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[문장제 문제&개념응용] 비분/역비분 연산
이즈 2022.07.30 23:24 조회 135

함수 f(x)에 대해 y=f(x)의 비(比)도함수를 다음과 같이 정의하고, f(x)를 비분(比分)한다고 한다.

f^   imes (x):= \lim_{h\rightarrow 1}log_h \frac{f(hx)}{f(x)}

1.미분가능한 함수 f(x)에 대해  f^   imes (x)을 f(x)와 f'(x) 등을 사용하여 나타내시오.

 

2. 다음 함수의 비도함수를 구하시오.

2-1. 다항함수 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 

2-2. 지수함수와 로그함수 f_1(x)=a^x, f_2(x)=klnx

2-3. 삼각함수 y=sinx, y=cosx, y=tanx

 

3. 비분가능한 함수 f(x)에 대해 다음 성질이 성립함을 증명하시오.

3-1. (f(x)g(x))^   imes=f^   imes(x) +g^   imes(x)

3-2. (\frac{f(x)}{g(x)})^   imes=f^   imes(x) -g^   imes(x)

3-3. (f(x)^n)^   imes=nf^   imes(x)  (n은 상수)

3-4. \left \{ f(g(x)) \right \}^   imes=f^   imes(g(x))\cdot g^   imes(x)

 

어떤 함수 F(x)가 다음을 만족시킬때, F(x)는 함수 f(x)의 한 역비도함수라 하고, f(x)를 부정역비분한다고 하자.

F^^   imes(x)=f(x)

이때 F(x)를 다음과 같이 표기하기도 한다.

\LARGE \wppx^{f(x)}

 

4. 함수 f(x)에 대해 \LARGE \wppx^{f(x)}를 적분을 이용하여 나타내시오.

 

5. 다항함수 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 의 역비도함수를 구하시오.

(단, 곱해지는 상수는 C로 표기한다; 예를 들어 \LARGE \wppx^{x}=C\cdot e^x)

 

6. 함수 f(x)의 한 역비도함수를 F(x)라 할 때, 다음 성질이 성립함을 증명하시오.

6-1.  \LARGE \wppx^{f(x)+g(x)}\LARGE \wppx^{f(x)}\cdot  \LARGE \wppx^{g(x)}

6-2.  \LARGE \wppx^{f(x)-g(x)}\LARGE \wppx^{f(x)}/  \LARGE \wppx^{g(x)}

6-3. (\LARGE \wppx^{f(x)})^n=\LARGE \wppx^{nf(x)} (n은 상수)

6-4. 

\LARGE \wp_{a}^{b}px^{f(x)}

:= \lim_{n\rightarrow \infty }\prod_{k=1}^{n}(\frac{b}{a})^\frac{f(a\cdot (\frac{b}{a})^{k/n})}{n}  라 할 때,   \LARGE \wp_{a}^{b}px^{f(x)}    =F(b)/F(a)

 

6-5. \LARGE \wp_{a}^{c}px^{f(x)}=\LARGE \wp_{a}^{b}px^{f(x)}\cdot \LARGE \wp_{b}^{c}px^{f(x)}

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    Funmaster Lv.7 2022.07.31 01:02

    이건 최소 미적분을 전공해야 하겠는데요?(너무 어렵군요...저에게는)

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    부분해결
    Amath Lv.8 2022.08.01 14:06 비밀댓글
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    부분해결
    Amath Lv.8 2022.08.01 14:23 비밀댓글
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    부분해결
    Amath Lv.8 2022.08.01 14:50 비밀댓글
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    부분해결
    Amath Lv.8 2022.08.01 14:59 비밀댓글
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      이즈 Lv.3 2022.08.02 23:18 비밀댓글
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    •  
      Amath Lv.8 2022.08.03 10:05

      @이즈

       

      k가 음수이면, ln k는 불가능합니다. 가장 처음엔 k는 e^{C}으로, 항상 양수였지만, 저는 |F(x)|에서 절댓값을 없애서, k가 음수일 수도 있게 만들었어요. 따라서 우변이 음수가 될 수도 있다는 것을 표현하기 위해서는 k(모든 실수)가 있어야 해요. +-를 붙여도 되겠지만, 의미 전달이 잘 안 될 거에요. (그 +-가 x에 따라 달라질 수도 있고 아닐 수도 있으므로)

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    •  
      이즈 Lv.3 2022.08.07 14:53 비밀댓글
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    •  
      Amath Lv.8 2022.08.07 21:39

      보통 함수는 실수 범위에서 정의되지 않나요?

       

      그리고 그렇게 된다면, 식이 성립할 수 없게 되는데, 우변은 양수와 음수 둘이 모두 가능하고, 좌변은 양수만 가능하기 때문입니다. 

       

      (뭔가 글이 공격적이게 됐는데, 그런 생각은 아니에요. )

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    •  
      이즈 Lv.3 2022.08.10 00:02

      저는 복소수범위까지 생각하긴 했는데, 만약 실수집합만을 정의역으로 제한시킨다면 말씀하신대로 k의 부호(+-)를 나눠서 표현하는게 맞는것같네요

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  •  
    부분해결
    Amath Lv.8 2022.08.01 15:12 비밀댓글
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    •  
      이즈 Lv.3 2022.08.02 23:22

      6-1,2,3에서 사소한 실수인것 같긴 한데, e^{\int (a(x)/x) dx }꼴로 인테그랄 안에 x로 나눠주셔야할것같네요

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    •  
      Amath Lv.8 2022.08.03 10:06

      @이즈

      아 그렇네요

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