본문바로가기
[폴리매스 어셈블] [조영준 멘토] 소수에 관한 유명한 정리
수학동아 2022.07.29 14:51 조회 198

‘폴리매스 회원이여 모여라!’ 수학 멘토 군단 ‘폴리매스 어셈블’!

 

국제수학올림피아드(IMO) 출신 대학생 멘토 6명이

 

재미있게 생각해 볼 만한 ‘창의 수학’ 문제를 내 주고

 

수학 공부법과 진로 등에 대한 상담도 해 주고 있죠~!

 

2022년, 여섯 번째 폴리매스 어셈블 문제를 내 준 멘토는 조영준 멘토예요.

 

2022년 필즈상 수상자인 제임스 메이나드 교수님의 연구에 관한 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

안녕하세요! 폴리매스 어셈블 조영준 멘토입니다.

 

오늘 다뤄볼 문제는 소수에 관한 거예요.

 

소수는 양의 약수의 개수가 2개인 수로, 정의 자체는 간단하지만,

 

그 성질은 아직도 모르는 게 많은 심오한 수예요.

 

소수에 관한 대표적인 난제로

 

‘연속된 두 소수의 차이가 2인 쌍둥이 소수가 무수히 많을까?’라는 문제가 있어요.

 

여러분들도 쉽게 이해할 수 있는 문제이지만, 아직까지도 참인지 밝혀지지 않았어요.

 

2022필즈상 수상자인 제임스 메이나드 교수님은

 

연속한 두 소수의 차가 600 이하인 소수 쌍은 무수히 많음을 혼자 증명했고,

 

얼마 지나지 않아 ‘폴리매스 프로젝트’를 통해 연속한 두 소수의 차가

 

246 이하인 소수 쌍이 무수히 많음을 증명했어요.

 

여러분이 나중에 소수에 관한 여러 난제를 해결 하는 데 도움이 되길 바라며,

 

소수에 관한 유명한 정리 하나를 증명해 보려고 해요.

 

문제를 순서대로 차근차근 풀어 보세요!

 

 

 

 

 

조영준 멘토의 폴리매스 어셈블 문제

 

 

 

문제1 

임의의 양의 정수 n과 소수 p에 대해 n + 1< p \leq 2n + 1을 만족하면 \frac{ (2n + 1)!}{(n + 1)! n! }p의 배수임 을 증명해 보세요.

 

 

 

 

문제2 

임의의 양의 정수 n에 대해 n + 1초과이면서 2n + 1 이하인 소수를 모두 곱하면 4^{n} 보다 작음을 증명해 보세요.

 

 

 

 

문제3 

임의의 양의 정수 n에 대해 n 이하의 소수를 모두 곱하면 4^{n} 보다 작음을 증명해 보세요.

 

 

 

끝.

  •  
    MATH의GOD Lv.5 2022.08.01 13:06 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수0
  •  
    pure math Lv.7 2022.08.01 14:47
    확인요청중

    (1) p|n!, p|(n+1)!은 거짓, p|(2n+1)!은 참이므로 (+위의 식은 (2n+1)Cn or n+1이므로 정수이니) p|위 식이다.

    (2) (1)에 따라 n+1<p<= 2n+1인 모든 소수들은 (2n+1)!/n!(n+1)!의 약수이므로 (n+1초과, 2n+1이하인 소수들의 곱) <= (2n+1)!/n!(n+1)!
    (2n+1)Cn or n+1 이다. 또한 4m=1/2 * \sum_{k=0}^{2m+1}(2m+1)Ck>1/2(2m+1Cm+2m+1Cm+1)=2m+1Cm+1이어서 (m-->n) 성립한다.

    (3) 1, 2일때는 성립한다. 이제 n-1이하의 모든 자연수에 대하여 성립한다고 가정하면, (소수 곱하는 기호를 n*이라 하면)

    (i) n=짝수 --> n* = (n-1)* <4n-1<4n이므로 성립한다.

    (ii) n=홀수 --> n=2m+1이라 하자. (2)에 따라 (2m+1)*/(m+1)*=(m+1초과, 2m+1(n)미만의 소수들의 곱)<4m이다. 고로

    n*=(2m+1)*=(2m+1)*/(m+1)* 곱하기(헷갈릴까봐) (m+1)* < 4m * 4m+1= 42m+1=4n 따라서 n인 경우에도 보조정리가 성립한다.

    따라서 수학적 귀납법으로 성립한다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    옥인호 Lv.2 2022.08.07 22:05
    확인요청중

    문제1 (2n+1)!/(n+1)!은 (2n+1)(2n)(2n-1)...(n+2)(n+1)...1/(n+1)(n)(n-1)(n-2)...1(n)(n-1)(n-2)...1임을 알 수 있다.

    여기서 약분을 한다면 (2n+1)(2n-1)(2n-3)(2n-5)...1인 1부터 2n+1까지에 홀수의 곱임을 알 수 있다.

     만약 소수 p가 2n+1과 같다면 값은 p(p-2)(p-4)(p-6)...1임을 알 수 있고 소수p의 배수 임을 알 수 있다.

     만약 소수 p가 2n+1보다 작다면 2를 제외한 모든 소수는 홀수임으로 2n-1,2n-3,2n-5...3 중 하나임을 알 수있다. 즉 p의 배수임을 알 수 있다.

    p가 2인 경우n은 음수이거나 0이다 하지만 2n+1이 2보다 작음으로  p가 2인 경우 초기 조건을 만족하지 않음으로

    정수 n과 소수 p에 대해 n+1<p<=2n+1을 만족하면 (2n+1)!/(n+1)!n!은 p의 배수임이 증명된다

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

  • ☎문의 02-6749-3911