요! 폴리매스 어셈블 조영준입니다.

 

여러분은 방학을 어떻게 보내셨나요?

 

저는 7월 6일부터 16일까지 노르웨이 오슬로에서 열린 국제수학올림피아드(IMO)에 조교로 참여했어요.

 

우리나라는 종합 2등이라는 좋은 결과를 얻었지요. 모두 축하해주세요!

 

8월 1일부터 9일까지 강원대학교에서 열린 한국수학올림피아드 여름학교에도 조교로 참여했는데,

 

이곳에서 폴리매스 활동을 하는 친구를 많이 만나서 재밌었어요.

 

9월호에서 다뤄볼 내용은 ‘절대부등식’이에요.

 

(x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1과 같이 항 상 성립하는 등식을 ‘항등식’이라고 하는 것처럼,

 

절대부등식은 항상 성립하는 부등식이지요.

 

대표적인 절대부등식으로 ‘산술기하부등식’이 있는데요.

 

산술기하부등식은 수학에서 정말 많이 사용하는 부등식으로,

 

주로 정리를 증명하는 과정에서 보조정리로 사용해요.

 

산술기하부등식을 3단계에 걸쳐 증명해 보세요!

 

 

 

 

 

조영준 멘토의 폴리매스 어셈블 문제

 

 

 

문제1 

임의의 양수x_{1}, x_{2}에 대해 x_{1} + x_{2} \geq 2\sqrt{x_{1}x_{2}}임을 보이세요.

 

 

 

문제2

임의의 양수x_{1} , x_{2},\cdots , x_{2^{n}}에 대해 x_{1} + x_{2}+\cdots+ x_{2^{n}}\geq 2^{n}\sqrt[2^{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{n}} 임을 보이세요. n은 고정된 양의 정수입니다.

 

 

 

문제3

임의의 양수x_{1} , x_{2},\cdots , x_{m}에 대해  x_{1} + x_{2}+\cdots+ x_{m}\geq m\sqrt[m]{x_{1}x_{2}\cdots x_{m}}임을 보이세요. m은 고정된 양의 정수입니다.

 

 

 

 

 

끝.

  •  
    해결
    Funmaster Lv.7 2022.08.25 00:07

    문제 1은 너무 간단하게도,양변을 제곱하면 됩니다. 일단 양수인 조건 하에선 제곱하면 (x1)2+2x1x2+(x2)2\geq4x1x2가 됩니다.

    모든 걸 좌변으로 이항하면 (x1)2-2x1x2+(x2)2\geq0이 되고,이건 인수분해하면 (x1-x2)2\geq0이므로 사실상 무조건 성립하게 됩니다.

     

    (여기에 세 문제를 통틀어 확인요청합니다.)

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.08.31 02:11

      세 문제 모두 잘 풀었습니다!

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  •  
    Funmaster Lv.7 2022.08.25 00:26

    2번 문제는 가설을 세우는데,한 단계 더 가는 것입니다(사실상 수학적 귀납법 느낌).

    그러니,n 대신 n+1까지 나아가 보면,사실 위의 식에서 우변을 토대로 새운 가설은 이겁니다.

     

    2n(2n)\sqrt{}(x1x2x3...x2​​​​​​n)을 한번 더 더하여 \geq2n+1(2n+1)\sqrt{}(x1x2x3...x2​​​​​​n+1)임을 증명하는 것인데,사실 근호 부분은 2n제곱근 기준으로 성립,이제 n=1일때는 넣어보면 바로 성립함이 드러난다.

    (배운지 얼마 안 된 따끈한 개념입니다.)

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  •  
    Funmaster Lv.7 2022.08.25 00:53

    3번 문제입니다. 이제 양의 정수 m을 둔 식입니다. 2번 식과 연합해, 2n\geqm인 m에 대해,

    x1~xm까지의 평균(즉,m으로 저 수들의 합 나누기)을 R이라 두자.

    성립한 위쪽 식에 대입---x1+x2+....+xm+(2n-m)R\geq2n(2n)\sqrt[]{}x1x2...xm(R)2^n-m

    좌변=2nR로 바꾸고,양변을 2n으로 나누고,2n제곱을 하면,R2^n\geqx1x2...xm(R)(2^n)-m, 양변을 우변의 R(2^n)-m으로 나누면 Rm\geqx1x2...xm,x1+x2+x3+...+xm\geqm(m)\sqrt{}x1x2...xm로,무조건 성립한다(등호는 x1=x2=...=xm일때 성립)

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  •  
    ksc Lv.6 2022.09.03 18:26 비밀댓글
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  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

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