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폴리매스 문제
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[대한수학회] [2022 필즈상 수상자] 제임스 메이나드 교수님의 문제
수학동아 2022.07.07 17:17 조회 1959

2022 필즈상 특집 폴리매스 문제

 

 

 

 

해의 개수

 

 

 

 

 

제임스 메이나드 영국 옥스퍼드 대학교 수학과 교수

 

 

 

 

제임스 메이나드 영국 옥스퍼드대학교 교수님은 수의 본질을 탐구하는 정수론, 특히 소수에 관한 연구에 크게 기여한 공로를 인정받아 2022년 필즈상을 수상했어요. 메이나드 교수님의 이름을 알린 쌍둥이 소수 문제는 수학자들이 온라인을 통해 함께 연구하는 대규모 수학 공동연구 프로젝트인 ‘폴리매스 프로젝트’를 통해 진전을 이뤘지요. 수학동아의 폴리매스에 대해 소개했더니 제임스 메이나드 교수님께서 폴리매스 회원을 위해 문제를 내주셨어요.

 

 

 

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이 문제는 제 연구와 관련된 문제예요.

 

 

 

제임스 메이나드 교수님의 친필 문제

 

 

 

x^{2}+y^{2}=r

 

 

이 공식은 우리가 흔히 아는 원의 공식입니다. 그렇지만 여기서 물어보고 싶은 것은 모듈러 p입니다.

 

 

이 말인 즉슨 정수 x와 정수 y가 있을 때, r을 고정값으로 두고 xy의 해가 몇 개 나 있는지를 묻는 것입니다.

 

 

1과 p사이에 x, y가 있을 때 pr이 어떤 상수이냐에 따라서 xy의 해가 몇 개나 있는지 확인해보는 것입니다.

 

 

숫자 r, p에 대해 해의 개수가 어떻게 바뀌는지 패턴을 찾아보세요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

제임스 메이나드 교수님의 문제 출제 장면 바로가기! 클릭!

 

 

 

 

 

 

 

끝.

 

  •  
    RedoC Lv.6 2022.07.07 22:42

    일단 지금까지 관찰한 내용을 적어보자면, p가 소수인 경우 0\leq r \leq p이라 두면 동일한 p에 대해 1\leq r \leq p의 경우 해의 개수가 같게 나옵니다

    하나 더 확인했었는데 반례가 존재했어요

    제가 사용한 스파게티 코드 올려봅니다. 쓰실 분들은 쓰셔도 좋습니다 :)

     

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    •  
      RedoC Lv.6 2022.07.07 23:06

      p=2) r=0 -> 2개의 해, 1≤r≤p -> \small x개의 해

      p=4k+1) r=0 -> 2p-1개의 해, 1≤r≤p -> \small x개의 해

      p=4k+3) r=0 -> 1개의 해, 1≤r≤p -> p+1개의 해 (@pure math님이 공유해주셨어요!)

      의 규칙성을 띄고

      4k+1의 경우 x는 p=2일때 2로 시작해 매번 4씩 추가됩니다만 예외적으로 4k+1꼴의 소수 e 이전의 소수가 e-2인 소수 e의 경우 (즉 e는 4k+1 꼴의 쌍둥이 소수 쌍의 큰 수) x는 전과 그대로 유지됩니다(4씩 추가되지 않습니다)

       

      p≤2000까지는 확인되었습니다 :)

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    •  
      RedoC Lv.6 2022.07.08 00:29

      p=4k+3일때 r=0이면 해가 유일함에 대한 Rough pf입니다. 오류 지적 환영입니다.

      x=y=p면 해 존재하기 때문에 \small x,y \ne p일 때 해 존재하지 않음을 보이자.

      \small x^2 \equiv a \mod p라고 두면(I) \small y^2 \equiv -a \mod p여야(II) \small p|x^2+y^2일 수 있는데,

      (I)가 성립하기 위해서는 \small \left ( \frac{a}{p} \right ) = 1이 성립해야 한다는 점, 그리고 p=4k+3일 때 \small \left ( \frac{-1}{p} \right ) = -1이라는 점을 종합하면 \small \left ( \frac{-a}{p} \right ) = -1,

      즉 (ii)는 불가능.

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    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2022.07.13 11:48

      말씀하신대로 p \equiv 3 \pmod 4이고 r=0이면 해는 유일합니다. 그리고 이 사실은 쓰신대로 르장드르 기호를 이용하여 설명할 수 있습니다.

       

      아직 해결해야할 부분들이 많기 때문에 부분해결딱지는 안드릴게요! 더 도전해보세요! 수고 많았습니다^^

       

      다인 멘토 드림

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  •  
    pure math Lv.7 2022.07.08 18:57
    확인요청중

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    •  
      RedoC Lv.6 2022.07.08 19:04

      p=4k+3일때 r=0이면 해가 유일함에 대한거죠?

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.08 19:21

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    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2022.07.13 11:54

      "두 자연수 제곱수의 합이 [되]려면 소인수분해했을 때 4k-1꼴 소인수의 지수가 짝수고, 4k+1꼴은 상관없다"라고 적어주셨습니다! 이 사실은 맞지만 라그랑주 네 제곱수 정리로부터 따라나오는 사실은 아니랍니다:) 페르마 두 제곱수 정리의 일반화인데요, 자세한 이야기는 위키피디아에서 확인하세요! (https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88_%EB%91%90_%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EC%88%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC#%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%99%94)

      p가 4k-1꼴이고 r=0인 경우에 잘 풀었습니다. 더 도전해보세요!

      다인 멘토 드림

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.13 15:33

      아 넵 감사합니다!

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  •  
    DM Lv.5 2022.07.15 00:49
    확인요청중

    위에 올려주신 관찰을 바탕으로 썼습니다!

    /resources/comment/2022/07/90be49ea08645d643dd81fc8b3c31765.png

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    •  
      DM Lv.5 2022.07.15 00:54

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    •  
      DM Lv.5 2022.07.18 22:44

      첫번째 비밀댓글 해제하는 법 없나요..? 썼다가 비밀글을 실수로 눌렀는데 c첫번째는 취소가 안돼요ㅠ

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    •  
      DM Lv.5 2022.07.19 04:30

               첫번째 사진이 첫번째 댓글사진입니다

               2가 원시근인 소수뿐만 아니라, 두 제곱수의 합으로 표현될 수 있는 수(2,5,8,10,13,17 등)를 원시근으로 갖는 소수에 대해서 성립한다는 걸 앞의 방법을 일반화해서 써봤습니다

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    •  
      유지연_매니저 Lv.15 2022.07.19 11:45

      DM님~ 전체 공개로 해드렸어요~

      다음에 같은 상황이 발생하면

      댓글 수정하기에 들어가셔서 비밀댓글 선택을 해지하시면 됩니다~!

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  •  
    pure math Lv.7 2022.07.18 19:56 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수3
    •  
      pure math Lv.7 2022.07.18 19:58

      사진 두 개의 순서가 바뀌었습니다!;;

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.18 22:30

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    •  
      DM Lv.5 2022.07.19 04:18

      첫번째 사진 ii) 4번째 줄에서 p=7일 때, 3과 6은 합동이 아니지만 23과 26은 둘 다 1로 합동이지 않나요?

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  •  
    부분해결
    pure math Lv.7 2022.07.19 20:08

    오류수정 전체 답입니다!

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.08.10 02:06

      임의의 n에 대해 n=a^2+b^2(mod p)로 표현되는 a, b가 존재한다는 부분의 설명이 부족한 것 같습니다.

      소수 p가 4k+3꼴인 경우에는 해결되지 않은 것인가요?

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    •  
      pure math Lv.7 2022.08.10 12:28

      위쪽의 답이 4k+3꼴이며, 아래쪽의 답이 4k+1꼴의 답입니다. 사진 찍을 때 그전의 내용과 겹치지 않게 하려고 하여서..

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  •  
    해결
    DM Lv.5 2022.07.20 01:27

    첫 번째 사진은 p=2인 경우와 홀수인 소수p에서 r=0일 때의 증명입니다.

    두 번째 사진은 보이고 싶은 것과 증명에 필요한 내용 증명, 그리고 세 번째 사진이 증명입니다.

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  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

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